Итоговый тест по математике для 8 класса за 2 полугодие
Итоговая контрольная работа
по математике
8 класс
2 полугодие
Выполнила:
Евдокимова Юлия Борисовна
учитель математики первой
квалификационной категории
Пояснительная записка
В контрольной работе предлагаются задания в 2 вариантах. Каждый из которых состоит из 20 заданий и включает в себя как задания по алгебре, так и по геометрии.
Основные темы, которые включены в задания теста:
* Квадратные уравнения;
* Решение задач с помощью квадратных уравнений;
* Квадратичная функция;
* Квадратные неравенства;
* Метод интервалов;
*Соотношения в прямоугольном треугольнике;
* Окружность.
Проверку знаний предполагается осуществить в форме теста на образовательном портале ОУ, поэтому все задания предполагают либо краткий ответ, либо выбор ответа. Это обусловлено тем, что:
* Во-первых, тест был составлен для проведения зачета в период дистанционного обучения;
* Во-вторых, тест служит некой проверкой на внимательность, т.к. в заданиях нужно вдумчиво читать условие, прежде чем записать ответ.
Обращаю внимание, что только учитель определяет, при помощи каких средств будет осуществлен итоговый контроль.
Сумма баллов начисляется за правильно выполненные задания в соответствии максимально возможному количеству предложенных баллов для каждого номера.
Количество баллов для конкретного задания определяется учителем. При переводе в 5-и бальную систему оценивания предлагается следующая примерная шкала перевода:
90% — 100% − «5»;
70% — 89% − «4»;
50% — 69% – «3»;
0% — 49%– «2».
Вариант 1
1. Решите уравнение , в ответ запишите меньший из корней.
2. Найдите корни уравнения . В ответ запишите их сумму.
3. Решите уравнение . В ответ запишите больший из корней.
4. Какое из уравнений имеет два различных корня?
1) ;
2) ;
3) ;
4) Все уравнения.
5. Решите уравнение . Если получилось более одного корня, то в ответ запишите больший из них.
6. Длина стадиона в 2 раза больше, чем ширина. Найдите ширину стадиона, если площадь равна 7200 м.кв.
7. Произведение двух натуральных чисел равно 48. Одно из чисел на 8 меньше, чем другое. Найдите эти числа, записав в ответ меньшее из них.
8. График какой функции изображен на рисунке?
1) 2)
3) 4)
9.
Укажите абсциссу вершины параболы, заданной уравнением .
10. Найдите наибольшее значение функции .
11. Известно, что график функции проходит через точку (1;3). Найдите значение параметра а.
12. Решите неравенство . В ответе укажите наименьшее целое число, из получившегося промежутка.
13. Решите неравенство . В ответе укажите наибольшее целое отрицательное значение, из получившегося промежутка.
14. Найдите медиану прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, если гипотенуза равна 14.
15. В прямоугольном треугольнике АВК гипотенуза АВ равна 10, а катет ВК равен 8. Найдите косинус угла А.
16. В параллелограмме АВСD диагональ АС является биссектрисой угла А. Найдите сторону ВС, если периметр АВСD равен 36.
17. В окружности вписанный угол АВС равен 40 градусов. Дуга ВС равна 154 градусов. Найти дугу АВ.
18. В окружности проведены две хорды АВ и СD, пересекающиеся в точке М так, что МВ=10см, АМ=12 см, DС=23 см. Найдите длины СМ и DМ. В ответе укажите длину меньшего отрезка.
19. Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 6,5 см. Найдите площадь треугольника, если один из его катетов равен 5 см.
20. Около остроугольного треугольника АВС описана окружность. Точка О пересечения серединных перпендикуляров удалена от прямой АВ на 6 см. Найдите радиус окружности, если ∠AOC = 90°, ∠OBC = 15°.
Вариант 2
1. Решите уравнение , в ответ запишите больший из корней.
2. Найдите корни уравнения . В ответ запишите их сумму.
3. Решите уравнение . В ответ запишите меньший из корней.
4. Какое из уравнений имеет два различных корня?
1) ;
2) ;
3) ;
4) все уравнения.
5. Решите уравнение . Если получилось более одного корня, то в ответ запишите меньший из них.
6. Длина прямоугольного участка земли в 3 раза больше, чем ширина. Найдите ширину участка, если площадь равна 1200 м.кв.
7. Произведение двух натуральных чисел равно 30, а их разность равна 7. Найдите эти числа, записав в ответ большее из них.
8. График какой функции изображен на рисунке?
1) 2)
3) 4)
9. Укажите абсциссу вершины параболы, заданной уравнением .
10. Найдите наименьшее значение функции .
11. Известно, что график функции проходит через точку (1;5). Найдите значение параметра а.
12. Решите неравенство . В ответе укажите наименьшее целое значение, из получившегося промежутка.
13.
Решите неравенство . В ответе укажите наименьшее целое значение, из получившегося промежутка.
14. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к этой гипотенузе, равна 4.
15. В прямоугольном треугольнике АВК гипотенуза АВ равна 15, катет АК равен 12. Найдите синус угла А.
16. В параллелограмме АВСD диагональ АС является биссектрисой угла А. Найдите сторону ВС, периметр АВСD равен 32.
17. В окружности вписанный угол АВС равен 60 градусов. Дуга ВС равна 120 градусов. Найти дугу АВ.
18. В окружности проведены две хорды АВ и СD, пересекающиеся в точке К так, что КС=6 см, АК=8 см, ВК+DК=21 см. Найдите длины ВК и DК. В ответ укажите длину большего из отрезков.
19. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вписан в окружность. Найдите ее радиус.
20. Около остроугольного треугольника АВС описана окружность.
Точка О пересечения серединных перпендикуляров удалена от прямой АВ на 8 см. Найдите радиус окружности, если ∠AOC = 90°, ∠OBC = 15°.
Ответы
№ задания | Вариант 1 | Вариант 2 |
1 | — 4 | 1 |
2 | 5 | — 4 |
3 | 4 | — 3 |
4 | 2 | 1 |
5 | 5 | — 2 |
6 | 60 | 20 |
7 | 4 | 10 |
8 | 1 | 4 |
9 | 1 | 2 |
10 | — 4 | — 16 |
11 | 2 | 3 |
12 | 0 | 2 |
13 | — 4 | 0 |
14 | 7 | 8 |
15 | 0,6 | 0,6 |
16 | 9 | 8 |
17 | 126 | 120 |
18 | 8 | 12 |
19 | 30 | 5 |
20 | 12 | 16 |
Контрольная работа по математике за 2 четверть в 8 классе.
Контрольные работы по математике 8 класс.
Учитель математики: Кулинич Владимир
Григорьевич
Школа: МОУ Негинская СОШ Брянской
области Суземского района
Пояснительная записка.
Данные контрольные работы разработаны на основе рабочей
программы 8 класса учебного курса составленной на основе
примерной программы основного общего образования по математике в
соответствии с федеральным компонентом государственного
стандарта и с учетом рекомендаций авторских программ
Ю.Н.Макарычева по алгебре и Л.С. Атанасяна по геометрии. Всего 14
контрольных: 5 по геометрии и 9 по алгебре. Список источников
информации: Ю.Н.Макарычев учебник по алгебре 8 класс и Л.С.
Атанасян учебник геометрии 7-9 класс. Все иллюстрации авторские.
Контрольная работа №1 по теме «Сложение и вычитание
дробей»
Контрольная работа №2 по теме «Рациональные дроби»
Контрольная работа №3 по теме «Четырехугольники»
Контрольная работа 4 по теме «Арифметический квадратный
корень»
Контрольная работа №5 по теме «Квадратные корни»
Контрольная работа №6 по теме «Площадь»
Контрольная работа №7 по теме «Формула корней квадратного
уравнения»
Контрольная работа №8 по теме «Квадратные уравнения».
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2 — РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
Вариант 1
1. Представьте в виде дроби:
2. Постройте график функции у = 6/x. Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает отрицательные значения?
3. Докажите, что при всех значениях b ≠ ±1 значение выражения не зависит от b.
4. При каких значениях а имеет смысл выражение
Вариант 2
1. Представьте в виде дроби:
2. Постройте график функции у = -6/x. Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает положительные значения?
3. Докажите, что при всех значениях x ≠ ±2 значение выражения не зависит от х.
4. При каких значениях b имеет смысл выражение
Вариант 3
1. Представьте в виде дроби:
2. Постройте график функции у = 4/x. Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает положительные значения?
3. Докажите, что при всех значениях у ≠ ±3 значение выражения не зависит от у.
4. При каких значениях х имеет смысл выражение
Вариант 4
1. Представьте в виде дроби:
2. Постройте график функции у = -4/x. Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает отрицательные значения?
3. Докажите, что при всех значениях а ≠ ±5 значение выражения не зависит от а.
4. При каких значениях y имеет смысл выражение
Решение вариантов контрольной работы
Вариант 1
|
x |
1 |
2 |
3 |
6 |
— 1 |
-2 |
-3 |
-6 |
|
y |
6 |
3 |
2 |
1 |
-6 |
-3 |
-2 |
— 1 |
Область определения функции: (-∞; 0) и (0; +∞).
Функция принимает отрицательные значения при х є (-∞; 0).
3. Упростим данное выражение:
Таким образом, при любом значении b данное выражение равно 2, то есть не зависит от b.
4. Чтобы выражение имело смысл, должны выполняться два условия:
Ответ: a ≠ 1,5; a ≠ -1/4.
Вариант 2
|
x |
1 |
2 |
3 |
6 |
— 1 |
-2 |
-3 |
-6 |
|
y |
-6 |
-3 |
-2 |
— 1 |
6 |
3 |
2 |
1 |
Область определения функции: (-∞; 0) и (0; +∞).
Функция принимает положительные значения при x є (-∞; 0).
3. Упростим данное выражение:
Таким образом, при любом значении х данное выражение равно нулю, то есть не зависит от х.
4. Чтобы выражение имело смысл, должны выполниться два условия:
Ответ: b ≠ 0,5; b ≠ 1,5.
Вариант 3
|
x |
1 |
2 |
4 |
— 1 |
-2 |
-4 |
|
y |
4 |
2 |
1 |
-4 |
-2 |
— 1 |
Область определения функции: (-∞; 0) и (0; +∞).
Функция принимает положительные значения при х є (0; +∞).
3. Упростим выражение:
Таким образом, при любом значении у данное выражение равно 3, то есть не зависит от y.
4. Чтобы выражение имело смысл, должны выполняться два условия:
Ответ: х ≠ 2; х ≠ 4/5.
Вариант 4
|
x |
1 |
2 |
4 |
— 1 |
-2 |
-4 |
|
y |
-4 |
-2 |
— 1 |
4 |
2 |
1 |
Область определения функции: (-∞; 0) и (0; +∞).
Функция принимает отрицательные значения при х є (0; +∞).
3. Упростим данное выражение:
Таким образом, при любом значении a данное выражение равно 2, то есть не зависит от a.
4. Чтобы выражение имело смысл, должны выполняться два условия:
Ответ:
Контрольная работа по математике по итогам 2 четверти в 8 классе
Контрольная работа
по математике по итогам 2 четверти в 8 классе
I вариант
Решите уравнения: а)
б) .
2. Упростите выражение
3Найдите значение выражения при указанных значениях переменных
при4. Сократите дробь
5. Исключите иррациональность в знаменателе
II вариант
Решите уравнения: а)
б)
Упростите выражение
3.Найдите значение выражения при указанных значениях переменных
при4. Сократите дробь
5. Исключите иррациональность в знаменателе
Полугодовая контрольная работа в 8 классе I вариант
Решите уравнения: а)
б) .
2. Выполните действия
3. Упростите выражение
Найдите значение выражения при указанных значениях переменных
5. Сократите дробь
6. Исключите иррациональность в знаменателе
Полугодовая контрольная работа в 8 классе II вариант
Решите уравнения: а)
б)
2. Выполните действия
3. Упростите выражение
Найдите значение выражения при указанных значениях переменных
5. Сократите дробь
6. Исключите иррациональность в знаменателе
Полугодовая контрольная работа в 8 классе I вариант
Решите уравнения: а)
б) .
2. Выполните действия
3. Упростите выражение
Найдите значение выражения при указанных значениях переменных
5. Сократите дробь
6. Исключите иррациональность в знаменателе
Полугодовая контрольная работа в 8 классе I вариант
Решите уравнения: а)
б) .
2. Выполните действия
3. Упростите выражение
Найдите значение выражения при указанных значениях переменных
5. Сократите дробь
6. Исключите иррациональность в знаменателе
Полугодовая контрольная работа в 8 классе II вариант
Решите уравнения: а)
б)
2. Выполните действия
3. Упростите выражение
Найдите значение выражения при указанных значениях переменных
5. Сократите дробь
6. Исключите иррациональность в знаменателе
Полугодовая контрольная работа в 8 классе II вариант
Решите уравнения: а)
б)
2. Выполните действия
3. Упростите выражение
Найдите значение выражения при указанных значениях переменных
5. Сократите дробь
6. Исключите иррациональность в знаменателе
Контрольные работы 2 класс
Входная контрольная работа
Вариант 1
Реши задачу.
Сшили 5 платьев и 4 блузки. Сколько всего сшили вещей?
Вычисли.
5 + 2 = 2 + 7 = 6 – 1 = 5 – 0 =
4 + 3 = 9 + 1 = 8 – 2 = 7 – 4 =
6 + 0 = 3 + 4 = 1 – 1 = 6 – 3 =
Сравни, вставь вместо звездочек знаки >, < или =.
8 * 9 6 – 4 * 8
5 * 10 9 + 1 * 10
Придумай и запиши два числа, при сложении которых в результате получится 1.
5*. На перемене во двор из нашего класса вышли все 8 мальчиков. Всего во дворе стало 10 мальчиков. Был ли во дворе хоть один мальчик из другого класса? Из трех ответов выбери один верный и запиши его:
а) нет б) да в) неизвестно
Входная контрольная работа
Вариант 2
Реши задачу.
Из сада принесли 7 стаканов малины и 3 стакана смородины. Сколько стаканов ягод принесли из сада?
Вычисли.
6 + 1 = 7 + 2 = 9 – 3 = 5 – 4 =
9 + 0 = 6 + 3 = 8 – 2 = 10 – 1 =
4 + 4 = 5 + 4 = 6 – 0 = 7 – 3 =
Сравни, вставь вместо звездочек знаки >, < или =.
7 * 5 8 – 4 * 3
4 * 9 5 * 10 – 5
Придумай и запиши два числа, при сложении которых в результате получится 0.
5*. В ящике лежат зеленые и желтые груши. Не глядя, из ящика достали 2 груши. Верно ли, что взятые груши будут обязательно одного цвета? Из трех ответов выбери один верный и запиши его:
а) нет б) да в) неизвестно
Входная контрольная работа
Вариант 3*
Реши задачу.
У Светы 10 тетрадей в клетку и 8 тетрадей в линейку. На сколько больше тетрадей в клетку, чем в линейку?
Контрольная работа по математике. Умножение и деление. 2 класс. Вариант 1
Контрольная работа по математике. 2 класс.
Умножение и деление.
Вариант 1
1. Решите задачу.
У котёнка 4 лапы. Сколько лап у 3 котят?
2. Решите задачу.
12 ребят поделили на 2 команды поровну. Сколько ребят в каждой команде?
3. Замените умножение сложением, а сложение умножением и вычислите.
5 х 3 8+8+8+8
8 х 4 12+12+12
4. Найдите значения выражений.
8 х 2 + 60 74 – 18 : 2
80 – 6 х 2 38 + 16 : 2
14 : 7 х 5 (16 + 34) : 10
5. Сравните числовые выражения.
5 х 9 и 9 х 5 7 х 4 и 7 х 3 – 4
10 х 0 и 0 х 5 70 : 10 и 70 : 7
6. Начертите квадрат со стороной 5 см. Найдите периметр этого квадрата.
7.* Сумма трёх чисел равна 16. Сумма первого и второго слагаемых равна 11, а сумма второго и третьего – 8. Найдите, чему равны все эти три числа.
Вариант 2
1. Решите задачу.
В коробке 8 карандашей. Сколько карандашей в 2 таких коробках?
2. Решите задачу.
Кроликам дали 14 морковок по 2 морковки каждому. Сколько кроликов получили морковку?
3. Замените умножение сложением, а сложение умножением и вычислите.
5 х 7 6+6+6+6
8 х 3 13+13+13
4. Найдите значения выражений.
7 х 2 + 50 65 – 16 : 2
70 – 6 х 2 53 + 14 : 2
18 : 9 х 5 (25 + 45) : 10
5. Сравните числовые выражения.
4 х 8 и 8 х 4 8 х 5 и 8 х 3 – 8
12 х 0 и 0 х 3 90 : 10 и 90 : 9
6. Начертите квадрат со стороной 6 см. Найдите периметр этого квадрата.
7.* Сумма трёх чисел равна 11. Сумма первого и второго слагаемых равна 6, а сумма второго и третьего – 9. Найдите, чему равны все эти три числа.
Gr8 Математика
В этой главе вы научитесь создавать, распознавать, описывать, расширять и делать обобщения о числовых и геометрических образцах. Паттерны позволяют делать прогнозы. Вы также будете работать с различными представлениями шаблонов, такими как блок-схемы и таблицы.
Термин-отношения в последовательности
Переход от одного семестра к следующему
Список чисел, образующих шаблон, называется последовательностью .Каждое число в последовательности называется членом последовательности. Первое число — это первый член последовательности.
Запишите следующие три числа в каждой из приведенных ниже последовательностей. Также в каждом случае объясните письменно, как вы вычислили, какие числа должны быть.
- Последовательность A: 2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23;
- Последовательность B: 4; 5; 8; 13; 20; 29; 40;
- Последовательность C: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64;
- Последовательность D: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19;
- Последовательность E: 4; 5; 7; 10; 14; 19; 25; 32; 40;
- Последовательность F: 2; 6; 18; 54; 162; 486;
- Последовательность G: 1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33;
- Последовательность H: 2; 4; 8; 16; 32; 64;
Числа, следующие друг за другом, называются последовательными .
Сложение или вычитание того же числа
- Какие последовательности в предыдущем разделе относятся к тому же типу, что и последовательность A? Поясните свой ответ.
Аманда объясняет, как она догадалась, как продолжить последовательность A:
Я посмотрел на первые два числа в последовательности и увидел, что мне нужно 3, чтобы перейти от 2 к 5. Я посмотрел дальше и увидел, что мне также нужно 3, чтобы перейти от 5 к 8. Я проверил это, и это сработало для всех. следующие числа .
Это дало мне правило, которое я мог бы использовать для расширения равенства: прибавляйте 3 к каждому числу, чтобы найти следующее число в шаблоне .
Тамара говорит, что вы также можете найти узор, работая в обратном направлении и каждый раз вычитая 3:
Когда различий между последовательными членами последовательности одинаковы, мы говорим, что разница составляет константа .
\ [14 — 3 = 11; 11 — 3 = 8; 8 — 3 = 5; 5–3 = 2 \]
- Предоставьте правило для описания взаимосвязи между числами в последовательности.Используйте это правило для вычисления недостающих чисел в последовательности.
- 1; 8; 15; ______; ______; ______; ______; ______; …
- 10 020; ______; ______; ______; 9 980; 9 970; ______; 9 940; 9 930; …
- 1,5; 3,0; 4,5; ______; ______; ______; ______; ______; …
- 2,2; 4,0; 5,8; ______; ______; ______; ______; ______; …
- \ (45; \ frac {3} {4}; 46; \ frac {3} {4}; 47; \ frac {1} {2}; 48; \ text {______; ______; ______; ______; ______ ;}
\)…
- ______; 100,49; 100,38; 100,27; ______; ______; 99,94; 99,83; 99,72; …
- 1; 8; 15; ______; ______; ______; ______; ______; …
- Заполните таблицу ниже.
Входное число
1
2
3
4
5
12
n
Введите номер + 7
8
11
15
30
Умножение или деление на одно и то же число
Еще раз взгляните на последовательность F: 2; 6; 18; 54; 162; 486; …
Пит объясняет, что он придумал, как продолжить последовательность F:
Я посмотрел на первые два члена последовательности и написал \ (2 \ times? = 6 \).
Когда я умножил первое число на 3, я получил второе число: \ (2 \ times 3 = 6 \).
Затем я проверил, смогу ли я найти следующее число, если умножу 6 на 3: \ (6 \ times 3 = 18 \).
Я продолжил проверку таким образом: \ (18 \ times 3 = 54; 54 \ times 3 = 162 \) и так далее.
Это дало мне правило, которое я могу использовать для расширения последовательности , и мое правило было: умножьте каждое число на 3, чтобы вычислить следующее число в последовательности.
Zinhle говорит, что вы также можете найти образец, работая в обратном направлении и каждый раз делясь на 3:
\ [54 \ div 3 = 18; 18 \ div 3 = 6; 6 \ div 3 = 2 \]
Число, на которое мы умножаем, чтобы получить следующий член в последовательности, называется отношением . Если число, на которое мы умножаем, остается неизменным на протяжении всей последовательности, мы говорим, что это постоянное отношение .
- Проверить, работают ли рассуждения Пита для последовательности H: 2; 4; 8; 16; 32; 64; …
- Опишите словами правило нахождения следующего числа в последовательности. Также запишите следующие пять членов последовательности, если образец продолжается.
- 1; 10; 100; 1 000;
- 16; 8; 4; 2;
- 7; -21; 63; -189;
- 3; 12, 48;
- 2 187; -729; 243; -81;
- 1; 10; 100; 1 000;
- Заполните пропущенные выходные и входные номера:
Какое правило между членами для выходных чисел здесь \ (+ 6 \ text {или} \ times 6? \)
- Заполните таблицу ниже:
Числа ввода
1
2
3
4
5
12
x
Выходные числа
6
24
36
- Заполните пропущенные выходные и входные номера:
Ни сложение, ни умножение на одно и то же число
- Снова рассмотрите последовательности от A до H и ответьте на следующие вопросы:
Последовательность A: 2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; …
Последовательность B: 4; 5; 8; 13; 20; 29; 40; …
Последовательность C: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; …
Последовательность D: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; …
Последовательность E: 4; 5; 7; 10; 14; 19; 25; 32; 40; …
Последовательность F: 2; 6; 18; 54; 162; 486; …
Последовательность G: 1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33; …
Последовательность H: 2; 4; 8; 16; 32; 64; …
- Какая другая последовательность (последовательности) того же типа, что и последовательность B? Объясни.
- Чем последовательности B и E отличаются от других последовательностей?
- Какая другая последовательность (последовательности) того же типа, что и последовательность B? Объясни.
Существуют последовательности, в которых нет ни постоянной разницы, ни постоянного соотношения между последовательными членами, но все же шаблон все еще существует, как в случае последовательностей B и E.
- Рассмотрим последовательность: 10; 17; 26; 37; 50; …
- Запишите следующие пять чисел в последовательности.
- Эрик заметил, что он может вычислить следующий член в последовательности следующим образом: 10 + 7 = 17; 17 + 9 = 26; 26 + 11 = 37.Используйте метод Эрика, чтобы проверить правильность ваших чисел, о которых идет речь (а) выше.
- Запишите следующие пять чисел в последовательности.
- Какое из приведенных ниже утверждений Эрик может использовать для описания взаимосвязи между числами в последовательности в вопросе 2? Проверьте правило для первых трех членов последовательности, а затем просто напишите «да» или «нет» рядом с каждым утверждением.
- Увеличивать разницу между последовательными терминами на 2 каждый раз
- Увеличивать разницу между последовательными терминами на 1 каждый раз
- Добавьте два больше, чем вы добавили, чтобы получить предыдущий термин
- Увеличивать разницу между последовательными терминами на 2 каждый раз
- Укажите правило, описывающее взаимосвязь между числами в последовательностях ниже.Используйте свое правило, чтобы указать следующие пять чисел в последовательности.
- 1; 4; 9; 16; 25;
- 2; 13; 26; 41; 58;
- 4; 14; 29; 49; 74;
- 5; 6; 8; 11; 15; 20;
- 1; 4; 9; 16; 25;
Отношение позиция-член в последовательности
Использование положения для прогнозов
- Еще раз взгляните на равенства от A до H. Какая последовательность (последовательности) того же типа, что и последовательность A? Объясни.
Последовательность A: 2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; …
Последовательность B: 4; 5; 8; 13; 20; 29; 40; …
Последовательность C: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; …
Последовательность D: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; …
Последовательность E: 4; 5; 7; 10; 14; 19; 25; 32; 40; …
Последовательность F: 2; 6; 18; 54; 162; 486; …
Последовательность G: 1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33; …
Последовательность H: 2; 4; 8; 16; 32; 64 ;…
Сизве размышлял над объяснениями Аманды и Тамары о том, как они разработали правило для последовательности А, и составил таблицу. Он согласен с ними, но говорит, что есть еще одно правило, которое также будет работать. Он объясняет:
В моей таблице показаны термины в последовательности и разница между последовательными терминами:
1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | ||||||||||||||||||
А: | 5 | 8 | 11 | 14 | |||||||||||||||||
отличий | +3 | +3 | +3 | +3 | +3 | +3 | +3 | +3 | +3 | ||||||||||||
Sizwe считает, что следующее правило также будет работать:
Умножьте позицию числа на 3 и прибавьте 2 к ответу.
Я могу записать это правило в виде числового предложения: Позиция числа \ (\ bf {\ times 3 + 2} \)
Я использую свое числовое предложение для проверки: \ ({\ bf1} \ times 3 + 2 = 5; {\ bf2} \ times 3 + 2 = 8; {\ bf3} \ times 3 + 2 = 11 \)
- Что означают цифры, выделенные жирным шрифтом в числовом предложении Сизве?
- Что означает цифра 3 в числовом предложении Сизве?
- Что означают цифры, выделенные жирным шрифтом в числовом предложении Сизве?
- Рассмотрим последовательность 5; 8; 11; 14; …
Примените правило Сизве к последовательности и определите:
- член номер 7 последовательности
- член номер 10 последовательности
- 100-й член последовательности
- член номер 7 последовательности
- Рассмотрим последовательность: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; ..
- Используйте объяснение Сизве, чтобы найти правило для этой последовательности.
- Определите 28 член последовательности.
- Используйте объяснение Сизве, чтобы найти правило для этой последовательности.
Больше прогнозов
Заполните приведенные ниже таблицы, вычислив недостающие термины.
Позиция по порядку
1
2
3
4
10
54
Срок
4
7
10
13
Позиция в последовательности
1
2
3
4
8
16
Срок
4
9
14
19
Позиция в последовательности
1
2
3
4
7
30
Срок
3
15
27
- Используйте правило Позиция в последовательности \ (\ times \) (позиция в последовательности + 1) , чтобы заполнить таблицу ниже.
Позиция в последовательности
1
2
3
4
5
6
Срок
2
Исследование и расширение геометрических узоров
Квадратные числа
Завод по производству оконных рам.Тип 1 имеет одно оконное стекло, тип 2 — четыре оконных стекла, тип 3 — девять оконных стекол и так далее.
- Сколько окон будет у типа 5?
- Сколько оконных стекол будет у типа 6?
- Сколько оконных стекол будет у типа 7?
- Сколько оконных стекол будет у типа 12? Объясни. 2 \)) при обобщении.
В алгебре мы думаем о квадрате как о числе, которое получается путем умножения числа на себя. Таким образом, 1 также является квадратом, потому что \ (1 \ times 1 = 1 \).
Треугольные числа
Тереза использует круги для формирования узора треугольной формы:
- Если продолжить узор, сколько кругов должно быть у Терезы?
- в нижнем ряду рисунка 5?
- во втором ряду снизу рисунка 5?
- в третьем ряду снизу рисунка 5?
- во втором ряду сверху на фото 5?
- в верхнем ряду рисунка 5?
- на фото 5? Покажи свой расчет.
- в нижнем ряду рисунка 5?
- Сколько кругов нужно Терезе, чтобы образовать треугольник на картинке 7? Покажи расчет.
- Сколько кругов нужно Терезе, чтобы образовать треугольник на картинке 8?
- Заполните таблицу ниже. Покажи всю свою работу.
Номер фотографии
1
2
3
4
5
6
12
15
Количество кругов
1
3
6
10
Более 2 500 лет назад греческие математики уже знали, что числа 3, 6, 10, 15 и так далее могут образовывать треугольный узор.Они представили эти числа точками, которые они расположили таким образом, чтобы образовать равносторонние треугольники, отсюда и название треугольные числа . Алгебраически мы думаем о них как о суммах последовательных натуральных чисел, начиная с 1.
Давайте вернемся к упражнению с треугольными числами, которое мы проделали в предыдущем разделе.
Итак, мы определили количество кругов в шаблоне путем сложения последовательных натуральных чисел. Если бы нас попросили определить количество кругов на рисунке 200, например, это заняло бы очень много времени.Нам нужно найти более быстрый способ найти любое треугольное число в последовательности.
Рассмотрим схему ниже.
Мы добавили желтые круги к исходным синим кругам, а затем переставили круги таким образом, чтобы они имели прямоугольную форму.
- На рисунке 2 3 круга в длину и 2 в ширину. Выполните следующие предложения:
- На фото 3 ______ кругов в длину и ______ кругов в ширину.
- На рисунке 1 ______ кругов в длину и ______ в ширину.
- На фото 4 ______ кругов в длину и ______ кругов в ширину.
- На фото 5 ______ кругов в длину и ______ кругов в ширину.
- Сколько кругов будет на картинке:
- 10 кругов в длину и 9 в ширину?
- 7 кругов в длину и 6 в ширину?
- 6 кругов в длину и 5 в ширину?
- 20 кругов в длину и 19 кругов в ширину?
- 10 кругов в длину и 9 в ширину?
Предположим, мы хотим иметь более быстрый метод определения количества кругов на рисунке 15.Мы знаем, что рисунок 15 состоит из 16 кругов в длину и 15 кругов в ширину. Это дает в общей сложности \ (15 \ раз 16 = 240 \) кругов. Но мы должны компенсировать тот факт, что желтых кругов изначально не было, уменьшив вдвое общее количество кругов. Другими словами, исходная фигура имеет \ (240 \ div 2 = 120 \) кругов.
- Используйте рассуждения выше, чтобы вычислить количество кругов в:
- фото 20
- фото 35
- фото 20
Различные способы описания паттернов
Т-образные числа
Рисунок ниже сделан из квадраты.
- Сколько квадратов будет в шаблоне 5?
- Сколько квадратов будет
там быть в шаблоне 15?
- Заполните таблицу.
Номер шаблона
1
2
3
4
5
6
20
Количество квадратов
1
4
7
10
- Сколько квадратов будет в шаблоне 5?
Ниже приведены три различных метода или плана расчета количества квадратов для шаблона 20.Внимательно изучите каждую.
План A:
Чтобы превратить 1 квадрат в 4 квадрата, вам нужно добавить 3 квадрата. Чтобы перейти от 4 квадратов к 7 квадратам, вам нужно добавить 3 квадрата. Чтобы получить от 7 квадратов до 10 квадратов, вам нужно добавить 3 квадрата. Так что продолжайте добавлять по 3 квадрата для каждого шаблона, пока не найдете узор 20.
План B:
Умножьте номер образца на 3 и вычтите 2. Таким образом, образец 20 будет иметь \ (20 \ умножить на 3–2 \) квадратов.
План C:
Число квадратов в шаблоне 5 равно 13. Таким образом, в шаблоне 20 будет \ (13 \ times 4 = 52 \) квадратов, потому что \ (20 = 5 \ times 4 \).
- Какой метод или план (A, B или C) даст правильный ответ? Объяснить, почему.
- Какой из вышеперечисленных тарифных планов вы использовали? Объяснить, почему?
- Можно ли использовать эту блок-схему для расчета количества квадратов?
- Какой метод или план (A, B или C) даст правильный ответ? Объяснить, почему.
… и некоторые другие формы
- Ниже приведены три цифры. Нарисуйте следующую фигуру в выкройке плитки.
- Если продолжить узор, сколько плиток будет на 17-м рисунке? Ответьте на этот вопрос, проанализировав происходящее.
- Тато решает, что ему легче увидеть узор, когда плитки переставлены, как показано здесь:
Используйте метод Тато, чтобы определить количество плиток на 23-й фигуре.
- Заполните приведенную ниже блок-схему, написав соответствующие операторы, чтобы ее можно было использовать для расчета количества плиток в любой фигуре узора.
- Сколько плиток будет на 50-й фигуре, если продолжить узор?
- Если продолжить узор, сколько плиток будет на 17-м рисунке? Ответьте на этот вопрос, проанализировав происходящее.
- Запишите следующие четыре члена в каждой последовательности. Также объясните в каждом случае, как вы определились с терминами.
- 2; 4; 8; 14; 22; 32; 44;
- 2; 6; 18; 54; 162;
- 1; 7; 13; 19; 25;
- 2; 4; 8; 14; 22; 32; 44;
- Заполните приведенную ниже таблицу, вычислив недостающие термины.
Позиция в последовательность
1
2
3
4
5
7
10
Срок
3
10
17
- Напишите правило для вычисления члена от позиции в последовательности в словах.
- Заполните приведенную ниже таблицу, вычислив недостающие термины.
- Рассмотрим стопки ниже.
- Сколько кубиков будет в стопке 5?
- Заполните таблицу.
Номер стека
1
2
3
4
5
6
10
Количество кубиков
1
8
27
- Запишите правило для вычисления количества кубиков для любого числа стопки.
- Сколько кубиков будет в стопке 5?
Примечания к редакции по математике, главы с 1 по 16 (8-й класс)
Заметки о пересмотре
математики для класса 8, которые мы представляем здесь, были подготовлены бывшими специалистами ИТ, которые считаются одними из самых ярких умов в этой области.Эти примечания к пересмотру, основанные на программе математики NCERT, также охватывают дополнительные темы и концепции, которые преподаются учащимся 8-го класса в популярных советах по образованию Индии, таких как CBSE, ICSE и State Boards. Примечания к пересмотру, которые мы представляем здесь, также могут быть использованы для подготовки к математическим олимпиадам на всех уровнях - от регионального до международного.
В руках опытных учителей эти примечания к исправлению включают широкий спектр сумм, уравнений и задач. Уровень сложности примеров, выбранных для объяснения каждой математической концепции, варьируется от простого до умеренного до сложного.Пошаговые пояснения, графики и диаграммы (где применимо) делают примечания к версии Class 8 Math не требующими пояснений.
Все учителя и предметные эксперты, участвовавшие в подготовке этих заметок к пересмотру, изо всех сил старались включать сюда различные типы вопросов. Эти бесплатные заметки по математике для 8 класса призваны помочь достойным ученикам преуспеть в учебе, а также заложить надлежащую основу для изучения математики в старших классах.
Математика для 8 класса
Когда изучать математику для 8-го класса Примечания к редакции?
Когда вы делаете примечания к редакции математики, вы в основном записываете все формулы, рассматриваемые в главе, в одном месте — где вы можете просматривать их и запоминать в любое время.
Заметки о пересмотре математикиClass VIII от askIITians более подробны и включают множество диаграмм, решенных примеров и пошаговых пояснений для каждой главы, которую вы рассматриваете. Они были подготовлены опытными и знающими учителями и могут служить отличным самостоятельным учебным материалом.
Мы рекомендуем вам ознакомиться с этими примечаниями к редакции:
до того, как вы начнете решать упражнения по математике,
, когда вы застряли на математической задаче, и
до и после прохождения теста или экзамена по математике.
Мы считаем, что эти примечания к пересмотру должны помочь вам со всеми типами проблем, с которыми могут столкнуться учащиеся класса VIII. Однако, если у вас все еще есть сомнения, вы должны опубликовать свой запрос на онлайн-форумах askIITians, которые бесплатны. Наши форумы довольно активны, и ваши коллеги и специалисты по математике обязательно предложат вам быстрое решение ваших проблем.
Мы также рекомендуем вам создавать группы по изучению математики со своими сверстниками, друзьями и одноклассниками в Интернете.Вы можете обсудить эти примечания к пересмотру в своей учебной группе и помочь друг другу решить математические задачи. Поддержка друзей и благоприятная учебная среда могут сделать изучение математики легким и увлекательным .
Особенности курса
- 728 Видео-лекции
- Примечания к редакции
- Документы за предыдущий год
- Интеллектуальная карта
- Планировщик обучения
- Решения NCERT
- Обсуждение Форум
- Тестовая бумага с видео-решением
Математика 114 Дискретная математика
Syllabus. Не все эти темы будут рассмотрены одинаково глубоко, и домашние задания не будут назначаться по всем разделам.
1 Основы: логика и доказательства- § 1.1 Логика
§ 1.2 Утверждение эквивалентности
§ 1.3 Предикаты и квантификаторы
§ 1.4 Вложенные квантификаторы
§ 1.5 Правила вывода
§ 1.6 Введение в доказательства
§ 1.7 Методы и стратегия доказательстваТемы в главе 1: предложение, значение истинности, отрицание, логические операторы, составное предложение, таблица истинности, дизъюнкция, конъюнкция, исключающее ИЛИ, импликация, обратное, противоположное, бит, логическая переменная, битовая операция, битовая строка, побитовая операция; тавтология, противоречие, случайность, логическая эквивалентность, пропсициональная функция законы Де Моргана; предикаты, квантор существования, универсальный квантор; вложенные квантификаторы, свободные и связанные переменные; правила вывода; теорема, гипотеза, доказательство, лемма, следствие, заблуждение, круговое рассуждение (напрашивается вопрос), пустое и тривиальное доказательство, прямое и косвенное доказательство; доказательство по делам, контрпример.
2 Базовые структуры: множества, функции, последовательности и суммы
- § 2.1 Наборы
§ 2.2 Операции установки
§ 2.3 Функции
§ 2.4 Последовательности и суммирование [необязательно]Темы в главе 2: множество, аксиома, парадокс, элемент, пустое множество, равенство множеств, подмножество, конечное и бесконечное множество, мощность, множество, произведения множеств; объединение, пересечение, непересекающиеся множества, разность множеств, дополнение множеств, симметричная разность, диаграммы Венна; функция, домен, кодомен, изображение, прообраз, диапазон, функция, функция 1-1, соответствие 1-1, обратная функция, композиция, пол, потолок; последовательность, строка, обозначение суммирования, обозначение произведения.
3 Основы: алгоритмы, целые числа и матрицы
- § 3.1 Алгоритмы
§ 3.2 Рост функций
§ 3.3 Сложность алгоритмов
§ 3.4 Целые числа и деление
§ 3.5 Простые числа и наибольшие общие делители
§ 3.6 Целые числа и алгоритмы
§ 3.7 Приложения теории чисел [необязательно]Темы в главе 3: алгоритм, алгоритм поиска, алгоритм линейного поиска, алгоритм двоичного поиска, временная сложность, пространственная сложность, наихудшая временная сложность, средняя временная сложность; делимость, простое и составное число, простое число Мерсенна, наибольший общий делитель, относительно простое число, попарные относительно простые целые числа, наименьшее общее кратное, остаток и модуль, шифрование и дешифрование, двоичное представление, шестнадцатеричное представление, линейная комбинация, обратный модуль по модулю n, линейный соответствие, псевдопервичное, частное и открытое шифрование ключей; Евклидов алгоритм.
4 Индукция и рекурсия
- § 4.1 Математическая индукция
§ 4.2 Сильная индукция и хороший порядок
§ 4.3 Рекурсивные определения и структурная индукция [необязательно]
§ 4.4 Рекурсивные алгоритмы [необязательно]Темы главы 4: математическая индукция; рекурсивно определенные функции, множества и структуры; рекурсивные алгоритмы; итерация.
5 Подсчет
- § 5.1 Основы подсчета
§ 5.2 Принцип голубятни
§ 5.3 Перестановки и комбинации
§ 5.4 Биномиальные коэффициенты6 Дискретная вероятность
- § 6.1 Введение в дискретную вероятность
§ 6.2 Теория вероятностей
§ 6.3 Теорема Байеса
§ 6.4 Ожидаемое значение и отклонение8 Отношения
- § 8.1 Отношения и их свойства
§ 8.3 Представление отношений
§ 8.4 Прекращение отношений
§ 8.5 Отношения эквивалентности
§ 8.6 Частичное упорядочение9 графиков
- § 9.1 Графы и графические модели
§ 9.2 Терминология графов и специальные типы графовКлассные заметки, викторины, контрольные работы, домашние задания Все будущие даты являются предварительными.Разделы часто переполняются в предыдущие или последующие дни. Кроме того, каждый раздел будет обсуждаться более одного дня — в один день, когда он будет представлен, позже, когда по нему появятся вопросы и упражнения по его заданию.
Эта страница находится в Интернете по адресу
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/ma114/
Дэвид Э. ДжойсMCAS | Дом
PearsonAccess следующий
Войдите в PearsonAccess следующий , чтобы управлять задачами администрирования тестирования, такими как регистрация студентов, учетные записи пользователей и мониторинг онлайн-тестирования.
PearsonAccess следующий
Настройка технологии
Требования к технологиям доступа и руководства пользователя.
Технологическая установка
Руководство администратора тестирования
Access Руководства и инструкции для использования руководителями / координаторами тестирования и администраторами тестирования для получения инструкций по правильному администрированию тестов MCAS.
Руководство администратора тестирования
Обучение
Доступ к кратким обучающим модулям, в которых содержится пошаговое руководство по использованию PearsonAccess , следующему и задачам для компьютерного тестирования. Также получите доступ к записям предыдущих тренировок.
Обучение
Учебное пособие и практические тесты для студентов
Получите доступ к ресурсам для подготовки студентов к компьютерному тестированию, включая учебное пособие, практические тесты, руководства по редактору уравнений и другие ресурсы.
Учебное пособие и практические тесты для студентов
Выпущенные позиции
Access выпустил элементы компьютерных тестов MCAS.
Выпущенных товаров
Сервисный центр MCAS
Зайдите на веб-сайт сервисного центра MCAS, чтобы заполнить Сертификат Директора о надлежащем администрировании тестирования (PCPA) до и после тестирования, заказать дополнительные материалы и запланировать получение UPS (только для школ PBT).
Сервисный центр MCAS
.Флэш-карточки по общей математике для 8-го класса
Какова формула теоремы Пифагора?
Что обозначают a, b и c в формуле теоремы Пифагора?
c обозначает длину гипотенузы, а a и b обозначают длины двух сторон, которые не являются гипотенузой.
Что такое гипотенуза прямоугольного треугольника?
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, противоположная прямому углу.
Теорема Пифагора гласит: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.«Объясните эту взаимосвязь, используя предложения и схему.
Теорема Пифагора утверждает, что квадрат, созданный с использованием гипотенузы прямого угла в качестве длины стороны, будет иметь площадь, равную площади суммы площадей двух квадратов, созданных с использованием катетов в качестве длин сторон, как показано на рисунке диаграмма.Если длина стороны зеленого квадрата равна a, длина стороны синего квадрата равна b, а длина стороны красного квадрата равна c, то, согласно теореме, a² + b² = c². Эта связь была доказана множеством способов как исторически, так и современной математикой.
Теорема Пифагора названа так потому, что древний философ и математик Пифагор был первым, кто ее доказал.Теорема гласит: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон» и выражается в формуле a² + b² = c². При необходимости объясните доказательство Пифагора теоремы Пифагра, используя предложения и диаграммы.
Пифагор доказал теорему, используя квадраты, которые показаны на диаграмме.Первый квадрат разделен на два прямоугольника одинакового размера и два меньших квадрата, как показано на схеме. Затем прямоугольники разделяются на два равных прямоугольных треугольника, рисуя диагональ c. Два квадрата не одинакового размера. У одного длина стороны равна a, а у другого — b. Эти четыре прямоугольных треугольника можно расположить по-разному внутри квадрата, так что его длина стороны a + b, что показано на схеме как второй квадрат. Оба квадрата теперь имеют длину стороны a + b, поэтому их площади должны быть равны.Площадь первого квадрата может быть представлена как сумма площадей двух прямоугольников и двух квадратов, как A = a² + b² + 2ab. Площадь второго квадрата может быть представлена как сумма площадей квадрата и четырех треугольников, как A = c² + 4 (ab / 2) или A = c² + 2ab. Поскольку мы знаем, что площади квадратов равны, мы можем положить два уравнения равными, как a² + b² + 2ab = c² + 2ab. В упрощенном виде это выражение a² + b² = c², что доказывает, что квадрат на гипотенузе (c) равен сумме квадратов на катетах (a и b).
Теорема Пифагора гласит, что: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон» и выражается в формуле a² + b² = c².Объясните первое доказательство Бхаскары теоремы Пифаогра, используя при необходимости предложения и диаграммы.
Первое доказательство Бхаскары похоже на доказательство Пифагора.Он использовал две фигуры, показанные на диаграмме, и формулу площади, чтобы доказать теорему. На диаграммах все прямоугольные треугольники (синие) совпадают, а желтые квадраты — конгруэнтны. Бхаскара показал, что площадь большого квадрата можно определить двумя разными способами. Его можно найти, возведя в квадрат длину стороны (c) квадрата, как A = c², или его можно найти, добавив площади треугольников к площади маленького квадрата, как показано на второй фигуре на диаграмме, как A = 4 (1/2) ab + (ba) ². Затем Бхаскара упростил второе выражение как таковое: A = 4 (1/2) ab + (b-a) ² = 2ab + b² — 2ab + a² = b² + a².Поскольку площади должны быть равны, Бхаскара завершил доказательство, заявив, что c² = a² + b²
Теорема Пифагора гласит, что: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон» и выражается в формуле a² + b² = c².Объясните второе доказательство Бхаскары теоремы Пифаогра, используя при необходимости предложения и диаграммы.
Второе доказательство Бхаскары опирается на свойства подобия для доказательства теоремы Пифагора.Он начал с прямоугольного треугольника ABC, как показано на схеме, а затем нарисовал высоту до гипотенузы и заявил, что образованные 2 треугольника похожи на исходный треугольник и друг на друга, поэтому все 3 треугольника похожи. Во-первых, он доказал, что треугольники ADC и ABC подобны, используя принцип подобия угол-угол, как таковой: угол DBC конгруэнтен углу ABC, а угол ACB конгруэнтен углу ADC. Поскольку треугольники подобны, отношения длин сторон их сторон должны быть равны, что может быть показано как s / a = a / c.Умножая обе стороны на ac, получаем sc = a². Затем он доказал, что треугольники ACD и ABC подобны, также используя принцип подобия угол-угол, как таковой: угол CAD конгруэнтен углу CAB, а угол ADC конгруэнтен углу ACB. Поскольку треугольники одинаковы, отношения длин сторон их сторон должны быть равны, что может быть показано как r / b = b / c. Умножая обе части на bc, получаем rc = b². Теперь, когда мы складываем два результата, мы получаем sc + rc = a² + b². Это выражение можно упростить как таковое, отметив, как показано на диаграмме, что c = (s + r): c (s + r) = a² + b² c² = a² + b², что доказывает теорему Пифагора.
Теорема Пифагора гласит, что: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон» и выражается в формуле a² + b² = c².Еще одним человеком, доказавшим эту теорему, был двадцатый президент Соединенных Штатов Джеймс Гарфилд. При необходимости объясните доказательство Гарфилда теоремы Пифаогра, используя предложения и диаграммы.
Президент Гарфилд использовал правую трапецию, составленную из трех прямоугольных треугольников, чтобы доказать теорему Пифагора.Эта трапеция изображена на схеме. Он также использовал формулу площади в своем доказательстве. Гарфилд сказал, что площадь трапеции можно найти двумя способами: используя формулу площади для трапеции, а также складывая площади трех прямоугольных треугольников, составляющих трапецию. Во-первых, он показал, что площадь трапеции с h = a + b, b₁ = a и b₂ = b может быть найдена как таковая: A = (1/2) (a + b) (a + b). Используя свойство распределения, это можно выразить как: A = (1/2) (a² + 2ab + b²). Затем он показал, что площадь трапеции можно найти, сложив площади трех прямоугольных треугольников как таковых A = площадь желтого треугольника + площадь красного треугольника + площадь синего треугольника = 1/2 (ba ) + 1/2 (c²) +1/2 (ab).Это можно упростить следующим образом: 1/2 (ba) + 1/2 (c²) + 1/2 (ab) = 1/2 (ba + c² + ab) = 1/2 (2ab + c²). Затем он установил два метода определения площади трапеции, равной друг другу, как (1/2) (a² + 2ab + b²) = (1/2) (2ab + c²), а затем умножил обе стороны на 2, выраженный как a² + 2ab + b² = 2ab + c². Наконец, он вычел 2b из обеих частей, что привело нас к a² + b² = c², что доказывает теорему Пифагора.
Найдите гипотенузу равностороннего треугольника с основанием 11 см и высотой 9 см.Округлите ответ до ближайшей десятой.
a² + b² = c²
(11 см) ² + (9 см) ² = c²
121 см² + 81 см² = c²
202 см² = c²
√202 см² = √c²
14,2 см = cТомми красит свой дом.Нижняя часть лестницы находится в 6 футах от дома. Лестница 10 футов в длину. На каком расстоянии от земли лестница будет касаться дома?
a² + b² = c²
a² + (6 футов) ² = (10 футов) ²
a² + 36 фут² = 100 фут²
a² = 64
√a² = √64 фут²
а = 8 футовМэри шла 3 км на запад и 4 км на юг, чтобы добраться до школы.Как далеко ее дом от школы, если между ними провести прямую линию?
a² + b² = c²
(3 км) ² + (4 км) ² = c²
9 км² + 16 км² = c²
25 км² =
c² √25 км² = √c²
5 км = сПримените теорему Пифагора, чтобы найти расстояние между двумя точками.
- Если продолжить узор, сколько кругов должно быть у Терезы?