Геометрия 8 Контрольная К-8 (Гусев)
Геометрия 8 Контрольная К-8 (Гусев). ИТОГОВАЯ контрольная работа по геометрии за 8 класс по учебнику Погорелова с ОТВЕТАМИ. Цитаты из пособия использованы в учебных целях.
Итоговая (годовая) контрольная работа
(геометрия 8 класс, УМК Погорелов)
К-8 Вариант 1
1. Диагонали ромба равны 1,6 см и 3 см. Чему равна сторона данного ромба?
2. Катет, противолежащий углу в 60° данного прямоугольного треугольника, равен 3 см. Найдите гипотенузу, второй катет и острый угол этого треугольника.
3. Вершинами четырехугольника ABCD являются точки А(0; 0), В(1; 2), С(2; 0) и D(1; -2). Докажите, что данный четырехугольник является ромбом.
К-8 Вариант 2
1. Стороны прямоугольника равны 1,6 дм и 3 дм. Чему равна диагональ данного прямоугольника?
2. Катет, прилежащий к углу в 30° данного прямоугольного треугольника, равен 9 дм. Найдите гипотенузу, второй острый угол и катет этого треугольника.
3. Вершинами четырехугольника PQRS являются точки Р(0; 0), Q(1; 2), R(5; 0) и S(4; -2). Докажите, что данный четырехугольник является прямоугольником.
К-8 Вариант 3
1. У равнобокой трапеции боковая сторона и меньшее основание равны 5 см, расстояние между основаниями равно 1,4 см. Найдите большее основание данной трапеции.
2. Один из углов трапеции равен 30°, а боковые стороны при их продолжении пересекаются под прямым углом. Найдите меньшую боковую сторону трапеции, если ее средняя линия равна 5 см, а меньшее основание — 4 см.
3. Известны координаты первых трех вершин параллелограмма ABCD: А(5; -4), В(2; -3) и С(-1; -4). Докажите, что данный параллелограмм является ромбом, не находя координат вершины D. Является ли данный параллелограмм квадратом? Ответ объясните.
К-8 Вариант 4
1. У равнобокой трапеции боковая сторона равна 3 дм, ее большее основание, равное 7 дм, находится на расстоянии 1,8 дм от меньшего основания. Найдите меньшее основание данной трапеции.
2. У равнобокой трапеции боковая сторона и меньшее основание равны 15 дм. Диагонали трапеции образуют между собой острый угол в 60°. Найдите большее основание данной трапеции.
3. Известны координаты первых трех вершин параллелограмма PQRS: Р(4; 7), Q(-2; 3) и R(-5; 11). Докажите, что данный параллелограмм является прямоугольником, не находя координат вершины S. Является ли данный параллелограмм квадратом? Почему?
Ответы на контрольную работу
Геометрия 8 Контрольная К-8 (Гусев). Итоговая контрольная работа по геометрии за курс 8 класса по учебнику Погорелова с ОТВЕТАМИ. Цитаты из пособия использованы в учебных целях.
Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии к УМК Погорелов.
Геометрия 8 Контрольная К-1 (Гусев)
Геометрия 8 Контрольная К-1 (Гусев). Контрольная работа по геометрии в 8 классе «Четырехугольники» к учебнику Погорелова с ОТВЕТАМИ. Цитаты из пособия использованы в учебных целях.
Контрольная работа № 1
(геометрия 8 класс, учебник УМК Погорелов)
К-1. Вариант 1.
1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. а) Докажите, что треугольник АОВ равен треугольнику COD. б) Известно, что АС =10 см, BD = 6 см, АВ = 5 см. Определите периметр треугольника АОВ.
2. Один из углов параллелограмма равен 45°. Высота параллелограмма, проведенная из вершины его тупого угла, равная 4 см, делит сторону параллелограмма на два равных отрезка. Периметр параллелограмма равен 27,4 см. Найдите: а) стороны параллелограмма; б) диагональ, проведенную из той же вершины, что и высота.
К-1. Вариант 2.
1. В четырехугольнике ABCD диагональ АС разбивает его на два равных треугольника ВАС и DCA. а) Докажите, что данный четырехугольник — параллелограмм, б) Известно, что угол ВАС равен 30°, а угол ВСА равен 40°. Определите углы параллелограмма.
2. Из вершины тупого угла ромба, равного 120°, проведена высота, которая отсекает от стороны отрезок 2 см.
а) Найдите периметр ромба и длину меньшей диагонали.
б) Докажите, что высота является биссектрисой угла, образованного диагональю и стороной ромба.
К-1. Вариант 3
1. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. а) Докажите, что треугольник АОВ равнобедренный. б) Определите периметр треугольника АОВ, если известно, что АВ = 4 см, BD = 5 см.
2. Из вершины прямоугольника опущен перпендикуляр на диагональ, который делит ее на два отрезка, меньший из которых равен 2 см. Перпендикуляр образует с меньшей стороной прямоугольника угол в 30°. а) Вычислите длину меньшей стороны прямоугольника и длины диагоналей, б) Докажите, что данный перпендикуляр является биссектрисой угла, образованного другой диагональю и меньшей стороной прямоугольника.
К-1. Вариант 4
1. В ромбе ABCD диагональ BD равна его стороне, а) Докажите, что треугольник ABD равносторонний, б) Известно, что ВО = 4 см (О — точка пересечения диагоналей). Найдите периметр ромба.
2. Периметр ромба равен 16 см; высота, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам, а) Определите углы ромба, длину диагонали, проведенной из той же вершины, б) Докажите, что высота является биссектрисой угла, образованного данной диагональю и стороной ромба.
скачать задания
Ответы на контрольную работу № 1
Решения заданий Варианта 1
Задание № 1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. а) Докажите, что треугольник АОВ равен треугольнику COD. б) Известно, что АС =10 см, BD = 6 см, АВ = 5 см. Определите периметр треугольника АОВ.
РЕШЕНИЕ: а) диагонали при пересечении делятся пополам, значит АО = ОС и ВО = ОD; противоположные стороны параллелограмма равны, значит АВ = СD, следовательно Δ АОВ = Δ СОD (по трем сторонам).
б) АО = АС : 2 = 6 : 2 = 3 см; ВО = ВD : 2 = 10 : 2 = 5 см; Р Δ АОВ = АВ + АО + ВО = 5 + 3 + 5 = 13 см.
Ответ: 13 см.
Задание № 2. Один из углов параллелограмма равен 45°. Высота параллелограмма, проведенная из вершины его тупого угла, равная 4 см, делит сторону параллелограмма на два равных отрезка. Периметр параллелограмма равен 27,4 см. Найдите: а) стороны параллелограмма; б) диагональ, проведенную из той же вершины, что и высота.
РЕШЕНИЕ: Так как проведена высота к стороне параллелограмма, то образуется угол 90 градусов. Если рассмотреть треугольник, то он будет равнобедренный (180° — (90° + 45°) = 45° второй угол), а значит сторона треугольника будет равна 4 см, а сторона параллелограмма будет 8 см (т.к. разделена пополам).
Ещё одна сторона параллелограмма = периметр минус удвоенное произведение известной стороны и все разделить пополам (27,4 — 2 * 8) / 2 = 5,7 см. Значит, стороны параллелограмма = 8 см и 5,7 см.
Диагональ соответственно равна его стороне т.е. = 5,7 см.
Ответ: 5,7 см.
Геометрия 8 Контрольная К-1 (Гусев). Контрольная работа по геометрии в 8 классе «Четырехугольники» к учебнику Погорелова с ОТВЕТАМИ. Цитаты из пособия использованы в учебных целях.
Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии к УМК Погорелов.
Геометрия 8 Контрольная К-1 (Гусев)
Геометрия 8 Контрольная К-1 (Гусев). Контрольная работа по геометрии в 8 классе «Четырехугольники» к учебнику Погорелова с ОТВЕТАМИ. Цитаты из пособия использованы в учебных целях.
Контрольная работа № 1
(геометрия 8 класс, учебник УМК Погорелов)
К-1. Вариант 1.
1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. а) Докажите, что треугольник АОВ равен треугольнику COD. б) Известно, что АС =10 см, BD = 6 см, АВ = 5 см. Определите периметр треугольника АОВ.
2. Один из углов параллелограмма равен 45°. Высота параллелограмма, проведенная из вершины его тупого угла, равная 4 см, делит сторону параллелограмма на два равных отрезка. Периметр параллелограмма равен 27,4 см. Найдите: а) стороны параллелограмма; б) диагональ, проведенную из той же вершины, что и высота.
К-1. Вариант 2.
1. В четырехугольнике ABCD диагональ АС разбивает его на два равных треугольника ВАС и DCA. а) Докажите, что данный четырехугольник — параллелограмм, б) Известно, что угол ВАС равен 30°, а угол ВСА равен 40°. Определите углы параллелограмма.
2. Из вершины тупого угла ромба, равного 120°, проведена высота, которая отсекает от стороны отрезок 2 см.
а) Найдите периметр ромба и длину меньшей диагонали.
б) Докажите, что высота является биссектрисой угла, образованного диагональю и стороной ромба.
К-1. Вариант 3
1. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. а) Докажите, что треугольник АОВ равнобедренный. б) Определите периметр треугольника АОВ, если известно, что АВ = 4 см, BD = 5 см.
2. Из вершины прямоугольника опущен перпендикуляр на диагональ, который делит ее на два отрезка, меньший из которых равен 2 см. Перпендикуляр образует с меньшей стороной прямоугольника угол в 30°. а) Вычислите длину меньшей стороны прямоугольника и длины диагоналей, б) Докажите, что данный перпендикуляр является биссектрисой угла, образованного другой диагональю и меньшей стороной прямоугольника.
К-1. Вариант 4
1. В ромбе ABCD диагональ BD равна его стороне, а) Докажите, что треугольник ABD равносторонний, б) Известно, что ВО = 4 см (О — точка пересечения диагоналей). Найдите периметр ромба.
2. Периметр ромба равен 16 см; высота, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам, а) Определите углы ромба, длину диагонали, проведенной из той же вершины, б) Докажите, что высота является биссектрисой угла, образованного данной диагональю и стороной ромба.
скачать задания
Ответы на контрольную работу № 1
Геометрия 8 Контрольная К-1 (Гусев). Контрольная работа по геометрии в 8 классе «Четырехугольники» к учебнику Погорелова с ОТВЕТАМИ. Цитаты из пособия использованы в учебных целях.
Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии к УМК Погорелов.
А.В. Погорелов. Геометрия. 8 класс. § 8. Контрольные вопросы, ответы
- Подробности
- Родительская категория: Математика
- Категория: Геометрия, 8 класс, контрольные вопросы, ответы
Страница 1 из 2
Вопрос 1. Объясните, как определяются координаты точки.
Ответ. Проведём на плоскости через точку O две взаимно перпендикулярные прямые x и y – оси координат (рис. 170). Ось x (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось y – осью ординат. Точкой пересечения O – началом координат – каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из них называть положительной, отмечая её стрелкой, а другую – отрицательной.
Рис. 170
Каждой точке A плоскости мы сопоставим пару чисел – координаты точки – абсциссу (x) и ординату (y) по такому правилу.
Через точку A проведём прямую, параллельную оси ординат (рис. 171). Она пересечёт ось абсцисс x в некоторой точке A
Рис. 171
Ордината (y) точки A определяется аналогично. Через точку A проведём прямую, параллельную оси абсцисс x (см. рис. 171). Она пересечёт ось ординат y в некоторой точке Ay. Ординатой точки A мы будем называть число y, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки O до точки Ay. Это число будет положительным, если A
Координаты точки будем записывать в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например: A (x; y) (на первом месте абсцисса, на втором – ордината).
Вопрос 2. Какие знаки у координат точки, если она принадлежит первой (второй, третьей, четвёртой) четверти?
От
Диагностическая работа по геометрии в 8 классе (Погорелов А.В.)
Описание контрольных измерительных материалов для осуществления оценки качества образования
Назначение работы
На основании письма Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки (Рособнадзор) №05-71 от 16.03.2018 «О направлении рекомендаций по повышению объективности оценки образовательных результатов».
Контрольные измерительные материалы позволяют осуществить оценку предметных и метапредметных компетенций, в том числе овладение межпредметными понятиями и способность использования универсальных учебных действий (УУД) в учебной и познавательной практике.
2. Документы, определяющие содержание работы
Содержание и структура диагностической работы определяются на основе Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.12.2010 № 1897) с учётом Примерной основной образовательной программы основного общего образования (одобрена решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию (протокол от 08.04.2015 № 1/15).
Задания КИМ ориентированы на учебник А.В. Погорелова «Геометрия 7-9 классы», включённого в Федеральный перечень Минобрнауки РФ на 2018–2019 учебный год.
3. Структура работы
Вариант диагностической работы состоит из 10 заданий, которые различаются по содержанию и проверяемым требованиям.
Задания 1-7 решить и дать ответ.
В заданиях 8-10 требуется самостоятельно записать правильное решение в развернутом виде.
4. Кодификаторы проверяемых элементов содержания и требований к уровню подготовки участников
В табл.1 приведен кодификатор проверяемых элементов содержания
Таблица1
Код раздела | Код элемента | Проверяемые элементы содержания |
1 | Четырехугольники | |
1.1 | Параллелограмм, его свойства и признаки | |
1.2 | Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки | |
1.3 | Трапеция, средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция | |
2 | Теорема Пифагора | |
2.1 | Теорема Пифагора | |
2.2 | Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике | |
2.3 | Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов | |
Декартовы координаты на плоскости | ||
3.1 | Координаты середины отрезка | |
3.2 | Расстояние между точками | |
3.3 | Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для любого угла от 0° до 180° | |
4 | Движение | |
4.1 | ||
4.2 | Свойства движения | |
4.3 | Симметрия относительно прямой | |
5 | Векторы | |
5.1 | Абсолютная величина и направление вектора | |
5.2 | Равенство векторов | |
5.3 | Сложение векторов и его свойства | |
5.4 | Умножение вектора на число |
В табл.2 приведены требования к уровню подготовки участников
Таблица2
Код | Код контролируемого требования (умения) | Проверяемые требования к уровню подготовки | |
1 | Метапредметные | ||
1.1 | Умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач | ||
1.2 | Умение адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения | ||
1.3 | Умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем | ||
1.4 | Умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера | ||
1.5 | Осознанное владение логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий, классификации на основе самостоятельного выбора оснований и критериев, установления родовидовых связей оценки. | ||
1.6 | Умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и выводы | ||
1.7 | Умение создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач | ||
1.8 | Умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни | ||
1.9 | Умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять ее в понятной форме; принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации | ||
1.10 | Умение понимать и использовать математические средства наглядности (рисунки, чертежи, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации | ||
1.11 | Умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки | ||
1.12 | Умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач | ||
2 | Предметные | ||
2.1 | Овладение базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания; представление об основных изучаемых понятиях (геометрическая фигура, вектор, координаты) как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные процессы и явления | ||
2.2 | Умение работать с геометрическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии и символики, использовать различные языки математики, проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений | ||
2.3 | Овладение навыками устных, письменных, инструментальных вычислений | ||
2.4 | Овладение геометрическим языком, умение использовать его для описания предметов окружающего мира, развитие пространственных представлений и изобразительных умений, приобретение навыков геометрических построений | ||
2.5 | Усвоение систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах, умение применять систематические знания о них для решения геометрических и практических задач | ||
2.6 | Умение применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера | ||
5. Распределение заданий по позициям кодификатора
Уровни сложности заданий: Б – базовый, П – повышенный
Таблица 3
№ п/п | Основные проверяемые требования к математической подготовке | Коды проверяемых элементов содержания | Коды разделов элементов требований | Уровень сложности | Максимальный балл за выполнение задания |
Часть 1 | |||||
1 | Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин | 1.1 1.2 | 2.1 2.2 2.3 2.5 | Б | 1 |
2 | Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин | 1.2 | 2.1 2.2 2.3 2.5 | Б | 1 |
3 | Применять теорему Пифагора в решении задач | 2.1 | 2.1 2.2 2.3 2.6 | Б | 1 |
4 | Знать соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике | 2.2 | 2.1 2.3 | Б | 1 |
5 | Применять свойства движения в решении задач на симметрию фигур | 4.1- 4.3 | 2.1 2.5 | Б | 1 |
6 | Оперировать с векторами: находить сумму и разность двух векторов, заданных геометрически, находить вектор, равный произведению заданного вектора на число | 5.1- 5.4 | 2.1 | Б | 1 |
7 | Вычислять длину отрезка по координатам его концов; вычислять координаты середины отрезка | 3.1 3.2 | 2.1- 2.3 | Б | 1 |
Часть 2 | |||||
8 | Применять формулы приведения | 2.3 3.3 | 2.1 2.3 | П | 2 |
9 | Решать более сложные планиметрические задачи на нахождение геометрических величин | 1.3 | 2.1- 2.5 | ||
Геометрия Погорелова 8 класс
Геометрия Погорелова 8 класс
УМК «Геометрия» 8 класс Погорелова А.В. и др. включает в себя: учебник (7-9 классы), рабочую тетрадь, дидактические материалы, тематические тесты, поурочные разработки (7-9 классы), рабочие программы (7-9 классы).
Быстрый переход:
Геометрия
Дополнительная литература
Дополнительная литература ко всем УМК по геометрии
Геометрия | |
| Геометрия. Учебник. 7-9 классы Погорелов А.В. | |
| Геометрия. Рабочая тетрадь. 8 класс Дудницын Ю.П. | |
| Геометрия. Дидактические материалы. 8 класс Гусев В.А., Медяник А.И. | |
| Геометрия. Тематические тесты. 8 класс Мищенко Т.М. | |
| Геометрия. Тренировочные задания. 8 класс Дудницын Ю.П., Кронгауз В.Л. | |
| Геометрия. Поурочные разработки. 7-9 классы (на сайте издательства) Жохов В.И., Карташева Г.Д., Крайнева Л.Б. | |
| Геометрия. Сборник примерных рабочих программ. 7-9 классы Бурмистрова Т.А. | |
| Геометрия. Учебник. 7-9 классы (ФПУ 2014 г.) Погорелов А.В. | |
| Геометрия. Рабочая тетрадь. 8 класс Дудницын Ю.П. | |
| Геометрия. Дидактические материалы. 8 класс Гусев В.А., Медяник А.И. | |
| Геометрия. Тематические тесты. 8 класс Мищенко Т.М. | |
| Геометрия. Тренировочные задания. 8 класс Дудницын Ю.П., Кронгауз В.Л. | |
| Наверх | |
Дополнительная литература | |
| Домашняя работа по геометрии. 8 класс. К учебнику А.В. Погорелова «Геометрия. 7-9 классы» (К учебнику ФПУ 2014 г.) Морозов А.В. | |
| Тесты по геометрии. 8 класс. К учебнику А.В.Погорелова «Геометрия. 7-9 классы» Фарков А.В. | |
| Наверх | |
Дополнительная литература ко всем УМК по геометрии | |
| Задачи по геометрии. 7-11 классы Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский А.Г. | |
| Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы Зив Б.Г. | |
| Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7-9 классы Рабинович Е.М. | |
| Геометрия. Сборник заданий для тематического и итогового контроля знаний. 8 класс Ершова А.П. | |
| Геометрия. Решение задач на готовых чертежах. 7-8 классы Королькова Г.В. | |
| Алгебра. Геометрия. Самостоятельные и контрольные работы. 8 класс Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. | |
| Наверх | |
Если материал вам понравился, нажмите кнопку вашей социальной сети:
совпадений и сходства | Примечания, видео, контроль качества и тесты | 8 класс> Обязательная математика> Геометрия
Сходство и сходство
Конгруэнтных треугольников
Треугольники одинакового размера и формы называются конгруэнтными треугольниками. Два треугольника конгруэнтны, если три стороны и три угла одного треугольника имеют размеры как три стороны и три угла другого треугольника. Символ конгруэнтности — ≅.
На следующем рисунке ΔABC и ΔPQR совпадают. Обозначим это как ΔABC ≅ ΔPQR.
Постулат и теоремы для конгруэнтных треугольников
Постулат (SAS)
Если две стороны и угол между ними в одном треугольнике конгруэнтны соответствующим частям в другом треугольнике, то треугольники конгруэнтны.
На данном рисунке
AB ≅ PQ Стороны (S)
∠B ≅ ∠Q Угол (A)
до н.э. ≅ QR Сторона (S)
Следовательно, ΔABC ≅ ΔPQR
Теорема (ASA)
Уникальный треугольник образован двумя углами и включенной стороной.
Следовательно, если два угла и включенная сторона одного треугольника конгруэнтны двум углам и включенной стороне другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.
На рисунке
∠B ≅ ∠E Угол (A)
BC ≅ Сторона EF (S)
∠C ≅ ∠F Угол (A)
Следовательно, ΔABC ≅ ΔDEF
Теорема (AAS)
Уникальный треугольник образован двумя углами и не включенной стороной. Следовательно, если два угла и сторона, противоположная одному из них в треугольнике, конгруэнтны соответствующим частям в другом треугольнике, то треугольники конгруэнтны.
На рисунке
∠A ≅ ∠X Угол (A)
∠C ≅ ∠Z Угол (A)
до н.э. ≅ сторона YZ (S)
Следовательно, ΔABC ≅ ΔXYZ
Теорема (SSS)
Уникальный треугольник формируется путем указания трех сторон треугольника, причем самая длинная сторона (если она есть) меньше суммы двух более коротких сторон.
Следовательно, если их стороны треугольника конгруэнтны трем сторонам другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.
На рисунке
AB ≅ PQ Стороны (S)
до н.э. ≅ QR-стороны (S)
CA ≅ RP Стороны (S)
Следовательно, ΔABC ≅ ΔPQR
Подобные треугольники
Методы получения подобных треугольников
- Если соответствующие стороны треугольника пропорциональны другому треугольнику, то треугольники подобны.
Пример
Если A ≅ ∠D и ∠B ≅ ∠E, то ΔABC ∼ ΔDEF - Если соответствующий угол треугольника конгруэнтен другому треугольнику, то треугольники подобны.
Пример
Если \ (\ frac {AB} {DE} \) = \ (\ frac {BC} {EF} \) = \ (\ frac {AC} {DF} \), то ΔABC ∼ ΔDEF - Обсуждая первый и второй методы, мы можем доказать, что треугольник подобен, поскольку их стороны пропорциональны, а углы совпадают.
Пример
∠A ≅ ∠D и \ (\ frac {AB} {DE} \) = \ (\ frac {AC} {DF} \), тогда ΔABC ∼ ΔDEF
В случае наложения треугольников
Если прямые в треугольнике параллельны, то они пересекаются друг с другом, что пропорционально делит стороны треугольника.
Проверка:
В ΔPQR и ΔSPT
| Выписки | Причины |
| ST⁄⁄QR | Дано |
| \ (\ угол \) PST \ (\ cong \) \ (\ угол \) QSR | Уголки соответствующие |
| ΔPQR \ (\ cong \) ΔSPT | Общий угол P |
| \ (\ frac {PS} {SQ} \) = \ (\ frac {PT} {TR} \) | ST⁄⁄QR |
Пример
Дайте следующие треугольники, найдите длину x.
Решение:
Треугольники похожи по правилу АА, поэтому соотношение длин одинаково.
\ (\ frac {6} {3} \) = \ (\ frac {10} {x} \)
или, 6x = 30
или, x = \ (\ frac {30} {6} \)
\ (\ следовательно \) x = 5 см
углов | Примечания, видео, контроль качества и тесты | 8 класс> Обязательная математика> Геометрия
Уголки
Измерение углов различают типы углов. Благодаря измерению у нас есть пары углов, а также смежные углы, дополнительные углы, дополнительные углы, вертикальные углы и т. Д.
Прилегающие углы
Давайте узнаем прилегающие углы с помощью рисунка.
На приведенном выше рисунке мы можем наблюдать угол, имеющий общую сторону и общую вершину, и они не перекрываются. Следовательно, данные два угла смежны.
На следующем рисунке два угла не являются смежными, даже если они имеют общие стороны и вершину, поскольку они перекрываются.
Дополнительные уголки
Если два угла составляют 90 o сложением, то это называется дополнительными углами.Но углы не обязательно должны быть вместе. Позвольте нам узнать больше с помощью рисунка.
На данном рисунке два угла (40 и 50) являются дополнительными углами, потому что в сумме они составляют 90 o .
Эти два угла дополняют друг друга, потому что 27 ° + 63 ° = 90 o
Дополнительные уголки
Если два угла составляют 180 o путем сложения, то это называется дополнительными углами.Но углы не обязательно должны быть вместе. Позвольте нам узнать больше с помощью рисунка.
На данном рисунке два угла (60 o и 120 o ) являются дополнительными углами, поскольку в сумме они дают 180 o .
Эти два угла являются дополнительными, потому что 60 ° + 120 ° = 180 °.
Вертикальные углы
Углы, имеющие общую вершину, называются вертикальными углами. Углы имеют общую вершину, когда две линии пересекаются и образуют вертикальные углы или вертикально противоположные углы.
На данном рисунке \ (\ angle \) p и \ (\ angle \) s противоположны \ (\ angle \) r и \ (\ angle \) q. Следовательно, \ (\ angle \) p и \ (\ angle \) r — вертикальные углы. Аналогично \ (\ angle \) s и \ (\ angle \) q также являются вертикальными углами.
Теорема о вертикальном угле
Эксперимент:
На данном рисунке две прямые PQ и RS пересекаются друг с другом. Посмотрите на рисунок и заполните приведенную ниже таблицу.
| Выписки | Причины |
| 1.а + с = 180 ° | 1. Дополнительные уголки |
| 2. b + c = 180 ° | 2. ………………. |
| 3.a + c ≅ b + c | 3. Из 1 и 2 |
| 4. a ≅ b | 4. Маскировка c с двух сторон |
| 5. Аналогично c ≅ d | 5. То же |
Параллельные линии
Две прямые лежат в одной плоскости, но не пересекаются друг с другом. Это называется параллельными линиями.
На этом рисунке прямые AB и CD параллельны. Математически AB // CD.
Параллельные линии всегда находятся на одинаковом расстоянии. Следовательно, расстояние между двумя параллельными линиями везде одинаково.
На рисунке PQ // RS.
Возьмите любую точку M на PQ и начертите MN \ (\ perp \) RS.
Возьмите любую точку E на PQ и нарисуйте EF \ (\ perp \) RS.
Измерьте MN и EF.
Вы обнаружите, что MN = EF.
Поперечный
Линия, пересекающая две или более прямых, называется поперечной.Поперечные линии создают угол, где некоторые из них имеют имя и определяют связь с линиями.
Давайте определим некоторые из углов по имени и их соотношению.
i) a и b — альтернативные внутренние углы.
ii) a и b — альтернативные внешние углы.
iii) a и b — соответствующие углы.
iv) a и b — внутренние углы на одной стороне.
Теорема об альтернативных углах
При поперечных разрезах две линии, образующие соответствующие углы, которые совпадают, доказывают, что две линии параллельны.
Эксперимент:
Нарисуйте пару прямых AB и CD, которые параллельны и пересекают их поперечным EF. Назовите внутренние углы как 3, 4, 5 и 6, а внешние углы как 1, 2, 7 и 8.
На данном рисунке AB // CD. Заполните таблицу ниже.
| S. No. | Заявления | Причины |
| 1. | 3 ≅ 2 | Углы вертикальные |
| 2. | 2 ≅ 6 | Уголки соответствующие |
| 3. | 3 ≅ 6 | Переходная собственность |
| 4. | 5 ≅ 8 | ……………….. |
| 5. | 5 ≅ 4 | ……………….. |
| 6. | 1 ≅ 4 | ……………….. |
| 7. | 3 ≅ 7 | ……………….. |
Альтернативные углы Converse
Обратные альтернативные углы доказывают, что две линии параллельны, путем пересечения линий поперек и образования конгруэнтного угла.
На данном рисунке x \ (\ cong \) c. Заполнить таблицу.
| S. No. | Заявления | Причины |
| 1. | х ≅ с | Дано |
| 2. | b ≅ c | Углы вертикальные |
| 3. | x ≅ b | ………………….. |
| 4. | b ≅ z | ………………….. |
| 5. | ч ш | ………………….. |
| 6. | д ≅ г | ………………….. |
| 7. | PQ // RS | ………………….. |
Теорема о соответствующих углах
Соответствующие углы равны на параллельной линии, образованной поперечным разрезом параллельной линии.
На рисунке PQ // RS
Итак, \ (\ angle \) 1 \ (\ cong \) \ (\ angle \) 5, \ (\ angle \) 7 \ (\ cong \) \ (\ angle \) 3, \ (\ angle \ ) 8 \ (\ cong \) \ (\ angle \) 4 и \ (\ angle \) 2 \ (\ cong \) \ (\ angle \) 6
Соответствующие углы Converse
Если соответствующие углы совпадают при рисовании поперечной линии, то линия, пересеченная трансверсалью, параллельна.
На рисунке \ (\ angle \) a \ (\ cong \) \ (\ angle \) b, поэтому PQ // RS.
Теорема о последовательных внутренних углах
Теорема о последовательных внутренних углах утверждает, что последовательные внутренние углы образуются двумя параллельными линиями, а трансверсаль — дополнительными.
На рисунке PQ // RS. Посмотрите на рисунок и заполните таблицу ниже:
| S. No. | Заявления | Причины |
| 1. | b + m = 180 o | Углы вспомогательные |
| 2. | м \ (\ cong \) c | …………… |
| 3. | b + c = 180 o | …………… |
| 4. | Аналогично a + d = 180 o | …………… |
Последовательные внутренние углы Converse
Если поперечное сечение образует внутренние углы, которые являются дополнительными углами, разрезая две линии, то эти линии параллельны.
На рисунке m + y = 180 o
Заполните приведенную ниже таблицу.
| S. No. | Заявления | Причины |
| 1. | м + y = 180 o | Уголки дополнительные |
| 2. | n + y = 180 o | ………….. |
| 3. | м + у \ (\ конг \) п + у | ………….. |
| 4. | м \ (\ cong \) п | ………….. |
| 5. | PQ // RS | ………….. |
Cbse 6-й класс геометрические тесты Скачать бесплатно для Windows
Программное обеспечение Smart Kids 25 Коммерческий
Используйте свои навыки решения проблем 6-го класса, спасая землю в этой игре.
Знание, приключение 124 Коммерческий
Повторение и отработка языковых навыков и математических навыков.
1 Selectsoft Publishing 2 Коммерческий
Повышайте оценки, результаты тестов и улучшайте математические навыки в классе и за его пределами.
6 Программное обеспечение Hirtle 81 год Условно-бесплатное ПО
Создавайте экранные, бумажные или Интернет-тесты на основе случайно выбранных вопросов.
2 Эдурите 2 Коммерческий
Программное обеспечение полностью соответствует учебной программе математики 7-го класса CBSE.
1 Эдурите Коммерческий
Это программное обеспечение дает студентам интенсивную практику для подготовки к экзамену.
7 Эдурите 15 Коммерческий
Это продукт, который предлагает глубокое понимание математических концепций.
2 Core Projects & Technologies Ltd 57 Бесплатное ПО
Это бесплатная программа, которая позволяет вам практиковать экзамен CBSE ITMS.
Knowledge Share LLC 3 Коммерческий
Grade Builder Algebra 1 охватывает весь год обучения алгебре.
3 Third Day Games, Inc.38 Бесплатное ПО
BIG Bible Town — это детская онлайн-библейская игра для детей от K до 6-х классов.
2 LaboWin 10 Условно-бесплатное ПО
Используйте этот апплет для отображения и оценки настроенных тестов через Интернет или на компьютере в классе. Optio ….
Обучение 49 Бесплатное ПО
Предоставляет практические тесты для CBSE, инженерного и медицинского входа.
3 ThinkWave Inc. 14 Бесплатное ПО
Простой в использовании журнал успеваемости, который позволяет учителям легко управлять тестами.
70 Трэвис Ист 132 Бесплатное ПО
Geometry — это калькулятор, использующий многие формулы геометрии.
Трэвис Ист Бесплатное ПО
Geometry — это калькулятор, использующий многие формулы геометрии.
9 Обучающая компания 263 Коммерческий
Reader Rabbit Grade 2.0.10.0 — обучающая игра для 2-го. классные дети.
5 Команда Rise of Persia 14 Бесплатное ПО
расположен в 6 веке до нашей эры, в самую захватывающую эпоху в истории человечества.
SceneryTech 23 Условно-бесплатное ПО
SceneryTech представляет Африку, шестой и последний регион в нашем продукте наземного класса.
21 год NowStat 483 Бесплатное ПО
Final Fantasy Sonic X6 — 6-й эпизод этой фантастической игры / фильма.
.