Контрольная работа. Показательная функция 10 класс
Контрольная работа 3. Показательная функция
I Вариант
I Часть
Задания 1-5 имеют по четыре варианта ответа, из которых только один верный. Выберите верный ответ. Верный ответ каждого задания оценивается одним баллом.
1. Найдите значение функции: в точке x=3
2. Определите, какая из показательных функций убывает: 3. Из приведённых ниже утверждений верными являются : В) 3 и 4Г) 2 и 4
4. Решите уравнение
5. Решите неравенство ІІ частьРешение заданий 6-7 может иметь краткую запись без обоснования. Правильное решение каждого
6. Решите систему уравнений
ІІІ часть (3 балла)
Решение 8 задания должно иметь обоснование. Необходимо записать последовательные логические действия и объяснения. Правильное решение
8. Решите уравнение
II Вариант
I Часть
Задания 1-5 имеют по четыре варианта ответа, из которых только один верный. Выберите верный ответ. Верный ответ каждого задания оценивается одним баллом.
1. Найдите значение функции: в точке x=3
2. Определите, какая из показательных функций возрастает: 3. Из приведённых ниже утверждений верными являются: В) 1 и 2Г) 1 и 3
4. Решите уравнение
5. Решите неравенство ІІ часть6. Решите систему уравнений
ІІІ часть (3 балла)
Решение 8 задания дол
8. Решите уравнение
Контрольная работа по теме: Показательная функция 10 класс
Контрольная работа по алгебре «Показательная функция» Вариант 1 Сравнить числа: а) и ; б) ﴾и . Решить уравнение: а) ﴾ = 16; б) ; в) — 2• + 5 = 0 Решить неравенство . _________________________________________________________________ Решить неравенство а) ; б) ; в) + ﴾ Найти точку пересечения графиков у = и у = х+ 4 Решить уравнение . | Контрольная работа по алгебре «Показательная функция» Вариант 2 Сравнить числа: а) и ; б) и . Решить уравнение: а) ; б) ; в) — 5• + 3= 0. Решить неравенство . _________________________________________________________________ Решить неравенство а) ; б) ; в) + ﴾. Решить графически уравнение = х+ 4 Решить уравнение . |
Контрольная работа по алгебре «Показательная функция» Вариант 1 Сравнить числа: а) и ; б) ﴾и . Решить уравнение: а) ﴾ = 16; б) ; в) — 2• + 5 = 0 Решить неравенство . _________________________________________________________________ Решить неравенство а) ; б) ; в) + ﴾ Найти точку пересечения графиков у = и у = х+ 4 Решить уравнение . | Контрольная работа по алгебре «Показательная функция»Вариант 2 Сравнить числа: а) и ; б) и . Решить уравнение: а) ; б) ; в) — 5• + 3= 0. Решить неравенство . _________________________________________________________________ Решить неравенство а) ; б) ; в) + ﴾. Решить графически уравнение = х+ 4 Решить уравнение . |
Контрольная работа по алгебре
«Показательная функция» Вариант 1
Сравнить числа:а) и ; б) ﴾ и .
Решить уравнение: а) ﴾ = 16; б) ; в) — 2• + 5 = 0
Решить неравенство .
Решить неравенство а) ; б) ; в) + ﴾
Найти точку пересечения графиков у = и у = х+ 4
Решить уравнение .
Контрольная работа по алгебре «Показательная функция» Вариант 1 Сравнить числа: а) и ; б) ﴾и . Решить уравнение: а) ﴾ = 16; б) ; в) — 2• + 5 = 0 Решить неравенство . _________________________________________________________________ Решить неравенство а) ; б) ; в) + ﴾ Найти точку пересечения графиков у = и у = х+ 4 Решить уравнение . | Контрольная работа по алгебре «Показательная функция» Вариант 2 Сравнить числа: а) и ; б) и . Решить уравнение: а) ; б) ; в) — 5• + 3= 0. Решить неравенство . _________________________________________________________________ Решить неравенство а) ; б) ; в) + ﴾. Решить графически уравнение = х+ 4 Решить уравнение . |
Контрольная работа по алгебре «Показательная функция» Вариант 1 Сравнить числа: а) и ; б) ﴾и . Решить уравнение: а) ﴾ = 16; б) ; в) — 2• + 5 = 0 Решить неравенство . _________________________________________________________________ Решить неравенство а) ; б) ; в) + ﴾ Найти точку пересечения графиков у = и у = х+ 4 Решить уравнение . | Контрольная работа по алгебре «Показательная функция»Вариант 2 Сравнить числа: а) и ; б) и . Решить уравнение: а) ; б) ; в) — 5• + 3= 0. Решить неравенство . _________________________________________________________________ Решить неравенство а) ; б) ; в) + ﴾. Решить графически уравнение = х+ 4 Решить уравнение . |
Контрольная работа по алгебре
«Показательная функция» Вариант 2
Сравнить числа: а) и ; б) и .
Решить уравнение: а) ; б) ; в) — 5• + 3= 0.
Решить неравенство .
Решить неравенство а) ; б) ; в) + ﴾.
Решить графически уравнение = х+ 4
Решить уравнение .
Тестовые контрольные работы по алгебре и началам анализа, 10–11-е классы
Проблемой первостепенной важности в процессе реформирования системы образования становится унификация требований к уровню знаний учащихся. Возможно, поэтому важнейшими критериями при введении ЕГЭ были:
- Необходимость унификации требований к уровню знаний учащихся;
- Возможность последующего использования результатов ЕГЭ в качестве основного критерия при приёме абитуриентов в ВУЗ.
Однако ЕГЭ позволяет установить субъективность оценки уровня знаний учеников лишь на конечном этапе его обучения. Для текущего контроля представляется актуальным создание единой согласованной системы тематических контрольных работ, соответствующей минимальным требованиям к содержанию образования, федеральному компоненту государственного стандарта математики.
В пределах соответствующего уровня изложения материала тематические контрольные работы должны быть приспособлены для работы с любым учебником, входящим в Федеральный перечень.
Контрольная работа традиционно ассоциируется с
- Огромной подготовительной работой учителя, скурпулёзно отбирающего разноуровневый, многовариантный тематический материал;
- Значительным стрессом учащихся, которым предстоит не только продемонстрировать достаточный уровень усвоения текущего материала, но и быть уверенным в объективности итоговой отметки.
Наличие ряда программ, учебников по математике, неизбежная субъективность требований учителей, связанная с различием уровня предварительной подготовленности школьников, в конечном итоге приводит к значительной неоднородности уровня подготовки выпускника и его оценки в пределах региона.
Для заблаговременной адаптации школьников к режиму проведения и требованиям ЕГЭ структура контрольных работ должна быть сходной со структурой ЕГЭ. Мы в своей школе группой учителей составили контрольные работы по всем темам 10 и 11 классов в 4-х — 6-и вариантах. Уровень тестов и задач соответствует Федеральному компоненту Государственного стандарта, а также уровням А и В единого государственного экзамена по математике.
Тесты по темам «Тригонометрические функции» и «Свойства функций» включают в себя 10 заданий уровней А и В, все они содержат 4 ответа, один из которых верный. Это первые контрольные работы в 10 классе в форме ЕГЭ, поэтому задания уровня С каждый учитель добавляет сам в зависимости от состава класса и изученного материала.
Тест по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства» тоже содержат 10 заданий, но уже 8 заданий с выбором ответа и 2 задания более сложные.
Для ознакомления со структурой ЕГЭ подготовлена годовая контрольная работа в 10 классе, состоящая из трёх частей: 10 заданий части А, 6 заданий части В, 4 задания части С.
Аналогично составлены контрольные работы по темам:
- «Тригонометрические функции»
- «Свойства функции»
- «Тригонометрические уравнения и неравенства»
- «Производная. Применение производной»
- «Применение непрерывности и производной»
- Итоговая работа в 10 классе
- «Первообразная и интеграл»
- «Обобщение понятия степени»
- «Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства»
- «Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства»
- «Производная и первообразная показательной и логарифмической функций»
- Контрольная работа за полугодие в 11 классе.
В апреле проводится пробный экзамен для одиннадцатиклассников, задания для него готовит администрация школы.
При проведении работ оговаривается с ребятами заранее количество баллов за каждое задание и соответствующая оценка за работу.
Со временем видна положительная динамика усвоения ребятами курса, они привыкают к жёсткому временному контролю тестирования.
Контрольные работы могут быть использованы при работе с любым учебником, соответствующим Федеральному компоненту. Они способствуют улучшению контроля уровня усвоения материала курса «Алгебра и начала анализа» учащимися, являются рациональной тематической имитацией ЕГЭ.
Аналогичная структура контрольных и ЕГЭ, а также принципиальное организационное разделение времени на ответы на сравнительно простые тесты и на решение традиционных задач, должны помочь учащимся в подготовке к ЕГЭ.
Мы предлагаем для коллег тексты всех контрольных работ (См. приложение).
Рабочая программа по Алгебре 10 класс Алимов
федеральное казенное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа
Управления Федеральной службы исполнения наказаний по Архангельской области»
НА ЗАСЕДАНИИ
МЕТОДОБЪЕДИНЕНИЯ
Руководитель МО
_______________________
О.В. Зыкова
Протокол №____
«_____» ___________ 2020 г.
СОГЛАСОВАНО
Зам. директора по УВР
_________________
А.В. Скрябина
«____»___________ 2020 г.
УТВЕРЖДАЮ
Директор
________________
А.А. Соловьев
«_____» ____________ 2020 г.
Предмет:Алгебра и начала математического анализа
Класс:
10
Количество часов
в неделю:
4
Количество часов в год:
140 часов
Учебники
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрии. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы.
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, 2018
Программу составила:
Учитель 1 квалификационной категории
Никитинская Олина Ростиславовна
Учебный год:
2020-2021
п. Талаги
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Рабочая программа базового и углублённого уровней по алгебре и началам математического анализа для среднего общего образования разработаны на основе Фундаментального ядра содержания общего образования и в соответствии с требованиями ФГОС к структуре и результатам освоения основных образовательных программ среднего общего образования.
Данная программа на основе примерной программы для общеобразовательных учреждений по алгебре и началам математического анализа, работающих по УМК авторов Ш. А. Алимова и др., Ю. М. Колягина. Составитель Бурмистрова Т.А. — М.: Просвещение, 2018.
В соответствии с принятой Концепцией развития математического образования в Российской Федерации математическое образование должно решать, в частности, следующие ключевые задачи:
математических знаний, необходимого для дальнейшей успешной жизни в обществе;
обеспечивать необходимое стране число выпускников, математическая подготовка которых достаточна для продолжения образования в различных направлениях и для практической деятельности, включая преподавание математики, математические исследования, работу в сфере информационных технологий и др.;
предусматривает в основном общем и среднем общем образовании подготовку обучающихся в соответствии с их запросами к уровню подготовки в сфере математического образования.
Соответственно выделяются три направления требований к результатам математического образования:
1. Практико-ориентированное математическое образование (математика для жизни).
2. Математика для использования в профессии, не связанной с математикой.
3. Творческое направление, на которое нацелены обучающиеся, планирующие заниматься творческой и исследовательской работой в области математики, физики, экономики и других областях.
Данная программа рассчитана на учащихся 10 классов и составляет 140 часов учебного времени (4 урока в неделю) на 35 недель по плану школы. Программа Бурмистровой рассчитана на 136 часов, поэтому добавлены 4 часа в тему «Итоговое повторение».
Личностные результаты освоения программы должны отражать:
1) российскую гражданскую идентичность, патриотизм, уважение к своему народу, чувства ответственности перед Родиной,
2) гражданскую позицию как активного и ответственного члена российского общества,
3) готовность к служению Отечеству, его защите;
4) сформированность мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики,
5) сформированность основ саморазвития и самовоспитания в соответствии с общечеловеческими ценностями,
6) толерантное сознание и поведение в поликультурном мире, готовность и способность вести диалог с другими людьми, достигать в нем взаимопонимания, находить общие цели и сотрудничать для их достижения, способность противостоять идеологии экстремизма, национализма, ксенофобии, дискриминации по социальным, религиозным, расовым, национальным признакам и другим негативным социальным явлениям,
7) навыки сотрудничества со сверстниками, детьми младшего возраста, взрослыми в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;
8) нравственное сознание и поведение на основе усвоения общечеловеческих ценностей,
9) готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию,
10) эстетическое отношение к миру, включая эстетику быта, научного и технического творчества, спорта, общественных отношений;
11) принятие и реализацию ценностей здорового и безопасного образа жизни,
12) бережное, ответственное и компетентное отношение к физическому и психологическому здоровью, как собственному, так и других людей, умение оказывать первую помощь;
13) осознанный выбор будущей профессии и возможностей реализации собственных жизненных планов;
14) сформированность экологического мышления, понимания влияния социально-экономических процессов на состояние природной и социальной среды,
15) ответственное отношение к созданию семьи на основе осознанного принятия ценностей семейной жизни;
Метапредметные результаты освоения программы должны отражать:
1) умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности, самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность;
2) умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты,
3) владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, применению различных методов познания,
4) готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности,
5) умение использовать средства информационных и коммуникационных технологий (далее — ИКТ) в решении когнитивных, коммуникативных и организационных задач,
6) умение определять назначение и функции различных социальных институтов,
7) умение самостоятельно оценивать и принимать решения, определяющие стратегию поведения, с учетом гражданских и нравственных ценностей,
8) владениеязыковыми средствами — умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства,
9) владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения;
Предметные результаты освоения программы.
Предметные результаты освоения программы устанавливаются на базовом уровне.
Изучение предметной области «Математика » должно обеспечить:
сформированность представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математики и информатики;
сформированность основ логического, алгоритмического и математического мышления;
сформированность умений применять полученные знания при решении различных задач;
сформированность представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления;
Предметные результаты изучения предметной области «Математика» (включая алгебру и начала математического анализа, геометрию) (углубленный уровень) — требования к предметным результатам освоения базового курса математики должны отражать:
1) сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;
2) сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;
3) владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
4) владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
5) сформированность представлений об основных понятиях, идеях и методах математического анализа;
6) владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;
7) сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;
8) владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач;
УЧЕБНО – ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
4 часа в неделю, 35 недель, 140 часов
по программе 136 часов
по программе
Количество часов по плану
Контрольные работы
1
Действительные числа
18
18
К/р № 1 по теме «Действительные числа»
2
Степенная функция
18
18
К/р №2 по теме «Степенная функция»
3
Показательная функция
12
12
К/р №3 по теме «Показательная функция»
4
Логарифмическая функция
19
19
К/р №4 по теме «Логарифмическая функция»
5
Тригонометрические формулы
27
27
К/р №5 по теме «Тригонометрические формулы»
6
Тригонометрические уравнения
18
18
К/р №6 по теме «Тригонометрические уравнения»
7
Итоговое повторение
24
28
Годовая промежуточная аттестация
Итого
136
140
Сводная таблица по видам контроля
Виды контроля
1 четверть
2 четверть
3 четверть
4 четверть
год
итого
Административный
Контроль ЗУНов
1
1
1
3
ВПР
1
1
Количество плановых контр работ
1
2
2
1
6
Итого
10
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
«МАТЕМАТИКА (АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА)»
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА — 18 ЧАСОВ
Целые и рациональные числа. Действительные числа. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Арифметический корень натуральной степени. Степень с рациональным и действительным показателями.
Форма контроля: Контрольная работа №1 по теме «Действительные числа».
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ — 18 ЧАСОВ
Степенная функция, ее свойства и график. Взаимно обратные функции. Равносильные уравнения и неравенства. Иррациональные уравнения. Иррациональные неравенства.
Форма контроля: Контрольная работа №2 по теме «Степенная функция».
3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — 12 ЧАСОВ
Показательная функция, ее свойства и график. Показательные уравнения. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств.
Форма контроля: Контрольная работа №3 по теме «Показательная функция».
4. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — 19 ЧАСОВ
Логарифмы. Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства.
Форма контроля: Контрольная работа №4 по теме «Логарифмическая функция».
5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ — 27 ЧАСОВ
Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат. Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Тригонометрические тождества. Синус, косинус и тангенс углов α и -α. Формулы сложения. Синус, косинус и тангенс двойного угла. Синус, косинус и тангенс половинного угла. Формулы приведения. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Форма контроля: Контрольная работа №5 по теме «Тригонометрические формулы».
6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — 18 ЧАСОВ
Уравнения cos x = α, sin x = α, tg x = α. Решение тригонометрических уравнений. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств.
Форма контроля: Контрольная работа №6 по теме «Тригонометрические уравнения».
7. ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ — 22 ЧАСА
Степенная, показательная и логарифмическая функции. Решение показательных, степенных и логарифмических уравнений. Решение показательных, степенных и логарифмических неравенств. Тригонометрические формулы. Тригонометрические тождества. Решение тригонометрических уравнений. Решение систем показательных и логарифмических уравнений.
Форма контроля: Годовая промежуточная аттестация
Требования к уровню подготовки учащихся.
В результате изучения математики на профильном уровне ученик должен:
понимать:
— значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
— значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
— универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
— вероятностный характер различных процессов окружающего мира;
уметь:
— выполнять арифметические действия, сочетая письменные и устные приемы, находить значение корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, тригонометрических выражений, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;
— пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;
— проводить преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции и находить значения этих выражений;
— использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, при необходимости используя справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;
— определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
— строить графики изученных функций;
— описывать по графику поведение и свойства функции;
— использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;
— решать уравнения, системы уравнений, используя свойства функций и их графиков;
— решать рациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства;
— использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод;
— изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем.
Учебно-методический комплекс
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрии. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, 2018
Программы по алгебре и началам математического анализа 10-11 классы./Сост.Бурмистрова Т.А.-М:Просвещение,2018
Список литературы
.
1. Тригонометрия 10/Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2010г.
2..Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса/ Б.И. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003г.
3. Алгебра и начала математического анализа для 10 класса/ М.В.Ткачева – М.: Просвещение, 2012г
4. Поурочные разработки по алгебре и началам анализа к УМК А.Н.Колмогорова для 10 класса/М:Вако,2016.
Материал комплекта полностью соответствует «Базовой программе по математике для средней общеобразовательной школы минимальным требованиям к содержанию образования.
КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
«МАТЕМАТИКА (АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА)»
урокаКол-во часов
Тема урока
Основные понятия и термины
Домашнее задание
ГЛАВА 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА – 18 ЧАСОВ
1-2
2
Целые и рациональные числа.
Определение натуральных, целых, рациональных чисел; периодической дроби.
П1, №3, 4, 5
3-4
2
Действительные числа.
Понятие об иррациональных числах; множестве действительных чисел, модуле действительного числа.
П2, №9(1-3), № 11
№9 (4-6), №10
5-6
2
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Понятие бесконечно убывающей геометрической прогрессии, формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
П3, № 17, 19
№ 21, 24
7-10
4
Арифметический корень натуральной степени.
Определение арифметического корня натуральной степени; его свойства.
П4, №32, 41
№ 38, 44
11-15
5
Степень с рациональным и действительным показателями.
Определение степени с рациональным и действительным показателем; свойства степеней.
П5, №61,67,78,80,81,85, 87
16-17
2
Обобщение и систематизация знаний по теме: «Действительные числа».
Понятия и термины по теме «Действительные числа».
П1-5, №1-5 (стр 37)
№106, 110
18
1
Контрольная работа № 1 по теме: «Действительные числа».
Понятия и термины по теме «Действительные числа».
ГЛАВА 2. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ – 18 ЧАСОВ
19-21
3
Степенная функция, её свойства и график.
Свойства и графики различных случаев степенной функции.
П6, №121, 122, 124
22-23
2
Взаимно обратные функции.
Определение функции взаимно обратной для данной функции, теоремы об обратной функции.
П7, №133,135,136 (1,2), 136 (3,4)
24-27
4
Равносильные уравнения и неравенства.
Определение равносильных уравнений, следствия уравнения; при каких преобразованиях исходное уравнение заменяется на равносильное ему уравнение, при каких получаются посторонние корни, при каких происходит потеря корней; определение равносильных неравенств.
П8.1 №136(1-3) 144,148(1,2)
П8.2 №140(3,4), 149
28-31
4
Иррациональные уравнения.
Определение иррационального уравнения; свойство.
П9, №155,156,158,159
32-33
2
Иррациональные неравенства.
Определение иррационального неравенства; алгоритм решения иррационального неравенства.
П10, 168,169
34-35
2
Обобщение и систематизация знаний по теме: «Степенная функция».
Понятия и термины по теме «Степенная функция».
П6-10, №1-3 (стр 70)
№185 (1,3), №187
36
1
Контрольная работа № 2 по теме: «Степенная функция».
Понятия и термины по теме «Степенная функция».
ГЛАВА 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — 12 ЧАСОВ
37-38
2
Показательная функция, её свойства и график.
Определение показательной функции, свойства показательной функции и её график.
П11, №197,200, 201(1,3), 201(2,4)
39-41
3
Показательные уравнения.
Определение показательных уравнений, алгоритм решения показательных уравнений.
П12, №211, 217, 221(1,3), 221(2,4)
42-44
3
Показательные неравенства.
Определение показательных неравенств, алгоритм решения показательных неравенств.
П13, №231,232,237(1,3), 237(3,4),233(1,2),233(3,4)
45-46
2
Системы показательных уравнений и неравенств.
Системы показательных уравнений и неравенств. Способы решения: подстановка, сложения, введения новой переменной.
П14 №242,243(1,3,5), 243(2,4,6)
47
1
Обобщение и систематизация знаний по теме: «Показательная функция».
Понятия и термины по теме «Показательная функция».
П11-14, №1-4 (стр 88)
48
1
Контрольная работа № 3 по теме: «Показательная функция».
Понятия и термины по теме «Показательная функция».
ГЛАВА 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — 19 ЧАСОВ
49-50
2
Логарифмы.
Понятие логарифма числа, основное логарифмическое тождество, логарифмирование.
П15, №272,279, №275,277, №280,281
51-52
2
Свойства логарифмов.
Основные свойства логарифмов.
П16, №296,297(1,3)
298, 297(3,4)
53-55
3
Десятичные и натуральные логарифмы.
Понятие и обозначение десятичного и натурального логарифма числа, формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
П17, №308,309,312, 313(1,3), 313(2,4), 312
56-57
2
Логарифмическая функция, её свойства и график.
Логарифмической функция, её основные свойства и график.
П18, №325,326,328,330
58-60
3
Логарифмические уравнения.
Логарифмические уравнения, основные приёмы решения логарифмических уравнений.
П19, №341(1,2),343
№341(2,4),344(1,3)
№344(2,4),346
61-64
4
Логарифмические неравенства.
Логарифмические неравенства, основные приёмы решения логарифмических неравенств.
П20, №356,358,363 №359(1,3),359(2,4)
65-66
2
Обобщение и систематизация знаний по теме: «Логарифмическая функция».
Понятия и термины по теме «Логарифмическая функция».
П15-20, №1-6 (стр 114)
№384,390
67
1
Контрольная работа № 4 по теме: «Логарифмическая функция».
Понятия и термины по теме «Логарифмическая функция».
ГЛАВА 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ – 27 ЧАСОВ
68
1
Радианная мера угла.
Определение угла в один радиан, формулы перевода градусной меры в радианную и наоборот.
П21, №409,414
69-70
2
Поворот точки вокруг начала координат.
Понятие единичной окружности, поворот точки вокруг начала координат.
П22, №419,422
№423,425
71-72
2
Определение синуса, косинуса и тангенса угла.
Определения синуса, косинуса и тангенса угла, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, решение уравнений вида: sin x=0, sin x=1, sin x=-1,
cos x=0, cos x=1, cos x=-1.
П23, №434,437
№435,438
73
1
Знаки синуса, косинуса и тангенса.
Знаки синуса, косинуса и тангенса в различных четвертях.
П24, №447,449
74-75
2
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
Основное тригонометрическое тождество, зависимость между тангенсом и котангенсом, зависимость между тангенсом и косинусом.
П25, №458,460(1,2)
№459(1-3),460(3,4)
76-78
3
Тригонометрические тождества.
Понятие тождества, способы доказательства тождеств.
П26, №467(1,3),470(1-3)
№467(2,4),470(4-6)
№468,470(7,8)
79
1
Синус, косинус и тангенс углов α и — α.
Формулы sin(-)= — sin , cos(-)=cos α, tg(-)=-tg .
П27, №476,478
80-82
3
Формулы сложения.
Формулы синуса, косинуса суммы и разности двух углов.
П28, №486,492(1,3,5)
№487(1,2),493
№487(3,4),492(2,4,6)
83-84
2
Синус, косинус и тангенс двойного угла.
Формулы синуса, косинуса и тангенса двойного угла.
П29, №503,510(1-3)
№506,511
85-86
2
Синус, косинус и тангенс половинного угла.
Формулы половинного угла синуса, косинуса и тангенса; формулы, выражающие sin, cos и
tg через tg (/2).
П30, №515,516,519,520
87-88
2
Формулы приведения.
Формулы приведения, правила записи формул приведения.
П31, №527,531(1,3)
№528,531(2,4)
89-91
3
Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Формулы суммы и разности синусов, суммы и разности косинусов.
П32, №539,540,542(1), 542(2), 542(3)
92-93
2
Обобщение и систематизация знаний по теме: «Тригонометрические формулы».
Понятия и термины по теме «Тригонометрические формулы».
П21-32, №1-4 (стр 166)
№548,551
94
1
Контрольная работа № 5 по теме: «Тригонометрические формулы».
Понятия и термины по теме «Тригонометрические формулы».
ГЛАВА 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ – 19 ЧАСОВ
95-97
3
Уравнение cos x = a.
Определение арккосинуса числа, формула решения уравнения cos х = а, частные случаи решения уравнения (cos х = 1, cos х = -1, cos х = 0).
П33, №571,576(1,3,6)
№572,576(2,4,7)
№573
98-100
3
Уравнение sin x = a.
Определение арксинуса числа, формула решения уравнения sin х = а, частные случаи решения уравнения (sin х = 1, sin х = -1, sin х = 0).
П34, №590,594(1,3)
№591(1-3),595
№591(4-6),596
101-102
2
Уравнение tg x = a.
Определение арктангенса числа, формула решения уравнения tg х = а.
П35, №612(1,3,5),616
№612(2,4,6),617
103-107
5
Решение тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических уравнений, сводящиеся к простейшим тригонометрическим уравнениям; частный случай метода введения
новой переменной при решении тригонометрических уравнений.
П36, №624(1,3),628(1,3)
№624(2,4),628(2,4)
№625(1,3),629(1,3)
№625(2,4),629(2,4)
№631,632
108-109
2
Примеры решения простейших тригонометрических неравенств.
Решение простейших тригонометрических
неравенств.
П37, 656,657,659,660
110
2
Обобщение и систематизация знаний по теме: «Тригонометрические уравнения».
Понятия и термины по теме «Тригонометрические уравнения».
П33-37, №1-2 (стр 198)
№666,671
111-112
1
Контрольная работа № 6 по теме: «Тригонометрические уравнения».
Понятия и термины по теме «Тригонометрические уравнения».
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА «МАТЕМАТИКА (АЛГЕБРА. НАЧАЛА АНАЛИЗА)» — 28 ЧАСА
113-114
2
Повторение. Арифметический корень натуральной степени.
Понятия и термины по теме «Арифметический корень натуральной степени».
Задание в тетради
115-116
2
Повторение. Степень с рациональным и действительным показателями.
Понятия и термины по теме «Степень с рациональным и действительным показателями».
Задание в тетради
117-118
2
Повторение. Степенная, показательная и логарифмическая функции.
Понятия и термины по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции».
Задание в тетради
119-121
3
Повторение. Иррациональные уравнения и неравенства.
Понятия и термины по теме «Иррациональные уравнения и неравенства».
Задание в тетради
122-124
3
Повторение. Показательные уравнения и неравенства.
Понятия и термины по теме «Показательные уравнения и неравенства».
Задание в тетради
125-126
2
Повторение. Логарифмы.
Понятия и термины по теме «Логарифмы».
Задание в тетради
127-128
2
Повторение. Логарифмические уравнения и неравенства.
Понятия и термины по теме «Логарифмические уравнения».
Задание в тетради
129-131
3
Повторение. Решение систем показательных и логарифмических уравнений.
Понятия и термины по теме «Решение систем показательных и логарифмических уравнений».
Задание в тетради
132-133
2
Повторение. Тригонометрические тождества.
Понятия и термины по теме «Тригонометрические тождества».
Задание в тетради
134-136
3
Повторение. Решение тригонометрических уравнений.
Понятия и термины по теме «Решение тригонометрических уравнений».
Задание в тетради
137-138
2
Повторение. Решение тригонометрических неравенств.
Понятия и термины по теме «Решение тригонометрических неравенств».
Задание в тетради
139-140
2
Годовая промежуточная аттестация
Лист корректировки рабочей программы
Причинакорректировки
Корректирующие
мероприятия
Дата проведения по факту
экспоненциальных функций | Ресурсы Wyzant
Экспоненциальные функции, хотя и похожи на функции, включающие экспоненты, отличаются тем, что теперь переменная — это мощность, а не база.
Раньше мы имели дело с функциями вида
где переменная x была основанием, а число — степенью. Если вы заметили, это функция имеет вид квадратичной.С экспоненциальными функциями они будут аналогично форме
где число — основание, а переменная — показатель степени. Экспоненциальная функция всегда будет иметь в основе положительное число, кроме единицы.
Определение экспоненциальной функции имеет вид
Теперь, чем отличаются графики квадратичных и экспонент? Чтобы построить график экспоненты функции, мы просто подставляем значения x и график, как обычно, но нам нужно помнить что если мы подставляем отрицательные значения для x, нам нужно указать количество на другом сторона линии дроби.
Построим график функций f (x) = x 2 и g (x) = 2 x .
Обратите внимание, что слева от оси y график приближается к 0, но никогда не касается 0. Это может выглядеть так, но эти значения y настолько малы, что их почти невозможно различить. от оси x. Справа от оси x он устремляется в бесконечность. Если у тебя есть когда-либо слышал о термине «экспоненциальный рост», вот откуда он.если ты когда-либо слышал о том, что что-то удваивается или утраивается по сравнению с заданным шагом, это считается экспоненциальный рост. Экспоненциальные функции, как правило, очень быстро становятся очень большими, и хотя они начинаются меньше, чем полиномиальные функции, они всегда в конечном итоге стать больше. Обратите внимание, что две функции встречаются в x = 2 и x = 4 , а затем экспоненциальная функция становится больше квадратичной.Это потому что при x = 2 обе функции равны 2 2 , а при x = 4 функции равны также равны ( 4 2 = 2 4 ).
Экспоненциальный рост и спад
Мы видели, что экспоненциальный рост имеет тенденцию начинаться с малого и постепенно увеличиваться. все больше и больше. Экспоненциальный рост и распад обычны в природе, например, рост количества микроорганизмов в культуре или распад звуковых колебаний.
Функции роста будут иметь положительное целое число, возведенное в положительную степень или дробь. меньше единицы, возведенное в отрицательное целое число. Следующие графики будут выглядеть те же самые.
Это потому, что, когда дробь возводится в отрицательную степень, знаменатель становится числителем, а показатель степени становится положительным, поэтому это то же самое, что и экспонента рост!
Большинство экспоненциальных функций будут выглядеть одинаково, за исключением случаев экспоненциального затухания.Функции распада будут либо положительной дробью меньше 1, возведенной в положительное значение. степень или положительное целое число, возведенное в отрицательную степень.
Давайте посмотрим на графики роста и спада.
Следует отметить две важные вещи. График распада идет в обратном направлении. направление графика роста. Кроме того, независимо от того, какая экспоненциальная функция, значение функции, когда x равно 0, всегда будет 1.Это потому, что любое значение, повышенное до 0 всегда 1.
Изобразите следующую экспоненциальную функцию
С этой функцией у нас есть дробь меньше единицы в качестве основы. Это должно означать это экспоненциальный спад. Еще у нас есть операторы — мы умножаем на 4 и добавление 3. Будьте осторожны с порядком операций, потому что нам нужно иметь дело с сначала экспонента, а затем операторы.
Мы видим, что график действительно является экспоненциальным убыванием и приближается к y = 3 , но никогда не касается его.
Решение для x
Мы должны видеть, что каждая экспоненциальная функция имеет горизонтальную асимптоту, где любая значение y никогда не пересечется. Это можно проиллюстрировать, когда мы найдем x. Учитывая уравнение
Как мы видели в разделе показателей в алгебре, мы могли видеть, что когда мы устанавливаем y равным 2, экспоненты будут равны, и поэтому x будет 1.
Мы можем сделать эту замену для нескольких значений y
Существует более простой способ найти x, выделив его с помощью y. Единственная проблема я показываю. Когда у нас есть сложение, мы вычитаем, а когда у нас есть умножение, мы делить — но что нам делать, когда у нас есть показатель степени? Что ж, мы могли бы поднять его до ответный
Это нам не помогает, так как мы хотим изолировать x.Мы узнали, что журнал простой способ изолировать показатель степени. Давай попробуем.
Здесь мы можем вставить любое значение y и получить значение x. Мы должны быть осторожны, потому что мы не можем взять журнал с любым значением, меньшим или равным 0. Давайте попробуем посильнее пример
Мы поступили бы так же, как и с любым другим уравнением, рассматривая член как показатель степени как переменную, пока мы не будем иметь с ней дело.
Это немного беспорядок, но он помогает! Мы успешно изолировали x и может найти любую координату уравнения.
В основном
Сложные проценты
В финансах при расчете процентов преобладают экспоненциальные функции. Формула сложных процентов — это очень важное экспоненциальное уравнение.
Формула сложных процентов
Где A — конечная сумма, P — начальная стоимость или принцип значение, r — процентная ставка (обычно дробная), n — число рецептур в год, а т — общее количество лет. Мы увидим это эта формула упрощается до экспоненциальных функций, к которым мы привыкли.
Что касается n , если проценты начисляются один раз в год, это будет считаться ежегодно и n будет 1. Если два раза в год, это будет считаться раз в полгода и n будет 2 (аналогично, ежеквартально будет 4, ежемесячно будет 12 и так далее). Поскольку процентная ставка выражается в годах, время должно быть выражено в годах. также.
Предположим, что процентная ставка составляет 4% ежемесячно, и пусть начальные инвестиции сумма составит 800 долларов.Какова конечная сумма через 10 лет?
Это форма экспоненциальной функции с основанием 1.08.
Предположим, вы хотите знать, сколько лет, пока у вас не будет 900 долларов, сколько лет это займет?
На это уйдет около 3-х лет. Изменяя частоту начисления процентов или ставку, процент можно кардинально изменить.Хотя эта формула важна для управления деньгами и расчет процентов с учетом процентных ставок банка и их количества Ежегодно, что, если мы увеличиваем его постоянно? Другими словами, что если мы взяли время t до бесконечности?
Естественная экспоненциальная функция f (x) = e x
Значение e — математическая константа, которая была обнаружена из соединения проблема с процентами.Мы обсудили начисление сложных процентов с разными приращениями на год, но что, если мы продолжим?
по мере того как мы складываем с меньшими приращениями, наш результат дает значение e .
Как и пи, значение е иррационально. Около двух знаков после запятой, он равен 2,72 . Функция f (x) = e x является уникальным экспоненциальная функция, потому что значение y всегда равно скорости изменения функция в этой точке.Никакая другая функция не имеет этой черты. Это изучается далее в исчислении, когда мы изучаем темпы изменения.
При y = 7,39 наклон также равен 7,39
Мы увидели, что если мы увеличим наш процент до бесконечного количества приращений, мы получить значение e . Это дает новую формулу, которую мы можем использовать для вычисления проценты, которые постоянно увеличиваются.
Непрерывное начисление процентов
Эта формула предназначена для вычисления процентов, которые были вычислены и добавлены к балансу счет каждое мгновение. На самом деле это невозможно, но непрерывное компаундирование Тем не менее, хорошо определяется как верхняя граница «обычных» сложных процентов. Обратите внимание, что в нашей формуле сложных процентов используются те же переменные, за исключением значение в скобках было заменено на e .
Эта формула также может использоваться для экспоненциального роста и экспоненциального затухания. В функцию e часто называют экспоненциальной функцией из-за ее уникального свойства. Мы должны помнить, что e — постоянная величина, поэтому она по-прежнему экспоненциально функциональная форма.
Давайте сделаем пример непрерывного накопления процентов. $ 1,000 долларов депонировано под 14% в год, постоянно пополняется.Найдите баланс через 8 лет.
Сначала давайте определим наши переменные. P = 1000 , r = 0,14 и t = 8 , так
.Производные экспоненциальной и логарифмической функций
14
Производная от ln x
Производная от e с функциональным показателем
Производная ln u ( x )
Общее правило власти
СИСТЕМА ЕСТЕСТВЕННЫХ ЛОГАРИФМОВ имеет в основе число e; это система, которую мы используем во всех теоретических работах.(В следующем уроке мы увидим, что e приблизительно равно 2 . 718.) Система натуральных логарифмов отличается от системы десятичных логарифмов, которая имеет основу 10 и используется в большинстве практических работ.
Мы обозначаем логарифмическую функцию с основанием e как «ln x ».
ln x = log e x .
y = ln x подразумевает e y = x .
Другими словами, это функция логарифма —
y = ln x
— имеет в качестве обратной экспоненциальной функции,
y = e x .
Вот обратные отношения:
ln e x = x и e ln x = x .
А логарифм самого основания всегда 1:
(Тема 20 Precalculus.)
Функция y = ln x является непрерывной и определена для всех положительных значений x . Он будет подчиняться обычным законам логарифмов:
1 . ln ab = ln a + ln b .
| 2 . пер. | а б | = ln a — ln b . |
3 . ln a n = n ln a .
(Тема 20 Precalculus.)
Как и все правила алгебры, они подчиняются правилу симметрии.
Например,
n ln a = ln a n .
Производная от ln x
Теперь применим определение производной, чтобы доказать:
| d dx | дюйм x | = | 1 x |
В ходе доказательства это значительно упростит, если мы определим основание системы натуральных логарифмов, число, которое мы называем e, как следующий предел:
Предел в доказательстве будет иметь такой же вид.
Позже мы будем называть переменную x , а не v . И в следующем уроке, после изменения переменной с v на, следует знакомое определение.
Вот коэффициент разницы:
| = | при умножении на x / x ; | |
| = | согласно 3-му закону. | |
Теперь возьмем предел, равный ч приближается к 0.
| = |
| Ограничение не распространяется на | 1 x | , потому что h — это переменная |
Теперь мы определяем этот предел как основание натуральных логарифмов, число, которое мы назовем e.(Этот предел равен указанному выше: против =; когда 0, 0.)
Следовательно,
| = | ||
| = | ||
| = | ||
Это то, что мы хотели доказать.
Чтобы увидеть, что этот лимит —
— то есть е существует, когда x приближается к 0, вот график
y имеет определенное значение, так как x приближается к 0. И в следующем уроке мы увидим, что это примерно 2,718.
Производная от e x
Сейчас докажем:
«Производная e x по x
равно e x .«
Поскольку y = e x является обратной величиной y = ln x , мы можем получить его производную следующим образом:
| л | = | e x | ||
| подразумевает | пер л | = | перегородка x | = х . |
Следовательно, взяв производную от обеих сторон относительно x и применив правило цепочки к ln y :
| = | 1. | ||
| год | = | л . | |
| То есть | |||
| = | e x . | ||
e x является собственной производной.
Что это означает? Это подразумевает значение экспоненциального роста. Ведь мы говорим, что количество растет «экспоненциально», когда оно растет со скоростью , которая пропорциональна его размеру. Чем он больше в любой момент времени, тем быстрее он растет в это время. Типичный пример — население. Чем больше будет особей, тем больше будет рождений и, следовательно, тем больше будет скорость изменения населения — количества рождений за каждый год.
Все экспоненциальные функции имеют вид a x , где a — основание. Следовательно, сказать, что скорость роста пропорциональна его размеру, означает сказать, что производная от a x пропорциональна a x .
| d dx | а x | = ка x | , |
где k — константа пропорциональности.(Урок 39 алгебры.) Когда мы вычислим эту производную ниже, мы увидим, что эта константа принимает вид ln a .
| d dx | а x | = ln a · a x | . |
В системе натуральных логарифмов, в которой e является основанием, у нас есть простейшая из возможных постоянных, а именно 1.
| d dx | e x | = e x . |
Производная от e с функциональным показателем
Когда y = e u ( x ) , то согласно правилу цепочки:
То есть
«Производная от e с функциональным показателем
равно e с этим показателем, умноженным на
производной этого показателя.«
Пример 1. Вычислить производную e 2 x + 3 .
| Решение . |
Задача 1. Вычислить производную e x 2 .
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!
e x 2 · 2 x = 2 x e x 2
Задача 2. Вычислите производную следующего.
a) e sin x . e sin x cos x
б) д −x . e — x (−1) = −e — x
c) x 2 e x . x 2 e x + 2 x e x
Согласно правилу продукта.
Производная ln u ( x )
Когда y = ln u ( x ), то согласно цепному правилу:
То есть
| Пример 2. |
| Пример 3. | d dx | лин. Sin x | = | 1 sin x | · cos x | = | cos x sin x | = детская кроватка x . |
Пример 4. Найдите производную ln x 2 .
Решение . Мы можем применять законы логарифмов:
| d dx | дюйм x 2 | = | d dx | 2 пер x , 3-й закон, | |||
| = | 2 | d dx | дюйм x | ||||
| = | 2 x | . | |||||
| Пример 5. Найти производную ln | . x 3 x — 4 | . |
Решение . Согласно 2-му Закону:
| d dx | пер. | x 3 x — 4 | = | d dx | [ln x — ln (3 x — 4)] |
| = | |||||
| = | |||||
| = | |||||
Проблема 3.Различают следующее.
| a) ln x 3 . | d dx | дюйм x 3 = | d dx | 3 дюйма x | = | 3 x |
| b) (ln x ) 3 . | 3 (лин x ) 2 · | 1 x | = | 3 (лин x ) 2 x |
| c) ln (3 x 2 — 4 x ). | 1 3 x 2 — 4 x | · (6 x -4) | = | 6 x — 4 3 x 2 — 4 x |
| d) ln (3 x — 4) 2 . | 1 (3 x -4) 2 | · 2 (3 x — 4) · 3 | = | 6 (3 x -4) (3 x -4) 2 | = | 6 3 x -4 |
| e) ln cos x . | 1 cos x | (−sin x ) | = | – | sin x cos x | = | −тан х |
| Проблема 4.Вычислить производную ln | 2 x | . |
| d dx | пер. | 2 x | = | d dx | (ln 2 — ln x ) = 0 — | 1 x | = — | 1 x |
Проблема 5.Производная журнала a x .
Согласно правилу перехода с базы e на другую базу a :
Тема 20 Precalculus.
Вычислить предел этой производной
a) когда x больше 1 и становится больше.
Эта производная приближается к 0, то есть становится меньше.
б) когда x меньше 1 и становится меньше.
Эта производная становится больше.
Общее правило власти
Теперь мы можем доказать, что производная f ( x ) = x n , где n — любой рациональный показатель степени, имеет следующий вид:
| d dx | x n | = n x n −1 |
Пусть
| л | = | x n . | ||
| Затем | ||||
| пер л | = | n ln x (3-й закон). | ||
| Следовательно, при взятии производной по x : | ||||
| = | n x | |||
| так что | ||||
| г | = | n x | · y | |
| = | n x | · x n | ||
| = | n x n −1 . | |||
Это то, что мы хотели доказать.
(Если n равно 0, тогда x 0 = 1, постоянная; его производная равна 0. Если n иррационально, потребуется рациональное приближение.)
| Задача 6. Вычислить производную от | .
Производная от a x
Докажем:
| d dx | а x | = ln a · a x |
«Производная экспоненциальной функции с основанием a
равно натуральному логарифму основания
.раз больше экспоненциальной функции.«
Пусть
Это то, что мы хотели доказать.
| Пример 6. | d dx | 2 x | = ln 2 · 2 x . |
Задача 7. Вычислите производную y = 10 5 x .
По цепному правилу:
Следующий урок: оценка e
Содержание | Дом
Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.
Авторские права © 2020 Лоуренс Спектор
Вопросы или комментарии?
Электронная почта: themathpage @ яндекс.com
.