Контрольная работа 11 класс интегралы: Контрольная работа по алгебре 11 класса по теме «Первообразная и интеграл»

Контрольная работа по алгебре на тему «Первообразная и интеграл» (11 класс)

Контрольная работа.

Тема: «Первообразная и интеграл».

Вариант №1

1. Вычислить неопределенные интегралы:

2. Вычислить определенные интегралы:

3. Вычислить площади фигур, ограниченных данными линиями:

1. 1. — 2 балла

   2. — 2 балла

Контрольная работа.

Тема: «Первообразная и интеграл».

Вариант №2

1. Вычислить неопределенные интегралы:

2. Вычислить определенные интегралы:

3. Вычислить площади фигур, ограниченных данными линиями:

1. 1. — 2 балла

   2. — 2 балла

Контрольная работа.

Тема: «Первообразная и интеграл».

Вариант №3

1. Вычислить неопределенные интегралы:

2. Вычислить определенные интегралы:

3. Вычислить площади фигур, ограниченных данными линиями:

1. 1. — 2 балла

   2. — 2 балла

Контрольная работа.

Тема: «Первообразная и интеграл».

Вариант №4

1. Вычислить неопределенные интегралы:

2. Вычислить определенные интегралы:

3. Вычислить площади фигур, ограниченных данными линиями:

1. 1. -2 балла

   2. — 2 балла

Контрольная работа.

Тема: «Первообразная и интеграл».

Вариант №5

1. Вычислить неопределенные интегралы:

2. Вычислить определенные интегралы:

3. Вычислить площади фигур, ограниченных данными линиями:

1. 1. -2 балла

   2. — 2 балла

Контрольная работа.

Тема: «Первообразная и интеграл».

Вариант №6

1. Вычислить неопределенные интегралы:

2. Вычислить определенные интегралы:

3. Вычислить площади фигур, ограниченных данными линиями:

1. 1. — 2 балла

   2. — 2 балла

Контрольная работа по теме «Интеграл»

Контрольная работа по теме «Интеграл».

Цели урока: проконтролировать знания учащихся.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Контрольная работа.

Вариант 1.

1) Докажите, что функция есть первообразная для функции на промежутке .

2) Известно, что функция есть первообразная для функции f(x) на промежутке . Найти f(x).

3) Для функции найдите:

а) общий вид первообразных;

б) первообразную график, которой проходит через точку .

4) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

5) Найдите все первообразные функции , графики которых имеют ровно две общие точки с графиком функции .

Вариант 2.

1) Докажите, что функция есть первообразная для функции на промежутке .

2) Известно, что функция есть первообразная для функции f(x) на промежутке . Найти f(x).

3) Для функции найдите:

а) общий вид первообразных;

б) первообразную график, которой проходит через точку .

4) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

5) Найдите все первообразные функции , графики которых имеют ровно две общие точки с графиком функции .

РЕШЕНИЕ:

Вариант 1.

1) , то есть . Значит, — первообразная для функции .

2)

3)

а)

б)

4)

Ответ: .

5) Общий вид первообразных . Задача сводится к нахождению параметра С, когда уравнение имеет два корня.

Рассмотрим функции и .

1)

Критические точки:

Определим знаки производной.

— точка максимума.

— точка минимума.

2) — прямая параллельная оси ОХ, проходящая через точку .

Изобразим схематично графики функций в одной координатной плоскости.

Наглядно видно, что графики имеют две общие точки, если и . Значит, графики первообразных и имеют ровно две общие точки с графиком функции .

Ответ: и .

Вариант 2.

1) , то есть . Значит, — первообразная для функции .

2)

3)

а)

б)

4)

Ответ: .

5) Общий вид первообразных . Задача сводится к нахождению параметра С, когда уравнение имеет два корня.

Рассмотрим функции и .

1)

Критические точки:

Определим знаки производной.

— точка минимума.

— точка максимума.

2) — прямая параллельная оси ОХ, проходящая через точку .

Изобразим схематично графики функций в одной координатной плоскости.

Наглядно видно, что графики имеют две общие точки, если и . Значит, графики первообразных и имеют ровно две общие точки с графиком функции .

Ответ: и .

3. Итоги урока.

4. Домашнее задание.

Решить следующие задачи: стр. 205 №5(2).

Контрольная Работа Интеграл 11 Класс – Telegraph

➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!

Контрольная Работа Интеграл 11 Класс

Опубликовано 04.02.2015 — 21:44 — Чехлова Ольга Юрьевна
Контрольная работа по теме «Интеграл», 11 класс
№1. Для функции   f(x) = 3x 2 -5  найдите первообразную, график которой проходит через точку А(-1;3)
№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)  параболой у=(2-х) 2 , прямой у=2х+4 и осью Ох.
б) графиком функции у =   при х<0,   параболой
№1. Для функции   f(x) = 3x 2 -5  найдите первообразную, график которой проходит через точку А(-1;3)
№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)  параболой у=(2-х) 2 , прямой у=2х+4 и осью Ох.
б) графиком функции у =   при х<0,   параболой
№1.  Для функции   f(x) = 3x 2 -5  найдите первообразную, график которой проходит через точку А(-1;3)
№3 . Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)  параболой у=(2-х) 2 , прямой у=2х+4 и осью Ох.
б) графиком функции у =   при х<0,   параболой
Контрольная работа разработана для обучающихся 7-х классов, эта работа проводится после 3-й главы….
Контрольная работа для 7 класса на проверку умения решать расчётные задачи по теме «Работа, энергия, мощность, КПД» из 8 вариантов по 5 задач в каждом варианте….
Контрольная работа представлена в двух вариантах  различных уровнях сложности ( А1-А4 базовый, А5-А6, В1 повышенный, С1 сложный) с поэлементным анализом работы….
Контрольная работа 11 профильного класса проверочная работа по теории паскаля…
Контрольная работа взята из ФГОС УМК О.И.Громцева Контрольные и самостоятельные работы по физике. К учебнику А.В. Перышкина «Физика 7 класс»…

Контрольная работа по теме » Интеграл «, 11 класс
Контрольная работа по алгебре «Первообразная и интеграл » 11 …
Контрольная работа № 3 по теме » Интеграл и его применение. ..»
Контрольная работа по алгебре Интеграл 11 класс .
Тургенев Отцы И Дети Эссе
Сочинения По Русскому 15.2
Дипломная Работа По Бухучету Скачать Бесплатно
Курсовая Работа Тема Прекращение Права Собственности
Сестринское Дело За Рубежом Реферат

Контрольная работа по Алгебре «Первообразная функции и интеграл»

ГБПОУ Строгановский колледж

Контрольная работа по алгебре и началам математического анализа

Тема «Первообразная функции и интеграл»

2 курс системы НПО и 1 курс СПО

на базе основного образования

Разработано преподавателем математики

Пешковой Ольгой Алексеевной

Контрольная работа по теме «Первообразная функции и интеграл. Применение интеграла» ориентирована на учебник Ш.А.Алимова и др. «Алгебра и начала анализа» 1 и 2 курса колледжей по профессиям технического и естественно-математического профилей.

Контрольная работа предназначена для самостоятельной внеаудиторной работы.

Контрольная работа включает в себя 10 вариантов заданий одинакового уровня сложности. Вариант определяется последними цифрами номера зачетной книжки студента /или порядкового номера в журнале теоритических занятий/.

Работа выполняется студентом в отдельной тетради с соответствующим оформлением титульного листа. На титульном листе указывается дисциплина, название контрольной работы, номер варианта, фамилия, имя и отчество студента, группа.

Оформление работы должно соответствовать «Единым требованиям оформления письменных работ по математике».

Правильное выполнение каждого задания оценивается 1 баллом. Максимально возможное количество баллов за контрольную работу – 12. Для того чтобы работа была зачтена, необходимо выполнить все задания и набрать не менее 8 баллов.

Задание 1. Найти первообразные следующих функций

1 вариант

а) у = 1 б) в) у =3sin x г) д) е) y = sin 2x + 2cos 3x

2 вариант

1. б) в) г) д) е)

3 вариант

а) б) в) г) д) е)

4 вариант

а) б) в) г) д) е)

5 вариант

а) б) в) г) д) е)

6 вариант

а) б) в) г) д) е)

7 вариант

а) б) в) г) д) е)

8 вариант

а) б) в) г) д) е)

9 вариант

а) б) в) г) д) е)

10 вариант

а) б) в) г) д) е)

Задание 2 Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

1 вариант

а) x = -1 x = 2 y = 0 y = x² – 1

б) y = 0 y = 1 – x²

2 вариант

1. x = 0 x = 3 y = 0 y = — x² + 1

2. y = x — 2

3 вариант

a) x = 1 x = 2 y = 0 y = x² + 1

b)

4 вариант

x = -1 x = 1 y = 0 y = x² — 2

5 вариант

x = 1 x = 4 y = 0 y = x — 1

6 вариант

x = 1 x = 4 y = 0 y =

7 вариант

x = 0 x = 2 y = 0 y = x³

8 вариант

x = 1 x = 2 y = 0 y = 2x²

9 вариант

x = -1 x = 2 y = 0 y =

10 вариант

x = 1 x = 2 y = 0 y = 2^x

Задание 3 Вычислить определенный интеграл

1 вариант

а) б) в) г)

2 вариант

а) б) в) г)

3 вариант

а) б) в) г)

4 вариант

а) б) в) г)

5 вариант

а) б) в) г)

6 вариант

а) б) в) г)

7 вариант

а) б) в) г)

8 вариант

а) б) в) г)

9 вариант

а) б) в) г)

10 вариант

а) б) в) г)

Задание 4 Найти общее решение дифференциального уравнения

1 вариант а) ’=x² б) y’= y

2 вариант а) y’= б) y’= 2y

3 вариант а) y’= sin x б) y’=

4 вариант а) y’ = б) y’ = y²

5 вариант а) y’ = 2x + 1 б) y’ = -5y

6 вариант а) y’ = x² + x б) y’ = = y

7 вариант а) y’ = sin x б) y’ = 5y

8 вариант а) y’ = 2 cos x б) y’ = 6y

9 вариант а) y’ = 5x⁴ б) y’ =

10 вариант а) y’ = -6x б) y’ = — y

Задание 5 Найти частное решение дифференциального уравнения

1 вариант а) y’ = x² y(2 ) = 1

2 вариант а) y’ = y(e ) = 1

3 вариант а) y’ = e

—^x y(0) = -2

4 вариант а) y’ = 2cos x y() = 3

5 вариант а) y’ = 3x + 2 y(1) = 4

6 вариант а) y’ = x³ y(1) = 3

7 вариант а) y’ = y(-1) = 2

8 вариант а) y’ = x + 2x² y(1) = 1

9 вариант а) y’ = x³ + 1 y(-1) = 2

10 вариант а) y’ = 2 – 3x y(1) = 6

Задание 6 Вычислить значения скорости V(t) м/с и перемещения S(t) м материальной точки за время t c, если ускорение

1 вариант a(t) = 3t + 2 t = 3 c

2 вариант a(t) = — 3t + t

2 t = 1 c

3 вариант a(t) = t = 2 c

4 вариант a(t) = -2t³ + 4 t = 2 c

5 вариант a(t) = 2t² – 3 t = 1 c

6 вариант a(t) = -6 + t³ t = 4 c

7 вариант a(t) = t = 5 c

8 вариант a(t) = 3x⁵+2 t = 1 c

9 вариант a(t) = -2x³ – 4 t = 4 c

10 вариант a(t) = 3 + 4t³ t = 2 c

Задание 7 Вычислить объем тела, полученного вращением графика функции y = f (x) вокруг оси Ох

1 вариант f(x) = x³ + 2 a = 0 b = 2

2 вариант f(x) = — x² + 1 a = 1 b = 2

3 вариант f(x) = 2 – 2x³ a = — 1 b = 0

4 вариант f (x) = a = 1 b = 4

5 вариант f(x) = x² + 1 a = 1 b = 3

6 вариант f(x) = a = 2 b = 3

7 вариант f(x) = a = 1 b = 4

8 вариант f(x) = cos x a = b =

9 вариант f(x) = sin x a = 0 b =

10 вариант f(x) = x + 1 a = 2 b = 4

Задание 8 Найти неопределённые интегралы

1 вариант

а) б) в) г)

2 вариант

а) б) в) г)

3 вариант

а) б) в) г)

4 вариант

а) б) в) г)

5 вариант

а) б) в) г)

6 вариант

а) б) в) г)

7 вариант

а) б) в) г)

8 вариант

а) б) в) г)

9 вариант

а) б) в) г)

10 вариант

а) б) в) г)

Алгебра и начала анализа для учащихся 11 класса поурочные планы

1-е полугодие

ПОВТОРЕНИЕ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ, ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ у = sinx, у = соsx, у = tgx, у = ctgx, у = xn, ГДЕ nєZ, n ≠ -1. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ, ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

УРОК № 1. повторить определение производной; вспомнить производные функций у = sinx, у = cosx, у = tgx, у = ctgx; закрепить правила вычисления производных

УРОК № 2. повторить производную функции у = хn, где nєZ, n ≠ -1; закрепить правила вычисления производных тригонометрических функций; вырабатывать навык применения производной

УРОК № 3. закрепить правила вычисления производных; способствовать выработке навыков в применении производной к исследованию функций и нахождении наибольшей) и наименьшего значения функции

§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ

УРОК № 1. ввести понятие первообразной. Показать на конкретных примерах, как проверить, является ли данная функция F первообразной для данной функции f на данном промежутке

УРОК № 2. закрепить навыки и умения доказательства, что данная функция F является первообразной для данной функции f на данном промежутке

ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПЕРВООБРАЗНОЙ

УРОК № 1. рассмотреть признак постоянства функции; основное свойство первообразных и геометрический смысл его

УРОК № 2. научить с помощью таблицы находить общий вид первообразной, закрепить этот навык при решении упражнений

ТРИ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ

УРОК № 1. рассмотреть правила нахождения первообразных и упражнять учащихся в их применении

УРОК № 2. выработка умений находить первообразную, график которой проходит через данную точку и первообразные функции в случаях, непосредственно сводящиеся к применению таблицы первообразных и трёх правил нахождения первообразных

УРОК № 3. проверить знания и умения учащихся нахождения первообразных функции в случаях, непосредственно сводящихся к применению таблицы и трём правилам нахождения первообразных; рассмотреть более сложные упражнения по этой теме

УРОК № 4. проверить умения и навыки по теме «Первообразная»

§ 8. ИНТЕГРАЛ

ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ

УРОК № 1. ввести понятие криволинейной трапеции и рассмотреть ей площадь

УРОК № 2. упражнять учащихся в нахождении площади криволинейной трапеции и проверить степень усвоения этого материала

ИНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА

УРОК № 1. объяснить, что такое интеграл, вывести формулу Ньютона-Лейбница, показать как вычисляются интегралы

УРОК № 2. упражнять в вычислении площади криволинейных трапеций и проверить степень приобретения навыка

УРОК № 3. рассмотреть решения более сложных упражнений на нахождение площади криволинейной трапеции; проверить степень усвоения этого материала

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА

УРОК № 1. познакомить учащихся с широким спектром применения интеграла

УРОК № 2. рассмотреть упражнения на нахождение объёмов тел фигур вращения

УРОК № 3. проверить знания и умения учащихся по теме «Первообразная и интеграл»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2. выявление знаний учащихся и степени усвоения ими материала

§ 9. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ

КОРЕНЬ n-ОЙ СТЕПЕНИ И ЕГО СВОЙСТВА

УРОК № 1. Урок–лекция: ввести понятие корня n-й степени, рассмотреть основные свойства корней n упражнять учащихся в их применении

УРОК № 2. Урок типовых задач: закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений; рассмотреть различные случаи применения основных свойств корней n-й степени

УРОК № 3. проверить усвоение учащимися материала; добиться безошибочного преобразования выражений, содержащих радикалы

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УРОК № 1. Урок–лекция: ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения

УРОК № 2. Урок типовых задач: познакомить учащихся с решениями некоторых типов иррациональных уравнений; способствовать развитию навыка решения иррациональных уравнений

УРОК № 3. проверить усвоение учащимися изученного материала; рассмотреть решение систем уравнений

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

УРОК № 1. ввести понятие степени с рациональным показателем и показать, что при таком сформулированном определении сохраняются основные свойства степеней

УРОК № 2. учить применять тождества сокращенного умножения к действиям над степенями; закрепить знание свойств степеней с рациональным показателем

УРОК № 3. способствовать выработке навыков сравнения чисел, используя свойства степени с рациональным показателем; закрепить знание свойств степени с рациональным показателем

УРОК № 4. Контрольная работа № 3 на 25 мин: повторить и систематизировать изученный материал, подготовиться к контрольной работе; проверить усвоение учащимися изученного материала

§ 10. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

УРОК № 1. рассмотреть степень с иррациональным показателем; ввести определение показательной функции и сформулировать её основные свойства

УРОК № 2. закрепить знание основных свойств показательной функции и показать построение графиков функции у = ах (где а > 0, а ≠ 1)

2-е полугодие

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

УРОК № 1. использовать свойства показательной функции для решения показательных уравнений, показать способы их решения

УРОК № 2. показать другие приёмы решения показательных уравнений; рассмотреть решение систем уравнений показательных

УРОК № 3. рассмотреть способы решения показательных неравенств и способствовать выработке навыков их решения

ЛОГАРИФМЫ И ИХ СВОЙСТВА

УРОК № 1. проверить усвоение учащимися изученного материала; ввести понятие логарифма

УРОК № 2. изучить основные свойства логарифмов и показать их применение в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

УРОК № 1. ввести определение логарифмической функции и рассмотреть её свойства

УРОК № 2. Урок-зачёт: учить построению графиков логарифмической функции; проверить знания учащихся по свойствам логарифмов и логарифмической функции

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

УРОК № 1. Урок–лекция: рассмотреть способы решений логарифмических уравнений

УРОК № 2. в ходе выполнения упражнений закрепить знание решения логарифмических уравнений; рассмотреть решение систем логарифмических уравнений

УРОК № 3. рассмотреть решение логарифмических неравенств и вырабатывать навыки их решения; проверить умение решать логарифмические уравнения

УРОК № 4. обобщение и систематизация знаний учащихся; упражнять в решении логарифмических уравнений и неравенств; подготовиться к контрольной работе

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4. выявление знаний учащихся и степени усвоения ими материала

§ 11. ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ

ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ. ЧИСЛО е

УРОК № 1. сформировать представление о числе е; доказать дифференцируемость функции у = ех в любой точке х. Рассмотреть доказательство теоремы о дифференцировании функции f(x) = aх и первообразных функций f(х) = еx, f(х) = аx на множестве R

УРОК № 2. закрепить при решении упражнений навыки нахождения производной и первообразной показательной функции

УРОК № 3. упражнять в решении задач по данной теме

ПРОИЗВОДНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

УРОК № 1. рассмотреть производную логарифмической функции, научить находить её

УРОК № 2. закрепить навыки нахождения производных и первообразных логарифмической функции при решении более сложных упражнений

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

УРОК № 1. ввести понятие степенной функции, рассмотреть её свойства, формулу производной степенной функции

УРОК № 2. познакомить учащихся с формулами приближённых вычислений g значений степенной функции. Проверить навыки и умения учащихся при решении заданий по теме «Степенная функция»

УРОК № 3. Урок-зачёт: проверить степень усвоения изученного материала

ПОНЯТИЕ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

УРОК № 1. ввести понятие о дифференциальных уравнениях, рассмотреть решения некоторых из них, показать применение решений дифференциальных уравнений в физике, технике

УРОК № 2. рассмотреть задачи, которые решаются с применением дифференциальных уравнений

УРОК № 3. продолжить решение задач по изученной теме, проверить навык их решения

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5. проверить усвоение учащимися изученного материала

ОБОБЩАЮЩЕЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА

УРОК № 1. Тема. Тригонометрические функции числового аргумента

УРОК № 2. Тема. Решение тригонометрических уравнений и неравенств

УРОК № 3. Тема. Решение тригонометрических уравнений и неравенств

УРОК № 4. Тема. Производная. Применения непрерывности и производной

УРОК № 5. Тема. Применение производной к исследованию функции

УРОК № 6. Тема. Наибольшее и наименьшее значения функции

УРОК № 7. Тема. Первообразная. Интеграл. Площадь криволинейной трапеции

УРОК № 8. Тема. Площадь криволинейной трапеции

УРОК № 9. Тема. Иррациональные уравнения

УРОК № 10. Тема. Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств

УРОК № 11. Тема. Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств

УРОК № 12. Тема. Производная показательной функции. Производная логарифмической функции

ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6. выяснить подготовленность учащихся к экзамену по алгебре и началам анализа

Алгебра 11 клас контрольна робота інтеграл

Скачать алгебра 11 клас контрольна робота інтеграл EPUB

11 класс. Контрольные работы для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / В. И. Глизбург ; под ред. А. Г. Мордковича. — М., — 32 с. В пособии приведено примерное планирование курса алгебры и начал математического анализа для го класса (базового уровня) и контрольные работы в четырех вариантах по всем темам курса.

Каждая работа имеет три уровня сложности. Каждый вариант контрольной работы выстроен по одной и той же схеме: задания обязательного минимума — до первой черты, задания среднего уровня — между первой и второй чертой, задания уровня выше среднего — после втор.

Теоретические уроки, тесты и задания по предмету Интеграл, Первообразная и интеграл, 11 класс, Алгебра. Задания составлены профессиональными педагогами. ЯКласс — онлайн-школа нового поколения. Контрольные работы по алгебре для 11 класса к учебнику Мордковича А.Г. с ответами. Базовый уровень. Контрольные по темам: «Первообразная и интеграл», «Корень n-ой степени», «Степенные функции», «Показательная и логарифмическая функция. {\frac{3\pi}{4}}cos(2x)dx$.

Вариант №1. КР_первообразная 11 кл. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке: а), б), Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку М(–1;2). Найдите первообразную для функции. Вариант №1. КР_первообразная 11 кл. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке: а), б)  Раздел. Алгебра. Подраздел. Контрольная работа. Просмотров.

Номер материала. © Проект «Уроки математики». Служба поддержки — [email protected] Тема уроку: Тематична контрольна робота № 3. Мета уроку: Перевірити навчальні досягнення учнів з теми «Інтеграл та його застосування».

Поурочные разработки по Алгебре и началам анализа 11 класс к УМК А. Г. Мордковича — год. Контрольная работа по теме Первообразная и интеграл — Определенный интеграл — Первообразная и интеграл.

Цель: проверить знания учащихся с использованием разноуровневых вариантов. Ход уроков. I. Сообщение темы и цели уроков. II. Варианты контрольной работы. Вариант 1. 1. Вычислите интеграл: 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: 3. Найдите общий вид первообразных для функции. Контрольная работа № 4 по теме «Первообразная и интеграл» Вариант 6. Зачётная работа по алгебре и началам анализа № 1 (Варианты 1 — 21).

Раздел пока пуст. Начало. Тесты по некоторым темам алгебры и начал анализа (7- 10 класс).  Применение интегралов к решению простейших геометрических и практических задач. Контрольная работа № 4 по теме «Первообразная и интеграл». Решение иррациональных уравнений. «Иррациональные уравнения» (тест). Алгебра 11 клас. 2 просмотров 2,1 тыс. просмотров.  Визначений інтеграл.

Формула Ньютона–Лейбніца • Нехай 𝐹 – первісна функції 𝑓 на проміжку 𝐼, числа 𝑎 і 𝑏 належать проміжку 𝐼, де 𝑎 більше 𝑏.

rtf, djvu, doc, djvu

Похожее:

Бідність курсова робота

Правознавство збірник задач

В.підпалий тиха елегія презентація

Геометрія 9 клас мерзляк гдз вектори

Лабораторна робота 3 біологія

Історія незалежність україни

Біографія еміля золя презентація

Календарний план історія 9 клас

Самостоятельная работа «Интеграл.

Формула Ньютона-Лейбница»

Просмотр
содержимого документа

Самостоятельная работа по теме «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница»	Самостоятельная работа по теме «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница»
Вариант 1	Вариант 2
Вычислите интегралы:	Вычислите интегралы:

 

Исчисление 1, Глава 5: Часть 3 — Определенный интеграл

Обзор

В этом разделе мы вводим то, что мы назвали определенным интегралом. Если сумма Римана сходится для интегрируемой функции на отрезке [a, b], то интегрирование от a до b называется определенным интегралом от a до b. Затем мы увидим, что этот определенный интеграл дает нам площадь, ограниченную кривой на данном отрезке. Наконец, мы поговорим о некоторых свойствах определенных интегралов и обсудим некоторые вопросы, связанные с этими свойствами.

В этой главе мы представляем обратимый процесс дифференциации, который называется интеграцией. Здесь мы изучаем правила интегрирования, определенные интегралы и методы интегрирования.

Исчисление — это математика изменения движения. Исчисление используется для моделирования изменяющихся явлений. Исчисление было независимо разработано в конце 17 века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем. Исчисление II — это интегральное исчисление.

В основном в этом курсе мы изучаем набор методов для решения множества различных проблем с приложениями.Основные темы исчисления, которые мы собираемся обсудить, будут заключаться в нахождении ограничений: поговорим о том, что происходит в конечном итоге, производных: мгновенной скорости изменения и интегралах: которые говорят об области.

Этот курс состоит из пяти основных глав:

1 Предварительные сведения
2. Предел и непрерывность
3. Дифференциация
4. Применение производных инструментов
5. Интеграция

---

Инструктор

Я доктор Миуран Денсил, профессиональный математик, в настоящее время работаю доцентом.Я получил степень магистра и доктора математики в 2016 и 2020 годах в Техасском технологическом университете, Техас, США. Во время учебы в колледже я выиграл престижную президентскую стипендию для аспирантов на 5 лет, которую получают самые лучшие аспиранты школы. Я был приглашенным докладчиком на многие признанные конференции и выиграл много грантов на свои исследования. Моя диссертация была посвящена геометрическим свойствам специальных функций и связанных с ними квадратичных дифференциалов. Мои исследовательские интересы включают дифференциальные уравнения с частными производными и теорию чисел.Я окончила Университет Келания, Шри-Ланка, в 2011 году со степенью бакалавра, то есть специальной степенью по математике с отличием первого класса.

Преподавание — моя страсть и призвание! Кроме того, математика — это весело и интерактивно! Я начал преподавать математику в очень молодом возрасте. У меня более 16 лет опыта преподавания и преподавания математики в детском саду для старшеклассников, на уровне колледжа и на уровне выпускников.
После получения степени бакалавра я работал инструктором в Университете Келания с 2011 по 2013 год, а затем работал преподавателем в университете Моратува с 2013 по 2015 год.Затем я поступил в аспирантуру Техасского технологического университета, работая ассистентом GPTI / исследователем в 2015-2020 годах.
Я преподавал: Исчисление I, II, III + Pre-Cal, AP Cal AB / AP Cal BC, тригонометрия, линейная алгебра, геометрия, ODE / PDE, алгебра 1,2, численные методы, действительный / расширенный анализ, комплексные числа , Дискретная математика, Теория групп / Теория колец / Теория чисел, Интегрирование / Уравнения Лапласа / Преобразование рядов Фурье, Математика для степеней, Механика / Движение частицы / Силовое равновесие / Гармоническое движение, Тренажер для экзаменов, таких как разделы по математике SAT, GRE .

За 16 лет преподавательского опыта и долгую академическую жизнь я нашел методы, которые помогли мне понять и решить любую проблему быстрее и точнее. Теперь я готов преподавать их вам, так как считаю, что нет ничего слишком сложного, если ученик хочет учиться.

Поскольку математика является интерактивным и увлекательным предметом, она позволяет студентам получить дополнительную практику и обеспечивает индивидуальную учебную атмосферу для студентов, чтобы отточить их аналитическое мышление и технику решения проблем.

Посмотреть полный профиль

Отличные новости! Миюран хочет помочь вам раскрыть свой потенциал.
Виртуальное обучение теперь доступно в несколько кликов.

Исчисление 2, Глава 2: Часть 5 — Неправильный интеграл

Обзор

Исчисление — это математика изменения и движения. Исчисление было независимо разработано в конце 17 века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем. Исчисление II — это интегральное исчисление.

В основном в этом курсе мы изучаем набор методов для решения множества различных проблем с приложениями. Пройдя этот курс, вы сможете настраивать и оценивать интегралы, чтобы находить площади и объемы и решать реальные проблемы, вычислять интегралы вручную, используя различные методы, включая подстановки, части, частичные дроби и гиперболическую тригонометрию, анализировать сходимость последовательностей, рядов,
и степенных рядов, решение элементарных задач векторного анализа

Этот курс состоит из четырех основных глав:

1.Применение интегралов: использование интегралов для поиска площадей и объемов и решения реальных задач
2. Вычисление интегралов вручную: вычисление интегралов вручную с использованием различных методов, включая подстановки, части, частичные дроби и гиперболическую тригонометрию.
3. Анализ сходимость последовательностей, рядов и степенных рядов
4. Векторный анализ: решение элементарных задач векторного анализа

---

Инструктор

Я доктор Миуран Денсил, профессиональный математик, в настоящее время работаю доцентом.Я получил степень магистра и доктора математики в 2016 и 2020 годах в Техасском технологическом университете, Техас, США. Во время учебы в колледже я выиграл престижную президентскую стипендию для аспирантов на 5 лет, которую получают самые лучшие аспиранты школы. Я был приглашенным докладчиком на многие признанные конференции и выиграл много грантов на свои исследования. Моя диссертация была посвящена геометрическим свойствам специальных функций и связанных с ними квадратичных дифференциалов. Мои исследовательские интересы включают дифференциальные уравнения с частными производными и теорию чисел.Я окончила Университет Келания, Шри-Ланка, в 2011 году со степенью бакалавра, то есть специальной степенью по математике с отличием первого класса.

Преподавание — моя страсть и призвание! Кроме того, математика — это весело и интерактивно! Я начал преподавать математику в очень молодом возрасте. У меня более 16 лет опыта преподавания и преподавания математики в детском саду для старшеклассников, на уровне колледжа и на уровне выпускников.
После получения степени бакалавра я работал инструктором в Университете Келания с 2011 по 2013 год, а затем работал преподавателем в университете Моратува с 2013 по 2015 год.Затем я поступил в аспирантуру Техасского технологического университета, работая ассистентом GPTI / исследователем в 2015-2020 годах.
Я преподавал: Исчисление I, II, III + Pre-Cal, AP Cal AB / AP Cal BC, тригонометрия, линейная алгебра, геометрия, ODE / PDE, алгебра 1,2, численные методы, действительный / расширенный анализ, комплексные числа , Дискретная математика, Теория групп / Теория колец / Теория чисел, Интегрирование / Уравнения Лапласа / Преобразование рядов Фурье, Математика для степеней, Механика / Движение частицы / Силовое равновесие / Гармоническое движение, Тренажер для экзаменов, таких как разделы по математике SAT, GRE .

За 16 лет преподавательского опыта и долгую академическую жизнь я нашел методы, которые помогли мне понять и решить любую проблему быстрее и точнее. Теперь я готов преподавать их вам, так как считаю, что нет ничего слишком сложного, если ученик хочет учиться.

Поскольку математика является интерактивным и увлекательным предметом, она позволяет студентам получить дополнительную практику и обеспечивает индивидуальную учебную атмосферу для студентов, чтобы отточить их аналитическое мышление и технику решения проблем.

Посмотреть полный профиль

Отличные новости! Миюран хочет помочь вам раскрыть свой потенциал.
Виртуальное обучение теперь доступно в несколько кликов.

Математика 11 класса — Spirit of Math Schools Inc.

Математика 11 класса — Spirit of Math Schools Inc.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ О COVID-19: все наши очные занятия проводятся ОНЛАЙН до дальнейшего уведомления.

Search Spirit of Math Schools Inc.

11-й класс — последний год окончания курса «Дух математики». Уровень сложности эквивалентен первому или второму курсу математики в университете. В 11 классе учащиеся изучают математические дисциплины, включая пределы, производные, неявное и частное дифференцирование, интегралы и многое другое. Студенты также работают над независимыми заданиями, охватывающими функции, логарифмы, алгебраические уравнения, геометрию, последовательности и многое другое. Общая учебная программа готовит студентов с глубоким пониманием математики, а также сильным независимым мышлением и навыками управления временем.Совместная групповая работа и решение проблем по-прежнему являются ключевыми компонентами учебной программы 11-х классов. В целом, еженедельные двухчасовые занятия наполнены новыми полезными знаниями для успешных учеников.

Вот что мы изучаем в одиннадцатом классе:

• Ментальная арифметика: в 11 классе учащиеся продолжают практиковать свои умственные навыки вычисления

• 11-й класс специализируется на математическом анализе. Преподаваемый материал сопоставим с учебным курсом первого года обучения математике в университете.Охваченные темы включают:
• Пределы
• Производные правила
• 2 ^nd и 3 ^rd производные степени
• Производные логарифмических, экспоненциальных и тригонометрических функций
• Неявная дифференциация
• Частичная дифференциация
• Максимум-минимум проблем
• Скорость изменения проблем
• Создание эскиза кривой
• Интегральные устройства и приложения

• Наборы задач на основе следующих тем:
• Функции
• Логарифмы
• Алгебраические уравнения
• Последовательности и серии
• Geometry Mania: сложные задачи, основанные на различных концепциях в 2- и 3-мерной геометрии

• Сравнение и обсуждение решений домашних заданий с самостоятельными заданиями и основной работой
• Развитие коммуникативных и социальных навыков
• Учимся делиться идеями о том, как совместно решать проблемы
• Развитие критического мышления и навыков принятия решений

оценок доступны в Интернете, и родители получают три табеля успеваемости каждый год.Наши студенты продемонстрируют свое понимание через:

• Тесты на основе наборов задач (на уроках 6, 11, 18 и 27)
• Шесть модульных тестов (на уроках 8, 16, 22, 25, 31 и 37)
• Итоговый комплексный экзамен

Что говорят наши родители и выпускники

Найдите ближайший к вам университетский городок

Имя магазина-заполнителя.

Адрес-заполнитель.

Заполнитель веб-сайта.

Заполнитель электронной почты.

Телефонный заполнитель.

Заполнитель факса.

Заполнитель описания.

Получить направление Просмотр улиц

Название магазина-заполнителя

Заполнитель для адреса

Посетите кампус Страница

Посетите кампус Страница

Заполнитель веб-сайта

Электронная почта

Телефон

Телефон

Телефонный заполнитель

Факс

В этом кампусе

Заполнитель описания

Внешний URL-адрес

Заполнитель Ext

Получить направление Просмотр улиц

Spirit of Math — инновационный лидер в области внешкольного математического образования для высокопроизводительный студенты.

Контактная информация

1446 Don Mills Road, Suite 101, Торонто, ON M3B 3N3
416-223-1985 х 110
[email protected]

×

Исчисление II

Исчисление II

Дискуссионная сессия: CD5, ED8

Весна 2012

Математический факультет Иллинойского университета

---

Описание:

Это веб-страница дискуссионных сессий CD5, ED8 из Math 231, Calculus II.В этом курсе мы рассмотрим главы 7, 8, 10 и 11 из учебника «Исчисление, ранняя трансцендентность» Джеймса Стюарда. см. официальную веб-страницу этого курса здесь

---

Syllbus для секции CD5, 9:00

---

Syllbus для секции ED8, 8:00

---

Время:

• Секция CD5: вторник и четверг 9:00 — 9:50, зал 447 Altgeld Hall
• Секция ED8: вторник и четверг с 8:00 до 8:50, зал 441 Altgeld Hall

---

Инструктор и ассистент:

	Инструктор	Ассистент учителя
Имя	Проф.Бертран Гийу	Абдулла Ид
Кабинет	330 Иллини Холл	155 Altgeld Hall
Часы работы	Вторник 13:30 — 15:30	среда 16:00 — 18:00 (ауд. 443)
Эл. Почта	bertg (at) illinois.edu

---

Примечания к классу: (отсканировано)

---

Предварительные требования:

• Math 220 или Math 221 или эквивалентный курс Calculus I

---

Учебник:

• Джеймс Стюард, Calculus, Early Transcendental , 7-е изд., Cengage Brooks / Cole Publishing, Belmont 2011; ISBN 978-0-538-49790-9

---

Тесты сходимости и расхождения для бесконечной серии

, проведенные Т.А. Кэтрин Андерс

---

Рабочих листов:

Чтобы проверить свои оценки по рабочим листам и экзаменам, войдите здесь.

Переуступка	Тема	Дата	Решение
Рабочий лист 0	раздел: 2.7,3.4, 4.1,4.4: Производные, касательные линии, правило цепочки	17 янв.2012 г.	Решение
Рабочий лист 1	раздел: 5.1,5.4,6.2: правило замены, объем обращения	19 января 2012 г.	Решение
Рабочий лист 2	раздел 7.1,7.2: Интегрирование по частям и тригонометрические интегралы	24 января 2012 г.	Решение
Рабочий лист 3	раздел 7.2,7.3: Тригонометрические интегралы и подстановка	26 янв.2012 г.	Решение
Рабочий лист 4	раздел 7.3: Тригонометрическая замена	31 янв.2012 г.	Решение
Рабочий лист 5	раздел 7.4. Интегрирование рациональных функций частичными дробями	2 февраля 2012 г.	Решение
Рабочий лист 6	раздел 7.5: Методы интеграции	7 февраля 2012 г.	Решение
Рабочий лист 7	раздел 7.8: Неправильная интеграция	9 февраля 2012 г.	Решение
Рабочий лист 8	раздел 8.1,8.2: Длина дуги и площадь поверхности	21 февраля 2012 г.	Решение
Рабочий лист 9	раздел 11.1: Последовательности	23 февраля 2012 г.	Решение
Рабочий лист 10	раздел 11.2: Серия	28 февраля 2012 г.	Решение
Рабочий лист 11	раздел 11.2: Серия	1 марта 2012 г.	Решение
Рабочий лист 12	раздел 11.3. Интегральный тест	6 марта 2012 г.	Решение
Рабочий лист 13	раздел 11.4: Сравнительный тест	8 марта 2012 г.	Решение
Рабочий лист 14	раздел 11.5: Тест чередующейся серии	13 марта 2012 г.	Решение
Рабочий лист 15	раздел 11.6. Тест на рацион и корень	29 марта 2012 г.	Решение
Рабочий лист 16	раздел 11.8: Радиус и интервал конвергенции	3 апреля 2012 г.	Решение
Рабочий лист 17	раздел 11.10: Представление функций степенным рядом	5 апреля 2012 г.	Решение
Рабочий лист 18	раздел 11.10. Серия Тейлор,	10 апреля 2012 г.	Решение
Рабочий лист 19	раздел 11.10: Биномиальный ряд	12 апреля 2012 г.	Решение
Рабочий лист 20	раздел 11.11: Неравенство Тейлора	17 апреля 2012 г.	Решение
Рабочий лист 21	раздел 10.1,10.2: Параметрические кривые	26 апреля 2012 г.	Решение
Рабочий лист 22	раздел 10.3,10.4: Полярные координаты	1 мая 2012 г.	Решение

---

Дата и время проверки:

---

Политика выставления оценок:

• Задания: 12%
• Домашнее задание онлайн: 8%
• Экзамен 1: 10%
• Экзамен 2: 20%
• Экзамен 3: 20%
• Финал: 30%
• Итого: 100%

---

Рабочих листов:

Вам нужно будет работать над рабочими листами вместе в группах по 3-4 человека.Пока вы работаете, я буду предлагать индивидуальную помощь. Вы должны оставаться, пока не заполните рабочий лист. Рабочие листы будут собраны в конце урока и возвращены вам с оценками на следующем уроке. Оценивается только один рабочий лист из каждой группы, и вся группа получает одинаковую оценку, поэтому очень важно, чтобы вы хорошо работали со своими одноклассниками. Ваши два самых низких результата на листе будут отброшены. Если у вас возникла экстренная ситуация и вам нужно пропустить некоторые занятия или экзамены, обратитесь к дежурному декану (300 Turner Student Services Building, 610 East John St., телефон: 217-333-0050).

---

Домашнее задание онлайн:

Домашнее задание онлайн предоставляется через систему домашних заданий WebAssign. Webassign входит в комплект учебника, если вы покупаете его в книжном магазине Illini, или вы можете приобрести отдельный доступ в Webassign. После того, как вы создали учетную запись, используя свой университетский адрес электронной почты (@ illinois.edu), вам нужно будет получить доступ к онлайн-домашнему заданию, используя ключ класса: для раздела CD5 (9:00) используйте uiuc 7466 3302 , а для раздела ED8 (8:00). используйте uiuc 4695 6377 .

---

Академическая честность:

Мошенничество строго запрещено и приведет к серьезным последствиям. В частности, мошенничество может привести к оценке курса на «F», и о нем будет сообщено как в студенческий колледж, так и в сенатский комитет по студенческой дисциплине. Использование каких-либо сторонних материалов, просмотр экзамена другого студента или использование мобильного телефона может рассматриваться как мошенничество (независимо от того, получаете ли вы от этого выгоду или нет). Дополнительные сведения см. В кодексе учащихся (статья 4 часть 1).

---

Инвалиды:

Учащимся с ограниченными возможностями, которым для участия в этом классе требуются разумные приспособления, следует как можно скорее встретиться со мной и связаться с DRES (www.disability.uiuc.edu).

---

Репетиторство и помощь:

Вместо традиционного рабочего дня будут часы репетиторства с понедельника по четверг с 16:00 до 19:50 в комнате 443. Кроме того, здесь доступны частные уроки.

Дополнительная информация

---

Авторские права и копия 2012 г.Все права защищены.
Весна 2012

mathcentre: Диагностический тест — Основное исчисление

Загрузка …

• ←
• →

		/
		/	(%)

	()

Создано с использованием Numbas, разработанного Университетом Ньюкасла.

×

×

Математика · The Park School of Baltimore

Годовые курсы математики

Математика 9

Класс: 9

В

курсах математики для 9-х классов изучаются алгебра, геометрия и связи между ними.Повсюду делается упор на решение проблем, рассуждения и доказательства. Студенты разделены на группы по интересам и способностям, — на разные классы, различающиеся по темпам и уровню абстракции.

Математика 9-1

Этот курс изучает сложные алгебраические и геометрические аспекты с упором на решение проблем, рассуждения и доказательства. Темы включают теорию графов, законы экспонент и радикалов, алгебру рациональных выражений, квадратные уравнения, евклидову и координатную геометрию и тригонометрию единичного круга.

Математика 9-2, 9-3, 9-4

Эти курсы исследуют алгебру, геометрию и связи между ними, уделяя особое внимание развитию у студентов способности решать проблемы с помощью различных подходов. Темы включают алгебру, координатную геометрию, системы уравнений, тригонометрию, квадратичные функции и комбинаторику с постоянным акцентом на рассуждениях и доказательствах.

Математика 10

Grade 10 — Обязательно

Этот курс требуется на одном из трех уровней: математика 10-1, математика 10-2 или математика 10-3.

Математика 10-1

Студенты расширяют понимание алгебры и геометрии, полученные в математике 9-1. Они исследуют экспоненциальные и логарифмические функции, комбинаторику, последовательности и ряды, графические преобразования, многочлены и рациональные функции, круговое движение и тригонометрические функции, тригонометрические тождества, комплексные числа и начинают изучение бесконечно малых процессов.

Математика 10-2, математика 10-3 и математика 10-4

Эти курсы изучают алгебру, геометрию и дискретную математику, но более глубоко, чем в предыдущем году, с постоянным акцентом на развитие способности студентов решать задачи с помощью различных подходов.Темы могут включать теорию графов, геометрические последовательности и ряды, радикалы и законы показателей, алгебру рациональных выражений, экспоненциальные функции, дальнейшее изучение квадратных уравнений, полиномиальных функций и комплексных чисел, статистику и евклидову геометрию.

Математика 11-2 +, Математика 11-2 и Математика 11-3

11 класс

Эти курсы подчеркивают приложения математики и могут включать следующие области: алгоритмы, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, преобразования функций, полиномиальные функции, тригонометрические тождества, комбинаторику и вероятность, а также другие темы по геометрии.

Исчисление (ускоренное)

11–12 классы

Представлены концепции и приложения дифференциального и интегрального исчисления. Для юниоров курс завершается месячным финальным проектом, требующим значительной самостоятельной работы. Студенты, успешно завершившие курс, готовы к сдаче экзамена Advanced Placement Calculus AB.

Необходимые условия: Математика 10-1 или разрешение текущего учителя математики.

Расширенный расчет (ускоренный)

12 класс

В «Исчислении» учащиеся знакомятся с концепцией пределов и узнают, как их можно применить для разработки теории дифференциации (скорости изменения) и интеграции (накопления), которая завершается изучением фундаментальных теорем исчисления.Advanced Calculus развивает методы дифференцирования и интегрирования и служит основой для таких классов, как дифференциальные уравнения, многомерное исчисление и линейная алгебра. Учебная программа разработана таким образом, чтобы включать: неопределенные формы; логарифмическое и неявное дифференцирование; связанные ставки; интеграция по частям; частичное разложение фракций; несобственные интегралы; параметрические и полярные уравнения; векторное исчисление применительно к положению, скорости и ускорению; дифференциальные уравнения и модели населения; последовательности; Тейлор и степенной ряд.Эти темы охватывают весь материал экзамена Advanced Placement (AP) Calculus BC и обеспечат прочную основу для студентов, заинтересованных в прохождении теста. В дополнение к основным темам, упомянутым ранее, класс может время от времени относиться к другим областям высшей математической науки. Эти темы могут включать разные системы счисления; «размеры» бесконечности; математическая физика и теория относительности; многомерное исчисление и геометрия; и ряды Фурье.

Предпосылка: Исчисление

Продвинутый факультатив: линейная алгебра (ускоренный курс)

9–12 классы

Линейная алгебра — замечательный элемент математики: она живёт прямо в той золотой зоне, где пересекаются красота и «крайняя полезность».Предмет начинается с глубокого исследования стратегий решения систем линейных уравнений, переходя к мощной сфере векторов, векторных пространств и линейных преобразований. Прикладная линейная алгебра расширяет возможности большинства современных вычислительных наук, таких как знаменитый алгоритм Google PageRank, компьютерная графика и анимация, а также компьютерная аксиальная томография (например, компьютерная томография). Этот класс обеспечит баланс теории, применения и вычислений.

Пререквизиты: Разрешение кафедры

Курсы математики осеннего семестра

Исчисление I

12 класс

Студенты начнут курс с рассмотрения «проблемы касательной» и перейдут к изучению пределов и выработке определения производной.В то же время они будут изучать рациональные функции, используя язык и методы ограничений, чтобы помочь понять графики этих функций. Прежде чем применять производную к реальным задачам, студенты изучат различные техники взятия производных, одновременно укрепляя свои навыки алгебры.

Необходимое условие: математика 11-2 или разрешение отдела. Студенты, изучавшие математику и моделирование в прошлом году, не имеют права на этот курс.

Исчисление 2 (ускоренное)

12 класс

Этот курс со значительной глубиной исследует как теорию, так и применение дифференциального исчисления, и предназначен для углубления и расширения понимания тем, изученных в математике и моделировании в прошлом году. Это включает в себя обширное исследование пределов, построение кривых, логарифмическое дифференцирование и правило L’Hospital, а также множество реальных приложений, включающих связанные скорости и оптимизацию.Он заканчивается введением в антидифференциацию и интеграцию.

Предварительные требования: Расчет и моделирование

Дискретная математика I

10–12 классы

Дискретная математика — это современный раздел математики, который фокусируется на различных задачах, темах и алгоритмах, которые часто имеют целочисленные результаты. Темы основаны на реальных приложениях. Этот курс фокусируется на математической перспективе справедливости, ценности и индивидуального восприятия.Студенты изучают широкий спектр методов голосования и изучают алгоритмы «справедливого разделения» через призму прав на владение недвижимостью, распределения для руководящих органов и множества непрерывных дел.

Статистика I

10–12 классы

Студенты изучают темы описательной статистики: отображение данных, описание наборов данных в соответствии с центром, формой и распространением, нормальное распределение, корреляция, экспериментальный план и систематическая ошибка выборки.

Весенние семестровые курсы

Исчисление 2

12 класс

Студенты продолжат использовать линзу исчисления для изучения функций и их графиков.Темы могут включать неявное дифференцирование, проблемы оптимизации, связанные проблемы скорости, площадь под кривой, определение интеграла и фундаментальную теорему исчисления.

Предпосылка: Исчисление 1

Исчисление 3 (ускоренное)

12 класс

Этот курс исследует теорию и применение интегрального исчисления — антидифференцирование, определенные интегралы, фундаментальную теорему исчисления и интеграл как аккумулятор, а также ряд приложений, таких как площадь под кривой, движение частиц , и дифференциальные уравнения во многих повседневных контекстах.Курс завершится обширным исследованием бесконечных рядов и несобственных интегралов.

Предпосылка: Calculus 2 (ускоренный)

Дискретная математика 2 (ускоренная)

10–12 классы

Дискретная математика 2 сосредоточится в первую очередь на приложениях, которые можно анализировать с помощью матриц. После быстрого изучения того, что такое матрицы и как они работают, мы будем использовать их в качестве инструментов для изучения различных приложений.Студенты будут моделировать и прогнозировать рост населения, проходить вводное изучение криптографии и изучать ожидаемые вероятности с помощью построения настольных игр на основе случайностей.

Примечание. Дискретная математика 1 не является обязательным условием.

Статистика 2

10–12 классы

Темы могут включать методы выборки, моделирование, доверительные интервалы, проверку гипотез, вероятность и ожидаемое значение.

Предпосылка: Статистика 1

5.2. Определенный интеграл — математика LibreTexts

Цели обучения

• Дайте определение определенному интегралу.
• Объясните термины «интеграция», «пределы интегрирования» и «переменная интегрирования».
• Объясните, когда функция интегрируема.
• Опишите соотношение между определенной интегральной и чистой площадью.
• Используйте геометрию и свойства определенных интегралов для их вычисления.
• Вычислить среднее значение функции.∗ _i) Δx. \]

  Однако это определение имело ограничения. Мы требовали, чтобы \ (f (x) \) была непрерывной и неотрицательной. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить концепцию площади под кривой к более широкому набору функций с помощью определенного интеграла.

  Определение и обозначения

  Определенный интеграл обобщает понятие площади под кривой. Мы снимаем требования непрерывности и неотрицательности \ (f (x) \) и определяем определенный интеграл следующим образом.∗ _i) Δx, \]

  при наличии лимита. Если этот предел существует, функция \ (f (x) \) называется интегрируемой на \ ([a, b] \) или интегрируемой функцией.

  Знак интеграла в предыдущем определении должен показаться знакомым. Мы видели аналогичные обозначения в главе «Применение производных», где мы использовали символ неопределенного интеграла (без \ (a \) и \ (b \) сверху и снизу) для представления первообразной. Хотя обозначения для неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям для определенного интеграла, они не совпадают.Определенный интеграл — это число. Неопределенный интеграл — это семейство функций. Позже в этой главе мы исследуем, как связаны эти концепции. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.

  Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница , которого часто считают кодотворцем исчисления вместе с Исааком Ньютоном.Символ интегрирования \ (∫ \) — удлиненный \ (S \), обозначающий сигму или суммирование. На определенном интеграле выше и ниже символа суммирования находятся границы интервала \ ([a, b]. \) Числа \ (a \) и \ (b \) являются \ (x \) — значениями и называются пределами интеграции ; в частности, \ (a \) — нижний предел, а \ (b \) — верхний предел. ∗ _ i) Δx \) существует и единственно.Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

  Интегрируемые непрерывные функции

  Если \ (f (x) \) непрерывно на \ ([a, b] \), то \ (f \) интегрируемо на \ ([a, b]. \)

  Функции, которые не являются непрерывными на \ ([a, b] \), могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов. Например, функции с конечным числом скачкообразных разрывов или устранимых разрывов на отрезке интегрируемы.

  Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана.Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для образования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, этого недостаточно, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности. Вместо этого мы должны принять предел, поскольку ширина самого большого подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления без особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана.2 \, dx. \) Используйте приближение правой конечной точки для генерации суммы Римана.

  Раствор

  Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интегрирования, имеем \ (a = 0 \) и \ (b = 2 \). Для \ (i = 0,1,2,…, n \) пусть \ (P = {x_i} \) — регулярное разбиение \ ([0,2]. \), Тогда

  \ [Δx = \ dfrac {b − a} {n} = \ dfrac {2} {n}. \ nonumber \]

  Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для генерации сумм Римана, для каждого \ (i \) нам нужно вычислить значение функции на правом конце интервала \ ([x_ {i − 1}, x_i].3_0 (2x − 1) \, dx \).

  Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

  Подсказка

  Используйте стратегию решения из примера \ (\ PageIndex {1} \).

  Ответ

  6

  Вычисление определенных интегралов

  Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений.Позже в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без ограничения сумм Римана. Однако пока мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют площадь под кривой, и мы можем вычислять определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади. Мы делаем это, чтобы подтвердить, что определенные интегралы действительно представляют площади, поэтому мы можем обсудить, что делать в случае, когда кривая функции опускается ниже оси \ (x \).4_2 (2х + 3) \, dx \).

  Подсказка

  Постройте график функции \ (f (x) \) и вычислите площадь под функцией на интервале \ ([2,4]. \)

  Ответ

  18 кв. Единиц

  Площадь и определенный интеграл

  При определении определенного интеграла мы сняли требование неотрицательности \ (f (x) \). Но как мы интерпретируем «площадь под кривой», когда \ (f (x) \) отрицательно?

  Чистая подписанная площадь

  Вернемся к сумме Римана.∗ _i) Δx = (\ text {Площадь прямоугольников над} x \ text {-axis}) — (\ text {Площадь прямоугольников под} x \ text {-axis}) \ nonumber \]

  Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): для функции, которая частично отрицательна, сумма Римана — это площадь прямоугольников над осью \ (x \) за вычетом площади прямоугольников под \ (x \) -ось.

  Принимая предел как \ (n → ∞, \), сумма Римана приближается к площади между кривой над осью \ (x \) и осью \ (x \), за вычетом площади между кривой ниже \ (x \) — ось и \ (x \) — ось, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {3} \).nf (c_i) Δx = A_1 − A_2. \]

  Величина \ (A_1-A_2 \) называется чистой подписанной областью .

  Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): В пределе определенный интеграл равен площади \ (A_1 \) без площади \ (A_2 \) или чистой подписанной области.

  Обратите внимание, что чистая подписанная площадь может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если область над осью \ (x \) больше, чистая подписанная область положительна. Если область под осью \ (x \) больше, чистая подписанная область отрицательна. Если области выше и ниже оси \ (x \) равны, чистая область со знаком равна нулю.

  Пример \ (\ PageIndex {3} \): поиск чистой подписанной области

  Найдите чистую площадь со знаком между кривой функции \ (f (x) = 2x \) и осью \ (x \) на интервале \ ([- 3,3]. \)

  Раствор

  Функция создает прямую линию, которая образует два треугольника: один от \ (x = −3 \) до \ (x = 0 \), а другой от \ (x = 0 \) до \ (x = 3 \) ( Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)). Используя геометрическую формулу для площади треугольника \ (A = \ dfrac {1} {2} bh \), площадь треугольника \ (A_1 \) над осью равна

  .

  \ (A_1 = \ dfrac {1} {2} 3 (6) = 9 \),

  , где \ (3 \) — основание, а \ (2 (3) = 6 \) — высота.3 _ {- 3} 2x \, dx = A_1 − A_2 = 9−9 = 0. \)

  Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Площадь над кривой и под осью \ (x \) равна площади под кривой и над осью \ (x \).

  Анализ

  Если \ (A_1 \) — это площадь над осью \ (x \) — и \ (A_2 \) — это площадь ниже оси \ (x \) -, то чистая площадь равна \ (A_1 − A_2 \) . Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.

  Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

  Найдите чистую знаковую площадь \ (f (x) = x − 2 \) на интервале \ ([0,6] \), как показано на следующем рисунке.

  Подсказка

  Используйте метод решения, описанный в примере \ (\ PageIndex {3} \).

  Ответ

  6

  Общая площадь

  Одно из применений определенного интеграла — это нахождение смещения при заданной функции скорости. Если \ (v (t) \) представляет скорость объекта как функцию времени, тогда площадь под кривой сообщает нам, насколько далеко объект от своего исходного положения.Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно позже в этой главе. А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости.

  Когда скорость постоянна, площадь под кривой равна скорости, умноженной на время. Эта идея уже хорошо знакома. Если автомобиль удаляется от исходного положения по прямой со скоростью \ (70 \) миль в час в течение \ (2 \) часов, то он находится на расстоянии \ (140 \) миль от исходного положения (рис. \ (\ PageIndex {5} \)).2_0 70 \, dt = 140 \, \ text {миль}. \ nonumber \]

  Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Площадь под кривой \ (v (t) = 70 \) показывает, как далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.

  В контексте смещения, чистая подписанная площадь позволяет нам учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится в 120 милях к северу от своей начальной позиции. Если после этого автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение (рисунок \ (\ PageIndex {6} \)).5_2−40 \, dt = 120−120 = 0. \ Nonumber \]

  В этом случае смещение равно нулю.

  Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Площадь над осью и область под осью равны, поэтому чистая подписанная область равна нулю.

  Предположим, мы хотим знать, как далеко автомобиль проехал в целом, независимо от направления. В этом случае мы хотим знать площадь между кривой и осью \ (t \), независимо от того, находится эта область выше или ниже оси. Это называется общей площадью кв.

  С графической точки зрения проще всего рассчитать общую площадь, добавив области над осью и области под осью (вместо вычитания областей под осью, как мы это делали с чистой подписанной областью).5_240 \, dt = 120 + 120 = 240. \ Nonumber \]

  Формально объединяя эти идеи, мы даем следующие определения.

  Определение: Чистая подписанная площадь

  Пусть \ (f (x) \) — интегрируемая функция, определенная на интервале \ ([a, b] \). Пусть \ (A_1 \) представляет область между \ (f (x) \) и \ (x \) — осью, которая лежит над осью, и пусть \ (A_2 \) представляет область между \ (f (x) \ ) и \ (x \) — ось, лежащая ниже оси. b_af (x) \, dx = A_1 − A_2.b_a | f (x) | \, dx = A_1 + A_2. \]

  Пример \ (\ PageIndex {4} \): определение общей площади

  Найдите общую площадь между \ (f (x) = x − 2 \) и осью \ (x \) на интервале \ ([0,6]. \)

  Раствор

  Вычислить \ (x \) — точку пересечения как \ ((2,0) \) (установить \ (y = 0, \) решить для \ (x \)). Чтобы найти общую площадь, возьмите область ниже оси \ (x \) на подынтервале \ ([0,2] \) и добавьте ее к области над осью \ (x \) на подынтервале \ ( [2,6] \) (Рисунок \ (\ PageIndex {7} \)).2 \)

  Свойства определенного интеграла

  Свойства неопределенных интегралов применимы и к определенным интегралам. Определенные интегралы также имеют свойства, относящиеся к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим далее в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов.

  Правило: свойства определенного интеграла

  1. a_af (x) \, dx = 0 \ end {уравнение} \]

  Если пределы интегрирования одинаковы, интеграл представляет собой просто линию и не содержит области.2_1f (х) \, dx. \)

  Подсказка

  Используйте стратегию решения из примера \ (\ PageIndex {6} \) и правило свойств определенных интегралов.

  Ответ

  \ (- 7 \)

  Сравнительные свойства интегралов

  Иногда изображение может рассказать нам о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое понимание процесса интеграции.Интуитивно можно сказать, что если функция \ (f (x) \) находится над другой функцией \ (g (x) \), то область между \ (f (x) \) и \ (x \) — ось больше, чем область между \ (g (x) \) и \ (x \) — осью. Это верно в зависимости от интервала, в течение которого производится сравнение. Свойства определенных интегралов действительны независимо от того, \ (a b \). Однако следующие свойства относятся только к случаю \ (a≤b \) и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов.

  Теорема сравнения

  и.2} \) и \ (g (x) = \ sqrt {1 + x} \) на интервале \ ([0,1] \).

  Раствор

  Построение графиков этих функций необходимо, чтобы понять, как они сравниваются в интервале \ ([0,1]. \). Первоначально, при построении графика на графическом калькуляторе, \ (f (x) \) оказывается выше \ (g (x )\) везде. Однако на интервале \ ([0,1] \) графики кажутся поверх друг друга. Нам нужно увеличить масштаб, чтобы увидеть, что на интервале \ ([0,1], \, g (x) \) находится выше \ (f (x) \). Две функции пересекаются в точках \ (x = 0 \) и \ (x = 1 \) (рисунок \ (\ PageIndex {8} \)).1_0f (x) \, dx \) (Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)). Тонкая заштрихованная область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами в интервале \ ([0,1]. \)

  Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): (a) График показывает, что на интервале \ ([0,1], g (x) ≥f (x), \), где равенство выполняется только на концах интервал. (b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.

  Среднее значение функции

  Нам часто нужно найти среднее значение набора чисел, например, среднюю оценку за тест.Предположим, вы получили следующие результаты тестов в своем классе алгебры: 89, 90, 56, 78, 100 и 69. Ваша семестровая оценка — это ваше среднее значение результатов теста, и вы хотите знать, какую оценку ожидать. Мы можем найти среднее значение, сложив все оценки и разделив их на количество оценок. В этом случае есть шесть результатов теста. Таким образом,

  \ [\ dfrac {89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 69} {6} = \ dfrac {482} {6} ≈80,33. \ nonumber \]

  Таким образом, ваша средняя оценка за тест составляет примерно 80,33, что соответствует B- в большинстве школ.

  Однако предположим, что у нас есть функция \ (v (t) \), которая дает нам скорость объекта в любой момент времени \ (t \), и мы хотим найти среднюю скорость объекта. Функция \ (v (t) \) принимает бесконечное количество значений, поэтому мы не можем использовать только что описанный процесс. К счастью, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти среднее значение такой функции, как эта.

  Пусть \ (f (x) \) непрерывно на интервале \ ([a, b] \) и пусть \ ([a, b] \) разделен на n подинтервалов шириной \ (Δx = (b − a ) / п \).b_af (x) \, dx. \ label {averagevalue} \]

  Пример \ (\ PageIndex {8} \): поиск среднего значения линейной функции

  Найдите среднее значение \ (f (x) = x + 1 \) на интервале \ ([0,5]. \)

  Раствор

  Сначала постройте график функции на указанном интервале, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {10} \).

  Рисунок \ (\ PageIndex {10} \): График показывает площадь под функцией \ ((x) = x + 1 \) над \ ([0,5]. \)

  Область представляет собой трапецию, лежащую на ее стороны, поэтому мы можем использовать формулу площади для трапеции \ (A = \ dfrac {1} {2} h (a + b), \), где \ (h \) представляет высоту, а \ (a \) и \ (b \) представляют две параллельные стороны.5_0x + 1 \, dx = \ dfrac {1} {5} ⋅ \ dfrac {35} {2} = \ dfrac {7} {2} \).

  Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

  Найдите среднее значение \ (f (x) = 6−2x \) на интервале \ ([0,3]. \)

  Подсказка

  Используйте формулу среднего значения (Equation \ ref {averagevalue}) и используйте геометрию для вычисления интеграла.

  Ответ

  \ (3 \)

  Ключевые концепции

  • Определенный интеграл можно использовать для вычисления чистой подписанной площади, которая представляет собой площадь над осью \ (x \) за вычетом площади под осью \ (x \).Чистая подписанная площадь может быть положительной, отрицательной или нулевой.
  • Составными частями определенного интеграла являются подынтегральное выражение, переменная интегрирования и пределы интегрирования.
  • Непрерывные функции на отрезке интегрируемы. Функции, которые не являются непрерывными, могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов.
  • Свойства определенных интегралов можно использовать для вычисления интегралов.
  • Площадь под кривой многих функций может быть вычислена с использованием геометрических формул.b_cf (х) \, dx \)

    Глоссарий

    среднее значение функции

    (или \ (f_ {ave}) \) среднее значение функции на интервале можно найти, вычислив определенный интеграл функции и разделив это значение на длину интервала

    определенный интеграл

    первичная операция исчисления; площадь между кривой и осью \ (x \) на заданном интервале представляет собой определенный интеграл

    интегрируемая функция

    функция интегрируема, если существует предел, определяющий интеграл; другими словами, если предел сумм Римана при \ (n \) стремится к бесконечности, существует

    подынтегральное выражение

    функция справа от символа интегрирования; подынтегральное выражение включает интегрируемую функцию

    пределы интеграции

    эти значения появляются рядом с верхней и нижней частью знака интеграла и определяют интервал, в котором функция должна быть интегрирована

    чистая подписанная область

    область между функцией и осью \ (x \), такая, что область ниже оси \ (x \) вычитается из области над осью \ (x \); результат совпадает с определенным интегралом функции

    общая площадь

    общая площадь между функцией и осью \ (x \) вычисляется путем сложения площади над осью \ (x \) и площади под осью \ (x \); результат такой же, как и определенный интеграл от модуля функции

    переменная интегрирования

    указывает, по какой переменной вы интегрируете; если это \ (x \), то за функцией в подынтегральном выражении следует \ (dx \)

    Авторы и авторство

    • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.

      No related posts.