Контрольная работа признаки равенства треугольников 7 класс: 7 класс. Контрольная работа по геометрии по теме «Признаки равенства треугольников»

3. Периметр равнобедренного треугольника равен 13,6см. Его основание меньшебоковой стороны на 2 см. Найдите стороны треугольника.

4. На сторонах угла А отмечены точки М и K так, что АМ = АK. Точка Р лежит внутри угла А и РK = РМ. Докажите, что луч АР – биссектриса угла МАK.

Контрольная работа по теме: «Признаки равенства треугольников»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ»

1 ВАРИАНТ

1.На основании АС равнобедренного ∆ABC отложены равные отрезки AD и СЕ. Докажите, что

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 16,6 м. Найдите его стороны, если основание больше боковой стороны на 4 см.

3. На биссектрисе А взята точка В, а на сторонах угла — точки С и D, такие, что ABC = ABD. Докажите, что AD = АС.

4. Треугольники ABC и DBC равнобедренные с основанием ВС. Известно, что АВ = CD. Докажите, что эти треугольники равны.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ»

1 ВАРИАНТ

1.На основании АС равнобедренного ∆ABC отложены равные отрезки AD и СЕ. Докажите, что ∆BАD равен ∆ВСЕ.

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 16,6 м. Найдите его стороны, если основание больше боковой стороны на 4 см.

3. На биссектрисе А взята точка В, а на сторонах угла — точки С и D, такие, что ABC = ABD. Докажите, что AD = АС.

4.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ»

1 ВАРИАНТ

1.На основании АС равнобедренного ∆ABC отложены равные отрезки AD и СЕ. Докажите, что ∆BАD равен ∆ВСЕ.

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 16,6 м. Найдите его стороны, если основание больше боковой стороны на 4 см.

3. На биссектрисе А взята точка В, а на сторонах угла — точки С и

4. Треугольники ABC и DBC равнобедренные с основанием ВС. Известно, что АВ = CD. Докажите, что эти треугольники равны.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ»

2 ВАРИАНТ

1.На основании АС равнобедренного ∆ABC отмечены точки М и К так, что ABM = CBK. Докажите, ∆АВМ = ∆СВК

2.Периметр равнобедренного треугольника равен 10,9 м. Найдите его стороны, если боковая сторона на 2 м больше основания.

3.Отрезки АВ и CD равны и пересекаются в точке О так, АО = OD. Докажите, что BD = АС.

4.В треугольниках ABC и BCD, АВ = BD и АС = CD. Докажите, что луч ВС является биссектрисой ABD, а луч СВ биссектрисой ACD.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ»

2 ВАРИАНТ

1.На основании АС равнобедренного ∆ABC отмечены точки М и К

2.Периметр равнобедренного треугольника равен 10,9 м. Найдите его стороны, если боковая сторона на 2 м больше основания.

3.Отрезки АВ и CD равны и пересекаются в точке О так, АО = OD. Докажите, что BD = АС.

4.В треугольниках ABC и BCD, АВ = BD и АС = CD. Докажите, что луч ВС является биссектрисой ABD, а луч СВ биссектрисой ACD.

2 ВАРИАНТ

1.На основании АС равнобедренного ∆ABC отмечены точки М и К так, что ABM = CBK. Докажите, ∆АВМ = ∆СВК

2.Периметр равнобедренного треугольника равен 10,9 м. Найдите его стороны, если боковая сторона на 2 м больше основания.

3.Отрезки АВ и CD равны и пересекаются в точке О так, АО = OD. Докажите, что BD = АС.

4.В треугольниках ABC и BCD, АВ = BD и АС =

Контрольная работа «Признаки равенства треугольников»

Контрольная работа

Признаки равенства треугольников

Вариант 1

№ 1. На рисунке 1 отрезки AB и CD пересекаются в точке О так, что АО = ОВ, СО = ОD. По какому признаку равны треугольники АОD и ВОС?

№ 2. Дан равнобедренный треугольник PRS, у которого PR = PS = 10 см, RS = 12 см. Биссектриса РО

№ 3. В треугольнике TAL A = L, TL = 12 см, периметр треугольника TAL равен 32 см. Найдите длины сторон АТ и AL.

№ 4. Периметр треугольника ACD равен 21 см. Сторона СD меньше стороны АD на 6 см и меньше стороны АС в 3 раза. Найдите длины сторон треугольника АСD.

№ 5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС (рис. 2) проведены медианы АК и СМ. Докажите, что ВАК = ВСМ.

Контрольная работа

Признаки равенства треугольников

№ 1. На рисунке 1 отрезки AB и CD пересекаются в точке О так, что АО = ОD, A = D. По какому признаку равны треугольники АОC и DOB?

№ 2. Дан равнобедренный треугольник KOS, у которого OK = OS = 10 см, KS = 16 см. Биссектриса OP равна 6 см. Найдите периметр треугольника OPS.

№ 3. В треугольнике SBF F = B, FB = 16 см, периметр треугольника SBF равен 36 см. Найдите длины сторон FS и SB.

№ 4. Периметр треугольника SAB равен 19 см. Сторона SB меньше стороны AB в 2 раза и меньше стороны

№ 5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС (рис. 2) проведены биссектрисы АК и СМ. Докажите, что ВМС = ВКА.

Примечания к редакции по математике Глава 7 — Конгруэнтность треугольников (7-й класс)

  
  Сравнение  
 

 
 Если мы наложим одну фигуру на другую, и они впишутся друг в друга, то они должны иметь конгруэнтные формы.Они должны быть одинаковой формы и размера. 

 
 

 
  Символ соответствия  

 
 

  
  Конгруэнтность двумерных фигур  
 

 
 В случае 2D-форм, эти две формы будут конгруэнтными, если они имеют одинаковую форму и размер. Изображение нельзя сгибать, растягивать или перекручивать. 

 
 

  
  Соответствие линейных сегментов  
 

 
 Чтобы проверить, совпадают ли линейные сегменты или нет, мы можем наложить один линейный сегмент на другой, и если они полностью покрывают друг друга, то они должны быть конгруэнтными.

 
 

 
 Два отрезка линии конгруэнтны, если они имеют одинаковую длину, и если два отрезка имеют одинаковую длину, то они должны быть конгруэнтными. 

  
  Конгруэнтность углов  
 

 
 Два угла одного измерения совпадают, и если два угла совпадают, их измерение должно быть одинаковым. 

 
 

 
 Здесь ∠R ≅ ∠Q 

  
  Конгруэнтность треугольника  
 

 
 Если мы накладываем один треугольник на другой, и они должным образом покрывают друг друга, то они должны быть конгруэнтными треугольниками.

 
 В случае равных треугольников - 

 

• Все стороны одного треугольника должны быть равны соответствующим сторонам другого треугольника.

• Все углы одного треугольника должны быть равны соответствующим углам другого треугольника.

• Все вершины одного треугольника должны соответствовать вершинам другого треугольника.

В треугольниках выше

Если, ∆ABC ≅ ∆FDE, то

• Соответствующие вершины — ∠A ↔ ∠F, ∠B ↔ ∠D и ∠C ↔ ∠E

• Соответствующие углы — ∠A ↔ ∠F, ∠B ↔ ∠D и ∠C ↔ ∠E

• Соответствующие стороны — AB ↔ FD, BC ↔ DE и AC ↔ FE

Замечание : Это порядок букв в именах конгруэнтных треугольников, который сообщает соответствующие отношения между двумя треугольниками.Если мы изменим его с ∆ABC ≅ ∆FDE на ∆BCA ≅ ∆FDE, тогда не обязательно, чтобы два треугольника были конгруэнтными, поскольку важно, чтобы все соответствующие стороны, углы и вершины были одинаковыми.

Критерий конгруэнтности треугольников

1. Критерий SSS (сторона-сторона-сторона)

Этот критерий говорит, что два треугольника будут конгруэнтными, если их соответствующие стороны равны.

Если S ide AB = DE

S ide BC = EF

S ide AC = DF

Тогда ∆ABC ≅ ∆DEF

Пример

В двух указанных треугольниках ∆ABC и ∆DEF AB = 7 см, BC = 5 см, AC = 9 см, DE = 7 см, DF = 9 см и EF = 5 см.Проверьте, совпадают ли два треугольника или нет.

Решение

In ∆ABC и ∆DEF,

AB = DE = 7 см,

до н.э. = EF = 5 см,

AC = DF = 9 см

Это показывает, что все три стороны ∆ABC равны сторонам ∆DEF.

Следовательно, с критерием конгруэнтности SSS, два треугольника конгруэнтны.

∆ABC ≅ ∆DEF

2. Критерий SAS (сторона-угол-сторона)

Этот критерий говорит, что два треугольника будут конгруэнтными, если их соответствующие две стороны и один включенный угол равны.

Если S ide AB = DE

A игла B = ∠E

S ide BC = EF

Тогда ∆ABC ≅ ∆DEF

Пример

В ∆JKN, JK = KN и AK — биссектриса ∠JKN, тогда

1. Найдите три пары равных частей в треугольниках JKA и AKN.

2. Является ли ΔJKA ≅ ΔNKA? Назови причины.

Является ли ∠J = ∠N? Назови причины.

Решение

1.Три пары равных частей:

JK = KN (дано)

∠JKA = ∠NKA (KA делит пополам ∠JKN)

АК = АК (обыкновенный)

2. Да, ΔJKA ≅ ΔNKA (по правилу сопоставления SAS)

3. J = ∠N (Соответствующие части конгруэнтных треугольников)

3. Критерий ASA (угол-сторона-угол)

Этот критерий говорит, что два треугольника конгруэнтны, если два соседних угла и одна включенная сторона одного треугольника равны соответствующим углам и одной включенной стороне другого треугольника.

Если A балка ∠B = B ‘

S ide BC = EF

A Угол C = C ‘

Тогда ∆ABC ≅ ∆A’B’C ‘

Пример

В ∆LMN и ∆OPN, если LMN = ∆NPO = 60 °, LNM = 35 ° и LM = PO = 4 см. Затем проверьте, совпадает ли треугольник LMN с треугольником PON.

Решение

В двух треугольниках ∆LMN и ∆OPN,

Дан,

LMN = NPO = 60 °

LNM = ∠PNO = 35 ° (вертикально противоположные углы)

Итак, ∠L ΔLMN = 180 ° — (60 ° + 35 °) = 85 ° (по свойству суммы углов треугольника) аналогично,

∠O из ΔOPN = 180 ° — (60 ° + 35 °) = 85 °

Таким образом, имеем ∠L ​​= ∠O, LM = PO и ∠M = ∠P

Теперь сторона LM находится между L и ∠M, а сторона PO находится между P и ∠O.

Следовательно, согласно правилу сравнения ASA,

∆LMN ≅ ∆OPN.

4. Критерий RHS (прямой угол — гипотенуза — сторона)

Этот критерий говорит, что два прямоугольных треугольника будут конгруэнтными, если гипотенуза и одна сторона одного треугольника равны соответствующей гипотенузе и одной стороне другого треугольника.

Если R угол наклона ∠B = ∠E

H ипотенуза AC = DF

S ide BC = EF

Тогда ∆ABC ≅ ∆DEF

Пример

Докажите, что ∆RSV ≅ ∆RKV, если RS = RK = 7 см и RV = 5 см и перпендикулярно SK.

Решение

В ∆RSV и ∆RKV,

Учитывая

RS = RK = 7 см

RV = RV = 5 см (общая сторона)

Если RV перпендикулярно SK, то

∠RVS = ∠RVK = 90 °.

Следовательно, ∆RSV ≅ ∆RKV

Как и в двух прямоугольных треугольниках, длина гипотенузы и одна сторона обеих сторон равны.

Замечание: AAA не является критерием для конгруэнтных треугольников, потому что, если все углы двух треугольников равны, то их стороны также не обязательно равны.Один из треугольников может быть больше другого треугольника.

На приведенном выше рисунке два треугольника имеют равные углы, но их стороны не равны, поэтому они не являются конгруэнтными треугольниками.

Особенности курса

• 728 Видео-лекции
• Примечания к редакции
• Документы за предыдущий год
• Интеллектуальная карта
• Планировщик исследования
• Решения NCERT
• Обсуждение Форум
• Тестовая бумага с видео-решением

Сумма углов треугольника равна 180 °

Этот урок позволяет учащимся определить (путем измерения), что сумма углов в треугольнике равна 180 °. Урок также содержит простое доказательство этого факта и разнообразные упражнения.

1. Нарисуйте ЛЮБОЙ треугольник, который вам нравится.
(Используйте линейку!) Измерьте все его
углы. Рассчитайте сумму углов.

Это ______ °.

2.Нарисуйте здесь еще один треугольник.
Измерьте все его углы.
Рассчитайте сумму углов.

Это ______ °.

3. Вычислите угол, отмеченный вопросительным знаком. Не Мера .

4.У определенного треугольника три равных угла.
Какова мера каждого угла? _______ °
Нарисуйте один с помощью транспортира.
Сделайте каждую его сторону длиной 5 см.
У этого треугольника есть особое название.
Что это такое?

5. Можете ли вы нарисовать треугольник,
два тупых угла?
Почему или почему нет?

6. а. Нарисуйте треугольник с углами 65 ° и 50 °, с
а 7.Сторона 5 см между этими двумя углы.
Начните с рисования 7,5-см сторона.

б. Вычислите третий угол. Это _______ °.
Затем измерьте расстояние от треугольника до проверить.

г. Классифицируйте свой треугольник по его
стороны и углы:

Это _________________________

и _________________________.

Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Geometry 1 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.

Математика Мамонт Геометрия 1

Рабочий текст для самообучения для 4-5 классов, охватывающий углы, треугольники, четырехугольники, круг, симметрию, периметр, площадь и объем.Много упражнений по рисованию!

Загрузить (6,90 $

Правописание для 7-го класса, списки, игры и задания

Списки правописания, игры и мероприятия для 7-х классов

Наслаждайтесь нашими списками правописания в 7-м классе плюс попрактикуйтесь в этих словах для семиклассников в интерактивных играх по правописанию. Вы также можете составлять свои собственные списки правописания с учетной записью в Home Spelling Words. 7-й класс — прекрасное время для улучшения словарного запаса с помощью орфографии.Если вы создаете свои собственные списки, свяжите их с текущими материалами для чтения, чтобы создать целостную учебную программу. Орфография в домашних условиях также идеально подходит для домашних школ!

Орфографические игры, списки и задания для 7-х классов

Составьте собственные списки правописания

Составьте свои собственные списки правописания, зарегистрировав учетную запись.Мы не продаем и не передаем вашу информацию и не отправляем вам нежелательные электронные письма. После регистрации просто введите название своего списка (пример: Неделя 1), затем каждое слово по буквам и предложение для практики, если хотите. Как только вы закончите, опубликуйте свой список и немедленно начните практиковаться. Вы также можете сдавайте тесты или играйте в орфографические игры со своими списками. Наш сайт — полезный инструмент для для домашних школ с их собственной учебной программой или учащихся, которые получают еженедельный список правописания из школы.Учиться может быть весело!

Что говорят родители …
Летом мы используем ваш веб-сайт, чтобы попрактиковаться в лексике. Спасибо за отличный сайт!
Барб Г.

Орфографические игры

• Игра «Заполните пустое место» Каждый раз создается новая игра, так что вы можете играть всю неделю и не скучать!
• «Поиск слова». Каждый раз случайным образом создает новое слово для учащегося, используя слова из его списка правописания.
• Spelling Soup Поймайте правильно написанное слово своей тарелкой для супа и заработайте очки.

конгруэнтных треугольников | Ресурсы Wyzant

Очень важная тема в изучении геометрия — это конгруэнтность. До сих пор мы узнали только о конгруэнтных углах, но в этом разделе мы узнаем о критериях, необходимых для того, чтобы треугольники быть конгруэнтным. Изучение конгруэнтности на этом уровне откроет дверь к различным теоремы сравнения треугольников, характеризующие геометрию.

Соответствующие детали

Напомним, что для того, чтобы линии или углы были конгруэнтными, они должны были иметь равные меры. Таким же образом конгруэнтные треугольники — это треугольники с соответствующими стороны и углы совпадают, что придает им одинаковый размер и форму. Потому как соответствие сторон и углов важно, мы должны быть осторожны с тем, как мы названия треугольников.Например, если у нас есть ? ABC ?? DEF , то сравнение между треугольниками означает следующее:

Важно правильно называть треугольники, чтобы определить, какие сегменты равны. по длине и посмотреть, какие углы имеют такие же размеры.

Короче говоря, мы говорим, что два треугольника конгруэнтны, если их соответствующие части (которые включая линии и углы) совпадают. В геометрическое доказательство с двумя столбцами, мы могли бы объяснить соответствие между треугольниками говоря, что «соответствующие части конгруэнтных треугольников совпадают». Однако этот оператор довольно длинный, поэтому мы можем просто написать «CPCTC» для короткая.

Теорема о третьих углах

В некоторых случаях нам понадобится очень важная теорема, которая поможет нам доказать конгруэнтность. между двумя треугольниками. Если мы знаем, что два угла двух отдельных треугольников равны совпадающие, мы склонны полагать, что их третьи углы равны, потому что из Теорема о сумме углов треугольника.

Этот тип рассуждений верен и является очень полезной теоремой при попытках чтобы доказать соответствие между треугольниками.Теорема о третьих углах утверждает, что если два угла одного треугольника совпадают с двумя углами другого треугольника, то равны и третьи углы треугольников.

Давайте взглянем на некоторые упражнения, чтобы применить наши знания о равных треугольниках. CPCTC и теорема о третьих углах работают.

Примеры

(1) Что из следующего выражает правильное утверждение о конгруэнтности фигуры ниже?

(а)

(б)

(в)

(г)

Решение:

Хотя это может показаться неважным, порядок, в котором вы указываете вершины треугольника очень важно при попытке установить соответствие между двумя треугольниками.По существу мы хотим найти ответ, который поможет нам сопоставить точки треугольников, стороны и углы. Ответ, соответствующий этим характеристикам треугольников (б) .

В ответе (b) мы видим, что ? PQR? ? LJK . Начнем с сравнение вершин треугольников. В первом треугольнике точка P указан первым.Это соответствует точке L на другом треугольнике. Мы знаем, что эти точки совпадают, потому что в этих точках показаны конгруэнтные углы. Следующей в первом треугольнике значится точка Q . Мы сравниваем это с точкой J второго треугольника. Опять же, они совпадают, потому что углы в этих точках конгруэнтны. Наконец, смотрим на точки R и К .Углы в этих точках также совпадают.

Мы также можем посмотреть на стороны треугольников, чтобы увидеть, соответствуют ли они. Например, мы могли сравнить сторону PQ со стороной LJ . Цифра указывает эти стороны треугольников совпадают. Мы также можем посмотреть еще две пары сторон, чтобы убедиться в их соответствии. Стороны QR и JK имеют по три галочки на каждой, что показывает, что они совпадают.Наконец, стороны RP и кДж совпадают на рисунке. Таким образом, правильный конгруэнтность приведена в (b) .

(2) Найдите значения x и y , учитывая, что ? MAS? ? NER .

Решение:

У нас есть две переменные, которые нам нужно найти.Проще всего было бы использовать 16x сначала решить для x (потому что это выражение с одной переменной), в отличие от использования стороны NR , нам потребуется попытаться решить для x и y одновременно. Мы должны искать угол которые соответствуют ? E , поэтому мы можем установить измерения равными друг другу.Угол, который соответствует ° E , равен ° A , поэтому мы получаем

Теперь, когда мы решили для x , мы должны использовать его, чтобы помочь нам решить для л . Стороне, которой соответствует RN , соответствует SM , поэтому мы проходим аналогичный процесс, как и раньше.

Теперь мы заменяем 7 на x , чтобы найти y :

Мы закончили поиск нужных переменных.

(3) Дано:

Доказательство:

Решение:

Чтобы приступить к решению этой проблемы, мы должны осознавать предоставленную информацию. нам.Мы знаем, что две пары сторон конгруэнтны и что один набор углов конгруэнтно. Чтобы доказать соответствие ? RQT и ? SQT , мы должны показать, что три пары сторон и три пары углов конгруэнтны.

Поскольку QS является общим для обоих треугольников, мы можем использовать Reflexive Property чтобы показать, что сегмент конгруэнтен самому себе.Теперь мы доказали соответствие между три пары сторон. Сопоставление двух других пар сторон уже было дано нам, поэтому мы закончили доказывать соответствие между сторонами.

Теперь мы должны показать, что все углы внутри треугольников совпадают. Одна пара имеет уже даны нам, поэтому мы должны показать, что две другие пары конгруэнтны. Нам было дано, что QT делит пополам ? RQS .Посредством определение биссектрисы угла, мы знаем, что в вершине существуют два эквивалентных угла. К . Последние пары углов совпадают по теореме о третьих углах (поскольку две другие пары соответствующих углов треугольников совпадали). Мы заключаем, что треугольники конгруэнтны, поскольку соответствующие части конгруэнтных треугольники конгруэнтны. Геометрическое доказательство из двух столбцов, демонстрирующее наши рассуждения ниже.

(4) Дано:

Доказательство:

Решение:

Нам дано, что три пары соответствующих сторон конгруэнтны, поэтому мы делаем не нужно беспокоиться об этой части проблемы; нам нужно только беспокоиться о доказательстве соответствие между соответствующими углами.

Нам дано только то, что одна пара соответствующих углов конгруэнтна, поэтому мы должны найти способ доказать, что две другие пары соответствующих углов конгруэнтны. Мы делаем это, показывая, что ? ACB и ? ECD вертикальные. углы. Итак, по теореме о вертикальных углах мы знаем, что они равны друг другу. Теперь, когда мы знаем, что две из трех пар соответствующих углов треугольников конгруэнтны, мы можем использовать теорему о третьих углах .Эта Теорема утверждает, что если у нас есть две пары соответствующих углов, которые конгруэнтны, тогда третья пара также должна быть конгруэнтной.

Поскольку доказано, что все три пары сторон и углов совпадают, мы знаем, что два треугольника совпадают по CPCTC . Геометрическое доказательство из двух столбцов это показывает, что наши рассуждения приведены ниже.