Диагностическая контрольная работа по теме "Производная и ее приложение" (1 курс). Контрольная работа по производной


Контрольная работа по теме "Применение производной"

11 класс Алгебра и начала анализа Юрова Наталья Сергеевна

Контрольная работа по теме «Применение производной»

1 ВАРИАНТ

Физический смысл производной.

  1. Материальная точка движется прямолинейно по закону http://reshuege.ru/formula/95/957c4bf0ff713beb3b9821139c7ce673p.png (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9с.

Геометрический смысл производной, касательная

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

http://reshuege.ru/formula/ce/ce2ba27a06680200d2de39ad95e8d4bcp.png.

При t = 9 c имеем:

 

 

http://reshuege.ru/formula/66/66e3d6d772a9ff0968a8eb945e86060cp.pngм/с.

 

Ответ: 60.

Ответ: 60

119975

60

 

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой http://reshuege.ru/formula/ce/ce58d46c5d27ef6c053f03c697667beap.pngих угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения http://reshuege.ru/formula/c8/c8609f864228c13c1f3999e1095435a1p.png:

 

http://reshuege.ru/formula/f9/f950aeef7e448d7453ee50c2e622bb61p.png.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

27485

0,5

2. Прямая http://reshuege.ru/formula/9c/9c47422980919ac63a9b21b14feadb6ap.pngявляется касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/f7/f7f6681755b39e1ec8dfe2b390fb905ap.png. Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

Условие касания графика функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи прямой http://reshuege.ru/formula/10/10afe20a154e668773a425e2b93af4ccp.pngзадаётся системой требований:

 

http://reshuege.ru/formula/46/46c17bd791b046bddbfa6a8e38a81162p.png

 

В нашем случае имеем:

http://reshuege.ru/formula/73/73c7fce77e4f679f8c18d9328201d397p.png

 

Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

 

Ответ: −1.

Ответ: -1

27486

-1

3. На рисунке 1 изображён график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи восемь точек на оси абсцисс: http://reshuege.ru/formula/aa/aa687da0086c1ea060a8838e24611319p.png, http://reshuege.ru/formula/87/8732099f74d777a67257cb2f04ead3d8p.png, http://reshuege.ru/formula/28/28c5eac946471f68eefb01f7a53b1844p.png, http://reshuege.ru/formula/3b/3bde5c71067f2d0732e27d1598d0e3f1p.png, http://reshuege.ru/formula/96/96633bb730e5b646bb4cde4a0398ff84p.png. В скольких из этих точек производная функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngположительна?

4. На рисунке 2 изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

http://reshuege.ru/get_file?id=15848

Рис.1

http://reshuege.ru/get_file?id=5535

Рис.2

5. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=5536Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB:

 

http://reshuege.ru/formula/40/4001f202d97f5b3c87d0700cbe7eb6e8p.png

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

Решение.

Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция http://reshuege.ru/formula/dd/dde267ba49a1d51f4ff241f029a3befdp.pngвозрастает. На них лежат точки http://reshuege.ru/formula/5b/5bf3b500590c5d441cb0faf31c12e863p.pngТаких точек 4.

 

Ответ:4.

Ответ: 4

 

http://reshuege.ru/get_file?id=5542

6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

 

http://reshuege.ru/get_file?id=6110

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

7. Найдите наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/ac/ac738894ed96e06730330bd66d8d10f9p.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/ca/cab3a501d11ddff0b4959ccb43641eedp.png

8. Найдите наибольшее значение функции http://reshuege.ru/formula/34/34dadabd5b0e4a65f4384f0501f9870cp.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/b5/b53ddb0d48448aca018acd19721df1d9p.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

http://reshuege.ru/formula/57/57d2c7a675922a0d7c1ed4d3d818c8f7p.png

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

http://reshuege.ru/formula/c7/c783b81dc777844f4eea9fd71a3e183cp.png

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

 

http://reshuege.ru/get_file?id=1061

В точке http://reshuege.ru/formula/2a/2a23783e245cb03010d531e6af26146bp.pngзаданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

http://reshuege.ru/formula/7f/7f13a3b04600f5a35eb75b56ccbb9ef4p.png.

Ответ: 12.

Ответ: 12

77498

12

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

http://reshuege.ru/formula/55/55316c10aa3cd515e0cf86e257a794dbp.png

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

http://reshuege.ru/formula/39/399822a0fdf538b7116ccf60df02130ep.png

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

 

http://reshuege.ru/get_file?id=1062

В точке http://reshuege.ru/formula/e9/e9b34ff730961a43038cfc9954980d43p.pngзаданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

http://reshuege.ru/formula/6b/6bb74b0652eaaf2b9d3e156f47956134p.png.

Ответ: −2.

Ответ: -2

9. Найдите точку максимума функции http://reshuege.ru/formula/e6/e6a3b1523cbab0c137b81f0cf5f1bb31p.png.

10. Найдите точку минимума функции http://reshuege.ru/formula/73/7355112e2b162b8f8d00f4e73ae54a9cp.pngРешение.

Найдем производную заданной функции:

 

http://reshuege.ru/formula/99/999b0098d7c8dfad4b7f22cdb99b144bp.png

 

Найдем нули производной:

http://reshuege.ru/formula/01/01a48e91f6c81d1c1b29aa677d01ba42p.png

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

http://reshuege.ru/get_file?id=1006

Искомая точка минимума http://reshuege.ru/formula/d9/d9d1e6c3a49998deef7ad36a6e1bb0d9p.png

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

Контрольная работа по теме «Применение производной»

2 ВАРИАНТ

Физический смысл производной

1. Решение.

Найдем закон изменения скорости:

http://reshuege.ru/formula/ce/ce2ba27a06680200d2de39ad95e8d4bcp.png.

При t = 9 c имеем:

 

 

http://reshuege.ru/formula/66/66e3d6d772a9ff0968a8eb945e86060cp.pngм/с.

 

Ответ: 60.

Ответ: 60

119975

60

Материальная точка движется прямолинейно по закону http://reshuege.ru/formula/8a/8a3d1e6fc45547b963dac5041befa216p.png(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.

Геометрический смысл производной, касательная

Решение.

Условие касания графика функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи прямой http://reshuege.ru/formula/10/10afe20a154e668773a425e2b93af4ccp.pngзадаётся системой требований:

 

http://reshuege.ru/formula/46/46c17bd791b046bddbfa6a8e38a81162p.png

 

В нашем случае имеем:

http://reshuege.ru/formula/73/73c7fce77e4f679f8c18d9328201d397p.png

 

Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

 

Ответ: −1.

Ответ: -1

27486

-1

2. Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.

Решение.

Прямая http://reshuege.ru/formula/10/10afe20a154e668773a425e2b93af4ccp.pngявляется касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngв точке http://reshuege.ru/formula/3e/3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111bp.pngтогда и только тогда, когда одновременно http://reshuege.ru/formula/6e/6ee7962e00fff685a6d2cf4bd84ce7fep.pngи http://reshuege.ru/formula/3f/3f7acadee7d7031b31e6d9e732d5089dp.png. В нашем случае имеем:

 

http://reshuege.ru/formula/f6/f604e3ad741c244152b6aa4e2734b559p.png

 

Искомое значение а равно 0,125.

 

Ответ: 0,125.

 

Приведем другое решение.

По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график заданной функции — парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение ax2 + 2x + 3 = 3x + 1 имело единственно решение. Для этого дискриминант 1 − 8а уравнения ax2 − x + 2 = 0 должен быть равен нулю, откуда http://reshuege.ru/formula/b3/b38fb8bc672348fac4f3f62410bb0126p.png.

Ответ: 0,125

119972

0,125

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

 

http://reshuege.ru/formula/86/86b72c44438f5a8c178afd8b70fde963p.pngм/с.

 

Тогда находим:

http://reshuege.ru/formula/17/17d5ff9f52624617549c58e0abab2edap.pngм/с.

 

Ответ: 20.

Ответ: 20

119976

20

3. На рисунке изображён график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи двенадцать точек на оси абсцисс: http://reshuege.ru/formula/aa/aa687da0086c1ea060a8838e24611319p.png, http://reshuege.ru/formula/87/8732099f74d777a67257cb2f04ead3d8p.png, http://reshuege.ru/formula/28/28c5eac946471f68eefb01f7a53b1844p.png, http://reshuege.ru/formula/3b/3bde5c71067f2d0732e27d1598d0e3f1p.png, http://reshuege.ru/formula/bd/bd18434a3a9d2cf410cdbdd6ae7c0487p.png. В скольких из этих точек производная функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngотрицательна?

 

http://reshuege.ru/get_file?id=17672

Решение.

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция http://reshuege.ru/formula/ad/ada9aa25c3eff42b3c01d9dd281354fcp.pngубывает. В этих интервалах лежат точки http://reshuege.ru/formula/91/91daad3de3ec6b26faca1230775ec1e9p.pngТаких точек 7.

 

 

Ответ:7.

Ответ: 7

4. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=5534Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (2; 2), C (−6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB. Поэтому

 

http://reshuege.ru/formula/4d/4d38f30300b08f5769f6c03ce949b036p.png

 

 

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

http://reshuege.ru/get_file?id=5533

  1. На рисунке изображен график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.png, определенной на интервале (−5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.png отрицательна

http://reshuege.ru/get_file?id=6852

6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13;1].

 

http://reshuege.ru/get_file?id=6111

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

7. Найдите наибольшее значение функции http://reshuege.ru/formula/d9/d9323427daf4fd6e245b62f5dacf02aep.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/f2/f27fa0658c666a1eb4f07c60cefffd08p.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

http://reshuege.ru/formula/60/60d8cfa552b464adefc3705e1582524ap.png

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

http://reshuege.ru/formula/08/085c7029f90bdd61181c097e172c097cp.png

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

 

http://reshuege.ru/get_file?id=993

В точке http://reshuege.ru/formula/a2/a255512f9d61a6777bd5a304235bd26dp.pngзаданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

http://reshuege.ru/formula/db/dbee7c2b0813cc980f000241f92c21a4p.png.

Ответ: −3.

Ответ: -3

8. Найдите наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/1c/1c4aa2af465ab03745cff7a9e049d860p.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/b5/b53ddb0d48448aca018acd19721df1d9p.png.

9. Найдите точку минимума функции http://reshuege.ru/formula/99/99039012ace144e76e154c9b572fbbdep.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

http://reshuege.ru/formula/2a/2a54d099d8e35fabeb4d24a93c541980p.png

 

Найдем нули производной:

 

http://reshuege.ru/formula/de/de223a09841c182184922105564600cap.png

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

http://reshuege.ru/get_file?id=985

Искомая точка минимума http://reshuege.ru/formula/44/440bcb2225cd249b09bb29454f83249dp.png.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

26712

4

10. Найдите точку максимума функции http://reshuege.ru/formula/73/7355112e2b162b8f8d00f4e73ae54a9cp.pngРешение. Найдем производную заданной функции:

 

http://reshuege.ru/formula/37/3757c21b717b7777270c1ee1550c73dbp.png

 

Найдем нули производной:

http://reshuege.ru/formula/c9/c93ccf672dd283dd447dccafdea42da5p.png

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

http://reshuege.ru/get_file?id=1005

Искомая точка максимума http://reshuege.ru/formula/fd/fdcc4ed253108d26776eab65588e8fafp.png.

 

Ответ: −4.

Ответ: -4

77419

-4

Контрольная работа по теме «Применение производной»

3 ВАРИАНТ

Физический смысл производной

  1. Материальная точка движется прямолинейно по закону http://reshuege.ru/formula/86/86e98b38ef3466b37e0f1ddbc6fed5a6p.png (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Геометрический смысл производной, касательная

  1. Прямая http://reshuege.ru/formula/0c/0c0df81d507eed545ef5e15f254b6769p.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/61/6194e8c8f4d48200b65689062b805f41p.png. Найдите http://reshuege.ru/formula/4a/4a8a08f09d37b73795649038408b5f33p.png.

  1. На рисунке изображен график производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.png. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.png параллельна прямой http://reshuege.ru/formula/2a/2a0b857510c0f2b2631af9e06da84248p.png или совпадает с ней.

  2. Решение.

  3. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касател 

http://reshuege.ru/get_file?id=6105

Решение.

Условие касания графика функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи прямой http://reshuege.ru/formula/10/10afe20a154e668773a425e2b93af4ccp.pngзадаётся системой требований:

 

http://reshuege.ru/formula/46/46c17bd791b046bddbfa6a8e38a81162p.png

 

В нашем случае имеем:

http://reshuege.ru/formula/73/73c7fce77e4f679f8c18d9328201d397p.png

 

Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

 

Ответ: −1.

Ответ: -1

27486

-1

Решение.

Прямая http://reshuege.ru/formula/10/10afe20a154e668773a425e2b93af4ccp.pngявляется касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngв точке http://reshuege.ru/formula/3e/3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111bp.pngтогда и только тогда, когда одновременно http://reshuege.ru/formula/6e/6ee7962e00fff685a6d2cf4bd84ce7fep.pngи http://reshuege.ru/formula/3f/3f7acadee7d7031b31e6d9e732d5089dp.png. В нашем случае имеем:

 

http://reshuege.ru/formula/f6/f604e3ad741c244152b6aa4e2734b559p.png

 

Искомое значение а равно 0,125.

 

Ответ: 0,125.

 

Приведем другое решение.

По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график заданной функции — парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение ax2 + 2x + 3 = 3x + 1 имело единственно решение. Для этого дискриминант 1 − 8а уравнения ax2 − x + 2 = 0 должен быть равен нулю, откуда http://reshuege.ru/formula/b3/b38fb8bc672348fac4f3f62410bb0126p.png.

Ответ: 0,125

119972

0,125

4. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

http://reshuege.ru/get_file?id=5532Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=5531Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −9), B (−2; −3), C (−5; −3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB. Поэтому

 

http://reshuege.ru/formula/f9/f97f87de9aff64586f96cf05df24ea6dp.png.

 

Ответ: −2.

Ответ: -2

Решение.

Условие касания графика функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи прямой http://reshuege.ru/formula/10/10afe20a154e668773a425e2b93af4ccp.pngзадаётся системой требований:

 

http://reshuege.ru/formula/46/46c17bd791b046bddbfa6a8e38a81162p.png

 

В нашем случае имеем:

 

http://reshuege.ru/formula/84/8403ccb463d3b1e50e6649940ee892e3p.png

 

Ответ: 7.

Ответ: 7

119974

7

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

 

http://reshuege.ru/formula/86/86b72c44438f5a8c178afd8b70fde963p.pngм/с.

 

Тогда находим:

http://reshuege.ru/formula/17/17d5ff9f52624617549c58e0abab2edap.pngм/с.

 

Ответ: 20.

Ответ: 20

119976

20

5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

 

http://reshuege.ru/get_file?id=5520

  1. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

http://reshuege.ru/get_file?id=4934

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

  1. Найдите наибольшее значение функции http://reshuege.ru/formula/89/895b1dc46f309ff2cab7e512e3e18f69p.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/53/53499ecced22511440a580e51a38b0e6p.png

Решение.

Найдем производную заданной функции:

http://reshuege.ru/formula/77/77d0e880e785fdd372655288db339129p.png

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

http://reshuege.ru/formula/62/6271f709a8edaa7ffcfc035abfdbdab5p.png

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

http://reshuege.ru/get_file?id=990

В точке http://reshuege.ru/formula/46/468d4aa299a2818c26f803a081cca73ap.pngзаданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

http://reshuege.ru/formula/22/22c5745675c95d565189962e94a6cd2ep.png

 

Ответ: 51.

Ответ: 51

  1. Найдите наибольшее значение функции http://reshuege.ru/formula/02/02750a25d98fb0b1ae62f3485cd9bbd6p.png на отрезке http://reshuege.ru/formula/91/91b0c8355dd669a14515d0f59057ef42p.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

http://reshuege.ru/formula/f0/f02f3cd9fb18a3876c19874eca8aad05p.png

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

http://reshuege.ru/formula/04/0465a2a0af786bd1f41d442e9630cdc5p.png

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

 

http://reshuege.ru/get_file?id=980

В точке http://reshuege.ru/formula/76/760d190afdc30a1bf926646a9fcd4c73p.pngзаданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

http://reshuege.ru/formula/7b/7b2792bf3551d6ee6c41e1a504483e9fp.png.

Ответ: 12.

Ответ: 12

9. Найдите точку максимума функции http://reshuege.ru/formula/a3/a340ce4f8f979fa611ce22207a9d1b6ep.png.

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

http://reshuege.ru/formula/4e/4e84183315d7014a693048604cf39c6dp.png

 

Найдем нули производной:

 

http://reshuege.ru/formula/51/51815ad396bf317da8a23cc6ed19851ep.png

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

http://reshuege.ru/get_file?id=6807Искомая точка максимума http://reshuege.ru/formula/11/115f56d072ef0db3cfb4fddc6f534e13p.png.

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

26711

8

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

http://reshuege.ru/formula/20/209b2eb1e098281c61e2062ace6a93f1p.png

 

Найдем нули производной:

http://reshuege.ru/formula/ab/ab7b272132e64d6807a513d2bacd8ab1p.png

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

http://reshuege.ru/get_file?id=986

Искомая точка максимума http://reshuege.ru/formula/96/963cc614c691e29c44293967d937d5dfp.png.

 

Ответ: −15.

Ответ: -15

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

http://reshuege.ru/formula/f0/f02f3cd9fb18a3876c19874eca8aad05p.png

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

http://reshuege.ru/formula/04/0465a2a0af786bd1f41d442e9630cdc5p.png

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

 

http://reshuege.ru/get_file?id=980

В точке http://reshuege.ru/formula/76/760d190afdc30a1bf926646a9fcd4c73p.pngзаданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

http://reshuege.ru/formula/7b/7b2792bf3551d6ee6c41e1a504483e9fp.png.

Ответ: 12.

Ответ: 12

Решение.

Найдем производную заданной функции:

http://reshuege.ru/formula/14/1495bb74e8ad0521681eb0b08f0ac957p.png

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

http://reshuege.ru/formula/72/727a584cf87b9b7af2421d49d6fec9efp.png

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

http://reshuege.ru/get_file?id=989

В точке http://reshuege.ru/formula/46/468d4aa299a2818c26f803a081cca73ap.pngзаданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

 

http://reshuege.ru/formula/c8/c823868379ef1d43fc1def1d411ebc61p.png

 

Ответ: −18.

Ответ: -18

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=5530Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

 

http://reshuege.ru/formula/d6/d699730b4f78ddf32d259146dd1e85eap.png.

 

Ответ: − 0,25.

Ответ: -0,25

Решение.

Найдем производную заданной функции:

http://reshuege.ru/formula/c3/c3934ce864ff94a645475a1d1f2d0c39p.png

Найдем нули производной:

http://reshuege.ru/formula/81/8127ef0fa21c7f293bee002a56d2b8cfp.png

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

http://reshuege.ru/get_file?id=1021

Искомая точка максимума http://reshuege.ru/formula/54/54d244f1d0fd2eaa82a2f1c074d2f6dap.png

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

77435

2

10. Найдите точку минимума функции http://reshuege.ru/formula/10/1062b386e4dfa92854c653a90a0decb1p.pngРешение. Найдем нули производной: http://reshuege.ru/formula/c8/c869aef738ae8f7a42d87f94714cbdd9p.png 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

http://reshuege.ru/get_file?id=1022

Искомая точка минимума http://reshuege.ru/formula/60/60397d20d57a4f844fd21638064762fdp.png

 

Ответ: −2.

Ответ: -2

Контрольная работа по теме «Применение производной»

4 ВАРИАНТ

Физический смысл производной

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

http://reshuege.ru/formula/21/217013b4e6306c44d8a17a25159d820ep.png

 

Чтобы найти, в какой момент времени http://reshuege.ru/formula/e3/e358efa489f58062f10dd7316b65649ep.pngскорость была равна 3 м/с, решим уравнение:

 

http://reshuege.ru/formula/32/3290bd879b27bcbb3fbe4ab2dfdc5dcdp.png

 

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

119978

8

  1. Материальная точка движется прямолинейно по закону http://reshuege.ru/formula/bf/bf67fd9dad92b8ee7554742d5b886e75p.png(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Геометрический смысл производной, касательная

Решение.

Условие касания графика функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи прямой http://reshuege.ru/formula/10/10afe20a154e668773a425e2b93af4ccp.pngзадаётся системой требований:

 

http://reshuege.ru/formula/46/46c17bd791b046bddbfa6a8e38a81162p.png

 

В нашем случае имеем:

 

http://reshuege.ru/formula/84/8403ccb463d3b1e50e6649940ee892e3p.png

 

Ответ: 7.

Ответ: 7

119974

7

2. Прямая http://reshuege.ru/formula/22/2259560b226a72ef9b6aead9686f770fp.png является касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/0f/0fc053b2b525b2029d2c491b17630a5ap.png. Найдите http://reshuege.ru/formula/92/92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578fp.png, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

 

3. На рисунке изображен график производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.png. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngпараллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, она имеет вид http://reshuege.ru/formula/9d/9d746ab959f98b40dda0846d9a44c2e8p.png, и её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс. Поэтому искомая точка http://reshuege.ru/formula/52/52805d388d4a07409473f3998a5e013dp.png.

 

Ответ: -3.

Ответ: -3

http://reshuege.ru/get_file?id=6106

4. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

http://reshuege.ru/get_file?id=5528

 

5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

 

http://reshuege.ru/get_file?id=5520

  1. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

http://reshuege.ru/get_file?id=4934

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

  1. Найдите наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/18/186d52d15cdb898b4e375b140acf3b10p.pngна отрезке http://reshuege.ru/formula/7c/7c72307a4639f129b05b4e6537684abfp.png.

  1. Найдите наибольшее значение функции http://reshuege.ru/formula/02/02750a25d98fb0b1ae62f3485cd9bbd6p.pngна отрезке http://reshuege.ru/formula/91/91b0c8355dd669a14515d0f59057ef42p.png.

  1. Найдите точку минимума функции http://reshuege.ru/formula/fb/fbbc4fd606cfe40a2f37ff484013dfd7p.png.

  1. Найдите точку максимума функции http://reshuege.ru/formula/54/54640b9a2536ea66b7e52db51b0a33ddp.png.

п. Саук – Дере МБОУ СОШ № 45 2015 - 2016 учебный год

infourok.ru

"Производная" в формате ЕГЭ. страница 7

по теме «Исследование функции с помощью производной»

 

Вариант № 1

Часть А

1.     Сколько интервалов убывания имеет функция  f(х) = х3 – 3х?  

              А. 1.    Б.2.   В. 3.   Г. Ни одного

2.     Сколько критических точек имеет функция f(х) =  х3 –  9х2  + 15х

             А. 2.    Б.1.   В. 3.   Г. Ни одной

       3.   Значение функции у = – х2  + 4х + 2 в точке максимума равно…

            А. 0.    Б.2.   В. 6.   Г.8.

       4.   Сумма абсцисс критических точек функции

  f(х) =  х3 +  12х2  + 21х – 6   равна…

            А. – 1.    Б.7.   В. – 8.    Г. – 7.

       5.     Точкой максимума функции f(х) =  16х3 +  81х2   –  21х – 2    является…

            А. – 1.    Б.3,5.   В. – 3.    Г. – 3,5.

             

 Часть В.

1.  Найдите тангенс  угла наклона касательной  к оси абсцисс, если касательная проведена через точку х₀графика функции у = f(х), где f(х) = х2 -3х + 1, х₀ =2

2.  Найдите скорость точки в момент t0 = 4, если х(t) = t3 - 4t2

3.  Найдите точку перегиба к графику функции у = х3 - 3х2 +1

 

Часть  С.

1.     Напишите уравнение касательной к графику функции f(х) = х3– 1 в точке с абсциссой х0 = - 1

2.     Исследовать с помощью производной функцию и постройте график

а) f(х) =  х3  – 3х2   – 9х

б) f(х) =

 

 

Вариант № 2

Часть А

1.  Сколько интервалов возрастания имеет функция  f(х) = х3 – 3х2? 

              А. 1.    Б. Ни одного.   В. 2.   Г. 3

2.  Сколько критических точек имеет функция f(х) =  х3 –  6х2  + 9х

             А. Ни одной.    Б. 3.   В. 1.   Г. 2.

       3.   Значение функции у = 2х2  -  8х + 11 в точке минимума равно…

            А. 0.    Б.5.   В. 2.   Г.3.

 

 

       4.   Сумма абсцисс критических точек функции

  f(х) =  х3  - 3х2  - 9х – 4   равна…

            А. – 1.    Б.3.   В. – 3.    Г. – 2.

       5.     Точкой минимума функции f(х) =  16х3 -27х2   –  х –  5    является…

            А. 1.    Б. .   В. –.      Г. –1 .

             

 Часть В.

1.       Найдите тангенс  угла наклона касательной  к оси абсцисс, если касательная проведена через точку х₀графика функции у = f(х), где f(х) = -х5-2х2 +2 , х₀ = -1

2.       Найдите скорость точки в момент t0 = 4, если х(t) = t2 - t + 5

3.       Найдите точку перегиба к графику функции у = - 3х3  +4,5х2 + 1

 

Часть  С.

1.     Напишите уравнение касательной к графику функции

f(х) = х3 - 2х + 1 в точке с абсциссой х0 = 2

2.     Исследовать с помощью производной функцию и постройте график

а) f(х) =  + х2  - 3х +1

б) f(х) =

 

 

Контрольная работа по теме «Производная»

1 вариант 2 вариант

1. Найдите производную функции. 1. Найдите производную функции.

а) а)

б) б)

в) в)

г) г)

д) д)

2. При движении тела по прямой расстояние S 2. При движении тела по прямой расстояние S

(в метрах) изменяется по закону S(t)=t2+t+2. (в метрах) изменяется по закону S(t)=0,5t2-4t+6

Через сколько секунд после начала движения Через сколько секунд после начала движения

Мгновенная скорость тела будет равна 5м/с? тело остановится?

3. Напишите уравнение касательной к графику 3. Напишите уравнение касательной к графику

графику функции f(x) в точке x=a. графику функции f(x) в точке x=a.

4. Найдите абсциссу точки, в которой касательная 4. Найдите абсциссу точки, в которой касательная

к графику ф-ции f(x) параллельна данной прямой. к графику ф-ции f(x) параллельна данной прямой.

5. При каких значениях аргумента скорость 5. При каких значениях аргумента скорость

изменения ф-ции y=f(x) равна скорости изменения ф-ции y=f(x) равна скорости

изменения ф-ции y=g(x). изменения ф-ции y=g(x).

6. Составьте уравнение касательной к графику 6. Составьте уравнение касательной к графику

ф-ции f(x) в точке x=a. ф-ции f(x) в точке x=a.

7*** Найдите точку пересечения касательных к графику функции , проведённых

через точки с абсциссами х=5, х= -5.

Контрольная работа по теме «Применение производной к исследованию функции»

1 ВАРИАНТ 2 ВАРИАНТ

1. Найдите критические, стационарные точки и 1. Найдите критические, стационарные точки и

точки экстремума функции. точки экстремума функции.

а) а)

б) б)

2. При каких значениях параметра р функция 2. При каких значениях параметра р функция

возрастает на всей убывает на всей

числовой прямой. числовой прямой.

3. Найдите множество значений функции 3. Найдите множество значений функции

4. Длина, ширина и высота прямоугольного 4. Площадь прямоугольного треугольника

параллелепипеда с квадратным основанием 8 см2 . Каким должны быть длины сторон

составляет в сумме 36 см. Чему равен наиболь- треугольника, чтобы сумма площадей

ший объём такого параллелепипеда? квадратов, построенных на его сторонах,

была наименьшей?

5. При каком значении параметра 5. При каком наименьшем значении параметра

р уравнение имеет три корня. n уравнение имеет ровно два

корня.

6. Построить график функции. 6. Построить график функции.

, если x0= 1

2. Составьте уравнение касательной к графику функции

hello_html_m59365e7d.gif

в точке x0= 2.

3. Определите промежутки монотонности функции:

а) y = 3x2– 6x + 1

б) y = x9 — 9x

4. Определите критические точки функции:

а) f(x) = x3– 9x

б) f(x) = - hello_html_4756e72b.gif

5. Найдите точки экстремума функции:

f(x) = hello_html_7320f7bc.gif

6. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке:

f(x) = hello_html_4ca155cd.gif, [0,5 ; 3]

Контрольная работа по алгебре и началам анализа

для 10 класса по теме «Применение производной к исследованию функции»

Вариант № 2

1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x0, если:

f(x) =hello_html_65bd1047.gif, если x0= 1

2. Составьте уравнение касательной к графику функции

hello_html_m2129297.gif

в точке x0= - 1.

3. Определите промежутки монотонности функции:

а) y = 2x2+ 4x — 1

б) y = x7— 7x

4. Определите критические точки функции:

а) f(x) = x2– 16x

б) f(x) = hello_html_1a3b7697.gif

5. Найдите точки экстремума функции:

f(x) = hello_html_58d3c04.gif

6. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке:

f(x) = hello_html_m4132b280.gif, [ -3 ; - 1]

Урок в 10 классе по теме «Вычисление производных»

Найти производные функций

hello_html_m4de88fef.png

  1. Решив эти примеры, вы расшифруете фамилию французского математика, который ввёл термин «производная»

1

I. f(x) = (4 – 3x)

II. f(x) =

III. f(x) =

IV. f(x) =

V. f(x) = cos2x + sin(x +)

1. f`'(x) = - 2sin2x + cos(x +)

2. f '(x) =

3. f '(x) =

4. f '(x) =

5. f '(x) = - 30(4 – 3x)

2

I. f(x) =

II. f(x) =

III. f(x) =

IV. f(x) = cos6x+sin4x

V. f(x) =

1. f`'(x) = - 6sin6x + 4cos4x

2. f '(x) = 63(9х-5)

3. f '(x) =

4. f '(x) = -15(4 - 1,5x)

5. f '(x) =

3

I. f(x) = (20x + 4)

II. f(x) = 4sin

III. f(x) = sin4xcos6x – cos4xsin6x

IV. f(x) =

VI. f(x) =

1. f`'(x) =

2. f '(x) = 420(20x + 4)

3. f '(x) =

4. f '(x) =

5. f '(x) = - 2cos2x

4

I. f(x) = sin5xcosx – cos5xsinx

II. f(x) =

III. f(x) =

IV. f(x) =

V. f(x) = cos4xcos5x - sin4xsin5x

1. f`'(x) = -

2. f '(x) =

3. f '(x) = -9sin9x

4. f '(x) = 4cos4x

5. f '(x) =

5

I. f(x) =

II. f(x) = cos(6 – 4x)

III. f(x) = (4x + 3)

IV. f(x) = sin7xsin5x + cos7xcos5x

V. f(x) = (9 -x) +

1. f`'(x) = - 2sin2x

2. f '(x) = -18x(9 -x)+

3. f '(x) = 36(4x + 3)

4. f '(x) =

5. f '(x) = 4sin(6 – 4x)

6

I. f(x) = cos4xcos2x - sin4xsin2x

II. f(x) = 34sinx

III. f(x) = ctg + 1

IV. f(x) =

V. f(x) = (3x – 4)

1. f`'(x) = -

2. f '(x) =

3. f '(x) = 18(3x – 4)

4. f '(x) = 34sin2x

5. f '(x) = - 6sin6x

7

I. f(x) = sin6xsin4x + cos6xcos4x

II. f(x) = (8x + 4)

III. f(x) =

IV. f(x) = 5sin( - )

V. f(x) =

1. f`'(x) = sin

2 f '(x) =

3. f '(x) = - 2sin2x

4. f '(x) = 48(8x + 4)

5. f '(x) = -

8

I. f(x) =

II. f(x) = sin5xcosx – cos5xsinx

III. f(x) = (5 – 3x)

IV. f(x) = 7 sinx

V. f(x) = (7x +3)

1. f '(x) = 7sin2x

2. f '(x) = 49(7x +3)

3. f '(x) = 4cos4x

4. f '(x) =

5. f '(x) = - 15(5 – 3x)

9

I. f(x) =

II. f(x) =

III. f(x) =

IV. f(x) = sinxcos2x + cosxsin2x

V. f(x) = (x- 2x + 5)

1. f '(x) = 3cos3x

2. f '(x) =

3. f '(x) = 6(x - 2x + 5)(3x - 4x)

4. f '(x) = -

5. f '(x) =

10

I. f(x) =

II. f(x) = (4х + 6)

III. f(x) = - 2sinsin

IV. f(x) =

V. f(x) =

1. f '(x) =

2. f '(x) = - 5sin5x + 2sin2x

3. f '(x) = 20(4х + 6)

4. f '(x) =

5. f '(x) =

11

I. f(x) = (7 – 8х)

II. f(x) =

III. f(x) = cos5x – sin2x

IV. f(x) = (7x + 3)

V. f(x) = 2sin( - )

1. f '(x) = 35(7x + 3)

2. f '(x) = - 5sin5x – 2cos2x

3. f '(x) =

4. f '(x) = - 144(7 – 8х)

5. f '(x) = cos( - )

12

I. f(x) = sinxcos2x + cosxsin2x

II. f(x) =

III. f(x) = (8 -2x)

IV. f(x) = cos - sin

V. f(x) = ()

1. f '(x) = 8(2x - 8)

2. f '(x) = - sin

3. f '(x) = -

4. f '(x) =

5. f '(x) = 3cos3x

13

I. f(x) = (4х + 2)

II. f(x) = cos(2x – π)

III. f(x) =

IV. f(x) =

V. f(x) = sin5xsin3x + cos5xcos3x

1. f '(x) =

2. f '(x) = 18(2х+4)

3. f '(x) = -2sin2x

4. f '(x) = 24(4х + 2)

5. f '(x) = sin2x

14

I. f(x) = (9x + 3)

II. f(x) =

III. f(x) =

IV. f(x) = 6 (х³+ 5х)

V. f(x) =

1. f '(x)= 18х²+30

2. f '(x) =

3. f '(x) =

4. f '(x) = 36(9x + 3)

5. f '(x) = -

15

I. f(x) = (5 – 4x)

II. f(x) =

III. f(x) =

IV. f(x) = - 5cos( - π)

V. f(x) =

1. f '(x) = - sin

2. f '(x) =

3. f '(x) =

4. f '(x) = 64(4x – 5)

5. f '(x) = -

16

I. f(x) = sin(2x + 40)

II. f(x) = ( 6x – 2)- (9x + 7)

III. f(x) = sin (8x + 3)

IV. f(x) =

V. f(x) = sin8xsin3x + cos8xcos3x

1. f '(x) = - 5sin5x

2. f '(x) =

3. f '(x) =8 cos(8х+3)

4. f '(x) = 14 sin(2x + 40)cos(2x + 40)

5. f '(x) = 90(6x – 2) + 72(9x + 7)

17

I. f(x) = 3sin( - )

II. f(x) = sin5xsin3x + cos5xcos3x

III. f(x) = 2cos

IV. f(x) =

V. f(x) =

1. f '(x) =

2. f '(x) = - 2sin2x

3. f '(x) = -

4. f '(x) = sin

5. f '(x) = - sin

18

I. f(x) = 4sin( - )

II. f(x) = sin8xsin3x + cos8xcos3x

III. f(x) =

IV. f(x) =

V. f(x) = 4cossin

1. f '(x) = -

2. f '(x) = cos

3. f '(x) =

4. f '(x) = sin

5.f '(x) = - 5sin5x

19

I. f(x) = 5sin( - π)

II. f(x) = sin5xsinx + cos5xcosx

III. f(x) =

IV. f(x) =

V. f(x) = 2cossin

1. f '(x) = - 4sin4x

2. f '(x) = -cos

3. f '(x) = -

4. f '(x) =

5. f '(x) = cos

20

I. f(x) = 6sin( - )

II. f(x) = sin9xsin2x + cos9xcos2x

III. f(x) =

IV. f(x) =

V. f(x) = 6sin

1. f '(x) = 3cos

2. f '(x) = -

3. f '(x) =

4. f '(x) = - 7sin7x

5. f '(x) = -2sin

Известно, что объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией hello_html_5af3224b.png, t– время, ч.

Может быть кто–нибудь знает, как вычислить производительность труда в течение каждого часа работы?

Производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции.

СЛАЙД 9

hello_html_1328e4b9.png

hello_html_348f0800.png

hello_html_m73521c2d.png

1

2

3

4

1 вариант

б

в

а

г

2 вариант

в

г

б

а

Дополнительно

infourok.ru

Контрольная работа № 7 по теме «Применение производной к исследованию функций»

Контрольная работа № 7 (1 час)

Цели: выявление знаний учащихся, проверка степени усвоения ими изученного материала; развитие навыков самостоятельной работы.

Вариант 1

1. Составьте уравнение касательной к графику функции hello_html_1ad809be.png в точке hello_html_m11099777.png

2. Составьте уравнения касательных к графику функции hello_html_67e8ea77.png в точках его пересечения с осью абсцисс. Найдите точку ппересечения этих касательных.

3. Исследуйте функцию hello_html_1f68f3e4.png на монотонность и экстремумы и постройте её график.

4. Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции hello_html_1a98051f.png в точке с абсциссой hello_html_m5227dd2b.png параллельна биссектрисе первой координатной четверти.

Вариант 2

1. Составьте уравнение касательной к графику функции hello_html_32eb85e2.png в точке hello_html_4c73d215.png

2. Составьте уравнения касательных к графику функции hello_html_3756d292.png в точках его пересечения с осью абсцисс. Найдите точ-кку пересечения этих касательных.

3. Исследуйте функцию hello_html_m15d249a7.png на монотонность и экстремумы и постройте её график.

4. Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции hello_html_3f239aae.png в точке с абсциссой hello_html_1d0d2e87.png параллельна прямой hello_html_4fa8d347.png

Вариант 3

1. Составьте уравнение касательной к графику функции hello_html_m7cd49bad.png в точке х = 4.

2. Составьте уравнения касательных к графику функции hello_html_1df5bd34.png в точках его пересечения с осью абсцисс. Найдите точку пересечения этих касательных.

3. Исследуйте функцию hello_html_5a272faf.png на монотонность и экстремумы и постройте её график.

4. Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции hello_html_m77ffd675.png в точке с абсциссой hello_html_5c691e7e.png параллельна биссектрисе второй координатной четверти.

Вариант 4

1. Составьте уравнение касательной к графику функции hello_html_m64c578c.png в точке х = 1.

2. Составьте уравнения касательных к графику функции hello_html_7ba3769d.png в точках его пересечения с осью абсцисс. Найдите точку пересечения этих касательных.

3. Исследуйте функцию hello_html_m7c073ee1.png на монотонность и экстремумы и постройте её график.

4. Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции hello_html_m7673178c.png в точке с абсциссой hello_html_13737597.png параллельна прямой hello_html_50368094.png

Решение вариантов контрольной работы

Вариант 1

1. hello_html_7ed097d4.png

hello_html_4d268694.png

hello_html_m28310dbf.png

hello_html_5dda83a0.png

hello_html_m65e78607.png

Уравнение касательной:

hello_html_3c2d33ec.png

hello_html_m19b91458.png

hello_html_53ae13cb.png

Ответ: hello_html_3c90ddf4.png

2. hello_html_m604f3206.png

Найдем точки пересечения с осью 0х:

hello_html_m7356b7a1.png

hello_html_5450b5b8.png

hello_html_m27eb5b40.png

hello_html_3983aed0.png

hello_html_65a36eb2.png

Составим уравнение касательной в точке х = 1:

hello_html_3a9c9640.png

hello_html_m3fddcc.png

hello_html_38c39205.png

Получим, hello_html_6d31c16a.png

hello_html_m3dd63360.png

Составим уравнение касательной в точке х = –1:

hello_html_m500263e6.png

hello_html_498a820a.png

Получим hello_html_m5ef2b4d3.png

hello_html_4102e3b5.png

Найдем точку пересечения касательных:

hello_html_52ffcf54.png

hello_html_64b8ba77.png

х = 0

hello_html_m62c4afc3.png

Ответ: hello_html_861d0ed.png, hello_html_255705e8.png (0; –6).

3. hello_html_m2759aec5.png

1) Область определения: hello_html_m64086805.png

2) Чётность / нечётность:

hello_html_m58e504d5.png – чётная.

3) Асимптоты.

Асимптот нет.

4) Монотонность и экстремумы.

hello_html_1f55e243.png

hello_html_m41793728.png

hello_html_25670526.png

х = 0, х =  1

hello_html_76ca348a.png

hello_html_m6a7cfab6.png

hello_html_m3f95eac5.png

hello_html_5f92f981.png

5) Контрольные точки:

4. hello_html_m367e7572.png

Биссектриса первой координатной четверти имеет уравнение у = х. Если касательная ей параллельна, то она имеет такой же угловой коэффициент, то есть k = 1.

Таким образом, нужно найти такое значение параметра а, при котором производная данной функции в точке hello_html_77834907.png равна 1.

hello_html_m51bf81b.png

hello_html_525a525d.png

hello_html_m45b99921.png

hello_html_m7673abfd.png

Ответ: hello_html_7e569000.png

Вариант 2

1. hello_html_4078787d.png

hello_html_m6bf999a2.png

hello_html_35400ea7.png

hello_html_m3cbda1ea.png

hello_html_6ee61ae3.png

Уравнение касательной:

hello_html_m260a95a9.png

hello_html_m65fe9466.png

hello_html_m3cfd5863.png

Ответ: hello_html_2c50c4e.png

2. hello_html_m3b27244.png

Найдем точки пересечения с осью 0х:

hello_html_12bb9bf4.png

hello_html_44872999.png

hello_html_m3cf63109.png

hello_html_m27f59969.png

hello_html_581f917.png

Составим уравнение касательной в точке х = 2:

hello_html_c8c1b4.png

hello_html_3b622ae4.png

hello_html_m5f8b17be.png

Получим hello_html_m14cbdef3.png

hello_html_3dee3bb1.png

Составим уравнение касательной в точке х = –2:

hello_html_m28a8187a.png

hello_html_22e4e9c5.png

Получим hello_html_3d331a23.png

hello_html_m38115cd4.png

Найдем точку пересечения касательных:

hello_html_4403e403.png

hello_html_m5a402bd6.png

х = 0

hello_html_m43e25514.png

Ответ: hello_html_3689b73d.png (0; –48).

3. hello_html_25e81ab0.png

1) Область определения: hello_html_m7d0e237f.png

2) Чётность / нечётность:

hello_html_m275a9633.png – нечётная.

3) Асимптоты.

Асимптот нет.

4) Монотонность и экстремумы.

hello_html_m475026d4.png

hello_html_721ba55f.png

hello_html_m6e9d8dd9.png

hello_html_m1db523ca.png

hello_html_4e8adb09.png

hello_html_m8e686be.png

hello_html_4ae7ee46.png

hello_html_196eee72.png

5) Контрольные точки:

Пересечение с осью 0х: hello_html_3b56e00f.png

hello_html_m2289a57.png

х = 0, х =  1

А (0; 0), В (1; 0), С (–1; 0).

hello_html_m4991ec7c.png

4. hello_html_m1907f86.png

hello_html_m5da21060.png

Если касательная параллельна прямой hello_html_m793dc9f0.png то она имеет такой же угловой коэффициент, то есть hello_html_42a2c3e.png Значит, нужно найти такое же значение параметра а, при котором производная данной функции в точке hello_html_22dc8f73.png равна hello_html_547ec8f3.png

hello_html_468c4ae1.png

hello_html_ca0b06b.png

hello_html_m661e67fa.png

hello_html_2d6c8711.png

Ответ: hello_html_m3580a9c6.png

Вариант 3

1. hello_html_m20a8237c.png, х = 4.

hello_html_m23bbb822.png

hello_html_m64236677.png

hello_html_1fb6a8fa.png

hello_html_51d5f3ab.png

Уравнение касательной:

hello_html_m46879a11.png

hello_html_m4229942a.png

hello_html_74e0595.png

Ответ: hello_html_77fc710f.png

2. hello_html_4e65dbf2.png

Найдем точки пересечения с осью 0х:

hello_html_m396f10e.png

hello_html_m524825fe.png

hello_html_m4e3632a6.png

hello_html_m392094d.png

hello_html_27643e00.png

Составим уравнение касательной в точке х = 1:

hello_html_27ff9230.png

hello_html_68229fd8.png

hello_html_m7c6c1ea9.png

Получим hello_html_m16b1d75e.png

hello_html_m64e46d04.png

Составим уравнение касательной в точке х = –1:

hello_html_m734a2960.png

hello_html_6f112208.png

Получим hello_html_m443da1cf.png

hello_html_165f3a2.png

Найдем точку пересечения касательных:

hello_html_78542250.png

hello_html_m40f4c85c.png

х = 0

hello_html_59c8aaff.png

Ответ: hello_html_1a1bfb67.png (0; –24).

3. hello_html_m39b79859.png

1) Область определения:hello_html_m212d7b64.png

2) Чётность / нечётность:

hello_html_3c28a4ff.png – ни чётная, ни нечётная.

3) Асимптоты.

Асимптот нет.

4) Монотонность и экстремумы.

hello_html_m31ff7851.png

hello_html_m5ddde6b5.png

hello_html_328ee059.png

х = 0, х = 2

hello_html_m230e9d26.png

hello_html_m5b39190d.png

hello_html_ff67596.png

hello_html_m7a2ee5f7.png

5) Контрольные точки:

4. hello_html_1d0756b0.png

Биссектриса второй координатной четверти имеет уравнение у = –х. Если касательная ей параллельна, то она имеет такой же угловой коэффициент, то есть k = –1.

Таким образом, нужно найти такое значение параметра а, при котором производная данной функции в точке hello_html_9331974.png равна –1.

hello_html_m104d1f52.png

hello_html_m22a77b85.png

hello_html_m4207a316.png

hello_html_7ec98c43.png

Ответ: hello_html_1cab0aac.png

Вариант 4

1. hello_html_3840dc28.png х = 1.

hello_html_7af50ac7.png

hello_html_7717769f.png

hello_html_m3156e2f5.png

hello_html_78eb641a.png

Уравнение касательной:

hello_html_10e28fac.png

hello_html_67ac6b32.png

hello_html_e15d21d.png

Ответ: hello_html_m5b830c04.png

2. hello_html_1d536fd4.png

Найдем точки пересечения с осью 0х:

hello_html_m38550f97.png

hello_html_m2ca57d3c.png

hello_html_1765d19b.png

hello_html_20b55fa2.png

hello_html_65a36eb2.png

Составим уравнение касательной в точке х = 1:

hello_html_681cc7cf.png

hello_html_973ecc0.png

hello_html_m75fae22d.png

Получим hello_html_m4c8da479.png

hello_html_m402fd9cb.png

Составим уравнение касательной в точке х = –1:

hello_html_m60015a3d.png

hello_html_m623e6e05.png

Получим hello_html_m39cf5e0.png

hello_html_m43a535ff.png

Найдем точку пересечения касательных:

hello_html_m3d59e9bc.png

hello_html_12d0a459.png

х = 0

hello_html_2528c611.png

Ответ: hello_html_3a5c9bc5.png (0; –68).

3. hello_html_m53ea4de3.png.

1) Область определения: hello_html_m31fa33b2.png

2) Чётность / нечётность:

hello_html_7b290e37.png – чётная.

3) Асимптоты.

Асимптот нет.

4) Монотонность и экстремумы.

hello_html_2d02d0a4.png

hello_html_m1be4a07f.png

hello_html_m736f250d.png

х = 0, х = hello_html_m1ede011b.png

hello_html_m3409b159.png

hello_html_m558fec1d.png

hello_html_385d0c83.png

hello_html_7327e375.png

hello_html_18582984.png

5) Контрольные точки:

4. hello_html_7f3a65de.png

hello_html_m51936bf9.png

Если касательная параллельна прямой hello_html_16ff12f0.png то она имеет такой же угловой коэффициент, то есть k = 1. Значит, нужно найти такое же значение параметра а, при котором производная данной функции в точке hello_html_76048ba2.pngравна 1.

hello_html_md8dbeb6.png

hello_html_m1f000c42.png

–а = 1

а = –1

Ответ: а = –1.

infourok.ru

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по теме «ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №10 по теме

«ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ»

1

f(x) = hello_html_3a3055ce.gif.

2. Найдите экстремумы функции:

а) f(x) = hello_html_3a3055ce.gif;

б) f(x) = hello_html_3726627a.gif.

3. Найдите интервалы возрастания и

убывания функции

f(x) = hello_html_3a3055ce.gif.

1. Найдите стационарные точки функции

f(x) = hello_html_m74083e46.gif.

2. Найдите экстремумы функции:

а) f(x) = hello_html_m74083e46.gif ;

б) f(x) = hello_html_7aa196dc.gif.

3. Найдите интервалы возрастания и

убывания функции

f(x) = hello_html_m74083e46.gif .

4. Найдите наибольшее и наименьшее

значения функции f(x) = hello_html_3a3055ce.gif

на отрезке hello_html_7f209e06.gif

5. Постройте график функции

f(x) = hello_html_3a3055ce.gif на отрезке hello_html_776edb16.gif

6. Среди прямоугольников, сумма длин

трех сторон у которых равна 20, найдите

прямоугольник наибольшей площади.

4. Найдите наибольшее и наименьшее

значения функции f(x) = hello_html_m74083e46.gif

на отрезке hello_html_d46df9e.gif

5. Постройте график функции

f(x) = hello_html_m74083e46.gif на отрезке hello_html_776edb16.gif

6. Найдите ромб с наибольшей площадью,

если известно, что сумма длин его

диагоналей равна 10.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №10 по теме

«ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ»

1

f(x) = hello_html_3a3055ce.gif.

2. Найдите экстремумы функции:

а) f(x) = hello_html_3a3055ce.gif;

б) f(x) = hello_html_3726627a.gif.

3. Найдите интервалы возрастания и

убывания функции

f(x) = hello_html_3a3055ce.gif.

1. Найдите стационарные точки функции

f(x) = hello_html_m74083e46.gif.

2. Найдите экстремумы функции:

а) f(x) = hello_html_m74083e46.gif ;

б) f(x) = hello_html_7aa196dc.gif.

3. Найдите интервалы возрастания и

убывания функции

f(x) = hello_html_m74083e46.gif .

4. Найдите наибольшее и наименьшее

значения функции f(x) = hello_html_3a3055ce.gif

на отрезке hello_html_7f209e06.gif

5. Постройте график функции

f(x) = hello_html_3a3055ce.gif на отрезке hello_html_776edb16.gif

6. Среди прямоугольников, сумма длин

трех сторон у которых равна 20, найдите

прямоугольник наибольшей площади.

4. Найдите наибольшее и наименьшее

значения функции f(x) = hello_html_m74083e46.gif

на отрезке hello_html_d46df9e.gif

5. Постройте график функции

f(x) = hello_html_m74083e46.gif на отрезке hello_html_776edb16.gif

6. Найдите ромб с наибольшей площадью,

если известно, что сумма длин его

диагоналей равна 10.

infourok.ru

Диагностическая контрольная работа по теме "Производная и ее приложение" (1 курс)

Министерство образования Ульяновской области

Областное государственное бюджетное образовательное

учреждение среднего профессионального образования

«Ульяновский электромеханический колледж»

Утверждаю

заместитель директора по учебной работе _________

« ______»________20_____г

Математика

Диагностические материалы контрольной работы

по теме «Производная и ее приложения»

для всех специальностей первого курса

Одобрено на заседании предметно – цикловой комиссии

математических и естественно - научных дисциплин

протокол № от «___» ____20__ г.

Председатель__________________

Разработал

Преподаватель

________Э.С.Статива

Ульяновск

1 Пояснительная записка

Контроль является одной из составляющих учебного процесса, и от его правильной организации на всех этапах обучения в конечном итоге зависит качество знаний студентов.

Контроль выполняет три функции:

- управляет процессом усвоения знаний, дает возможность увидеть ошибки, оценить результаты обучения, осуществить коррекцию знаний, умений и навыков;

- выполняет познавательную мотивацию и стимулирует творческую деятельность;

- является средством обучения и развития.

Структура каждого варианта заданий по форме приближена к структуре действующих форм итоговой проверки математической подготовки учащихся.

Каждый вариант состоит из двух частей и содержит 9 заданий.

Часть 1 состоит из 6 заданий. Часть 2 состоит из 3 более сложных заданий. При выполнении заданий надо записать полное решение и полный ответ.

Курс – для студентов первого курса всех специальностей

Форма проведения - контрольная работа

Время выполнения: 45 минут

Оценивание заданий: Часть 1. 1задание – 4 б

2 задание – 2 б

3 задание – 2 б

4 задание – 1 б

5 задание – 2 б

6 задание – 2 б

Часть 2. 7 задание – 3 б

8 задание – 3 б

9 задание – 3 б

Примечание: 1.Разрешается пользоваться справочниками и таблицами

  1. Разрешается пользоваться МК

  2. Отметка ставится только на основании правильных ответов; за ошибочные ответы баллы не снимаются

2 Критерии оценки

«5» - 20-21 балл

«4» – 13-19 баллов

«3» – 10-12 баллов

«2» -набрано менее 12 баллов.

Контрольная работа по математике

по теме «Производная и ее приложения»

для студентов первого курса всех специальностей

Каждый вариант состоит из двух частей и содержит 9 заданий.

Часть 1 состоит из 6 заданий. Часть 2 состоит из 3 более сложных заданий. При выполнении заданий надо записать полное решение и полный ответ.

Вариант- 1.

Часть 1.

1.Найти производные следующих функций:

а) у = б) у =

в) у = г) у =

2.Найти значение производной функции в точке х0=0, если

3. Найти критические точки функции у = 7 + 12х -

4.Закон движения точки по прямой задается формулой , где t – время (в секундах), - отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найти скорость и ускорение в момент времени t = 2 сек.

5.Определить промежутки монотонности функции у =

6. Используя данные таблицы, найти точку максимума функции у =

х

(;-8 )

-8

( -8;0 )

0

( 0; +

+

0

-

0

+

Часть 2.

7. Составить и решить уравнение=, если .

8.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х3-9х2+24х-1

на отрезке

9. Найти точки экстремума заданной функции и определить их характер

у =

Время выполнения: 45 минут

Оценивание заданий: Часть 1. 1задание – 4 б

2 задание – 2 б

3 задание – 2 б

4 задание – 2 б

5 задание – 2 б

6 задание – 1 б

Часть 2. 7 задание – 3 б

8 задание – 3 б

9 задание – 3 б

Примечание: 1.Разрешается пользоваться справочниками и таблицами

  1. Разрешается пользоваться МК

  2. Отметка ставится только на основании правильных ответов; за ошибочные ответы баллы не снимаются

2 Критерии оценки

«5» - 20-21 балл

«4» – 13-19 баллов

«3» – 10-12 баллов

«2» -набрано менее 12 баллов.

Контрольная работа по математике

по теме «Производная и ее приложения»

для студентов первого курса всех специальностей

Каждый вариант состоит из двух частей и содержит 9 заданий.

Часть 1 состоит из 6 заданий. Часть 2 состоит из 3 более сложных заданий. При выполнении заданий надо записать полное решение и полный ответ.

Вариант- 2.

Часть 1.

1.Найти производные следующих функций:

а) у = - 3 б) у =

в) у = г) у =

2. Найти значение производной функции в точке х0= -1, если

3. Найти критические точки функции у = 3х3+2х2-7.

4.Закон движения точки по прямой задается формулой , где t – время (в секундах), - отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найти скорость и ускорение в момент времени t = 3 сек.

5.Определить промежутки монотонности функции у =

6. Используя данные таблицы, найти точку максимума функции у =

х

(;4 )

4

( 4;7)

7

( 7; +

-

0

+

0

-

Часть 2.

7. Составить и решить уравнение=, если .

8.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х3+3х2-45х-2

на отрезке

9. Найти точки экстремума заданной функции и определить их характер

у =

Время выполнения: 45 минут

Оценивание заданий: Часть 1. 1задание – 4 б

2 задание – 2 б

3 задание – 2 б

4 задание – 2 б

5 задание – 2 б

6 задание – 1 б

Часть 2. 7 задание – 3 б

8 задание – 3 б

9 задание – 3 б

Примечание: 1.Разрешается пользоваться справочниками и таблицами

  1. Разрешается пользоваться МК

  2. Отметка ставится только на основании правильных ответов; за ошибочные ответы баллы не снимаются

2 Критерии оценки

«5» - 20-21 балл

«4» – 13-19 баллов

«3» – 10-12 баллов

«2» -набрано менее 12 баллов.

Контрольная работа по математике

по теме «Производная и ее приложения»

для студентов первого курса всех специальностей

Каждый вариант состоит из двух частей и содержит 9 заданий.

Часть 1 состоит из 6 заданий. Часть 2 состоит из 3 более сложных заданий. При выполнении заданий надо записать полное решение и полный ответ.

Вариант- 3.

Часть 1.

1.Найти производные следующих функций:

а) у = 7 б) у =

в) у = г) у =

2.Найти значение производной функции в точке х0=1, если

3. Найти критические точки функции у = 8 +2-

4.Закон движения точки по прямой задается формулой , где t – время (в секундах), - отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найти скорость и ускорение в момент времени t = 1 сек.

5.Определить промежутки монотонности функции у =

6. Используя данные таблицы, найти точку максимума функции у =

х

(;-5)

-5

( -5;2)

2

( 2; +

-

0

+

0

-

Часть 2.

7. Составить и решить уравнение=, если .

8.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х3-9х2+15х-3на отрезке

9. Найти точки экстремума заданной функции и определить их характер

у =

Время выполнения: 45 минут

Оценивание заданий: Часть 1. 1задание – 4 б

2 задание – 2 б

3 задание – 2 б

4 задание – 2 б

5 задание – 2 б

6 задание – 1 б

Часть 2. 7 задание – 3 б

8 задание – 3 б

9 задание – 3 б

Примечание: 1.Разрешается пользоваться справочниками и таблицами

  1. Разрешается пользоваться МК

  2. Отметка ставится только на основании правильных ответов; за ошибочные ответы баллы не снимаются

2 Критерии оценки

«5» - 20-21 балл

«4» – 13-19 баллов

«3» – 10-12 баллов

«2» -набрано менее 12 баллов.

Контрольная работа по математике

по теме «Производная и ее приложения»

для студентов первого курса всех специальностей

Каждый вариант состоит из двух частей и содержит 9 заданий.

Часть 1 состоит из 6 заданий. Часть 2 состоит из 3 более сложных заданий. При выполнении заданий надо записать полное решение и полный ответ.

Вариант- 4.

Часть 1.

1.Найти производные следующих функций:

а) у = - б) у =

в) у = г) у =

2.Найти значение производной функции в точке х0= 2, если

3. Найти критические точки функции у = х4-8х2

4.Закон движения точки по прямой задается формулой , где t – время (в секундах), - отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найти скорость и ускорение в момент времени t = 5 сек.

5.Определить промежутки монотонности функции у=

6. Используя данные таблицы, найти точку максимума функции у =

х

(;0)

0

( 0;6)

6

( 6; +

+

0

-

0

+

Часть 2.

7. Составить и решить уравнение=, если .

8.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х4-8х3+10х2+1

на отрезке

9. Найти точки экстремума заданной функции и определить их характер

у =

Время выполнения: 45 минут

Оценивание заданий: Часть 1. 1задание – 4 б

2 задание – 2 б

3 задание – 2 б

4 задание – 2 б

5 задание – 2 б

6 задание – 1 б

Часть 2. 7 задание – 3 б

8 задание – 3 б

9 задание – 3 б

Примечание: 1.Разрешается пользоваться справочниками и таблицами

  1. Разрешается пользоваться МК

  2. Отметка ставится только на основании правильных ответов; за ошибочные ответы баллы не снимаются

2 Критерии оценки

«5» - 20-21 балл

«4» – 13-19 баллов

«3» – 10-12 баллов

«2» -набрано менее 12 баллов.

infourok.ru


Смотрите также