Учебно-методический материал по математике (6 класс) на тему: Контрольная работа по математике 6 клаасс тема Делимость
Контрольная работа № 2 6 класс
Тема: Делимость чисел
1 вариант
1. Какое из чисел 4, 6, 8 и 21 не является делителем числа 72?
1) 4 2) 6 3) 8 4) 21
2. Какое из чисел 2, 6, 24 и 50 является кратным числа 12?
1) 2 2)6 3)24 4) 50
3. Запишите все однозначные делители числа 24.
4. Запишите все двузначные числа кратные числу 15.
5. Выпишите из чисел 121333, 133050, 411148, 55554, 222229, 121116, 123123 числа:
1) кратные 2 2) кратные 5 3) кратные 9 4) кратные 3
6. Разложите число 546 на простые множители.
7. Найдите наибольший общий делитель чисел:
1) 36 и 63 2) 180 и 312 3)* 27, 72 и 108
8. Найдите наименьшее общее кратное чисел:
1) 6 и 24 2) 28 и 9 3)* 15, 20 и 24
9)* Докажите что числа 969 и 364 — взаимно простые.
10)** Найдите такое четырехзначное число, которое бы делилось на 9 и на 2. Обоснуйте почему.
Контрольная работа № 2 6 класс
Тема: Делимость чисел
2 вариант
1. Какое из чисел 2, 4, 6 и 34 не является делителем числа 68?
1) 2 2) 4 3) 6 4) 34
2. Какое из чисел 6, 12, 36 и 72 является кратным числа 72?
1) 6 2) 12 3) 36 4) 72
3. Запишите все однозначные делители числа 36.
4. Запишите все двузначные числа кратные числу 15.
5. Выпишите из чисел 7779, 15003, 10154, 10072, 99991, 3024, 414123 числа:
1) кратные 2 2) кратные 5 3) кратные 9 4) кратные 3
6. Разложите число 624 на простые множители.
7. Найдите наибольший общий делитель чисел
1) 24 и 24 2) 280 и 588 3)* 32, 96 и 112
8. Найдите наименьшее общее кратное чисел:
1) 12 и 22 2) 27 и 8 3)* 12, 20 и 36
9)* Докажите что числа 644 и 495 — взаимно простые.
10)** Найдите такое четырехзначное число, которое бы делилось и на 5 и на 3. Обоснуйте почему.
Контрольная работа № 2 6 класс
Тема: Делимость чисел
3 вариант
1. Какое из чисел 3, 8, 6 и 33 не является делителем числа 96?
1) 3 2) 8 3) 6 4) 33
2. Какое из чисел 5, 9, 15 и 90 является кратным числа 45?
1) 5 2) 9 3) 15 4) 90
3. Запишите все однозначные делители числа 48.
4. Запишите все двузначные числа кратные числу 14.
5. Выпишите из чисел 121334, 233055, 411048, 44448, 22339, 121115, 223223 числа:
1) кратные 2 2) кратные 5 3) кратные 9 4) кратные 3
6. Разложите число 510 на простые множители.
7. Найдите наибольший общий делитель чисел
1) 18 и 72 2) 2168 и 784 3)* 36, 72 и 90
8. Найдите наименьшее общее кратное чисел:
1) 15 и 20 2) 8 и 35 3)* 10, 16 и 20
9)* Докажите что числа 6715 и 4567 — взаимно простые.
10)** Найдите такое четырехзначное число, которое бы делилось на 5 и на 9. Обоснуйте почему.
Контрольная работа № 1 (6 класс) по теме: «Делимость натуральных чисел»
Контрольная работа №1
1 вариант
Из чисел 288, 585, 974 и 3123, выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 9.
Разложите число 2280 на простые множители.
3. Найдите наибольший общий делитель чисел:
1) 72 и 120;
2) 924 и 396.
4. Найдите наименьшее общее кратное чисел;
1) 8 и 12;
2) 24 и 36;
3) 320 и 720.
5. Докажите, что числа 364 и 495 — взаимно простые.
6. Вместо звездочки в записи 234* поставьте такую цифру, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи).
7. Маша собирала в лесу грибы. Их можно разложить поровну в 12 пакетов, а можно, тоже поровну, — в 9 пакетов. Сколько Маша собрала грибов, если известно, что их больше 70, но меньше 90.
2 вариант
Из чисел 378, 675, 855 и 2124, выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 5; 2) на 9.
Разложите число 2772 на простые множители.
Найдите наибольший общий делитель чисел:
1) 42 и 105;
2) 680 и 612.
Найдите наименьшее общее кратное чисел;
1) 6 и 9;
2) 18 и 24;
3) 252 и 840.
Докажите, что числа 945 и 572 — взаимно простые.
Витя купил конфеты. Их можно раздать поровну 8-ми друзьям, а можно, тоже поровну, — 12-ти друзьям. Сколько Витя купил конфет, если известно, что их больше 80, но меньше 100.
«Свойства и признаки делимости. Делители и кратные»
Контрольная работа №1
по теме «Свойства и признаки делимости. Делители и кратные»
Вариант 1
1. Из чисел 387, 756, 829, 2 148 выпишите те, которые делятся нацело:
1) на 2; 2) на 9.
2. Разложите число 756 на простые множители.
3. Найдите наибольший общий делитель чисел:
1) 24 и 54; 2) 72 и 264.
4. Найдите наименьшее общее кратное чисел:
1) 16 и 32; 2) 15 и 8; 3) 16 и 12.
5. Докажите, что числа 272 и 1 365 – взаимно простые.
6. Вместо звёздочки в записи 1 52* поставьте цифры так, чтобы полученное число было кратным 3 (рассмотрите все возможные случаи).
7. Петя расставил книги поровну на 12 полках, а потом переставил их, тоже поровну, на 8 полок. Сколько книг было у Пети, если известно, что их было больше 100, но меньше 140?
Вариант 2
1. Из чисел 405, 972, 865, 2 394 выпишите те, которые делятся нацело:
1) на 5; 2) на 9.
2. Разложите число 1 176 на простые множители.
3. Найдите наибольший общий делитель чисел:
1) 27 и 36; 2) 168 и 252.
4. Найдите наименьшее общее кратное чисел:
1) 11 и 33; 2) 9 и 10; 3) 18 и 12.
5. Докажите, что числа 297 и 304 – взаимно простые.
6. Вместо звёздочки в записи 1 99* поставьте цифры так, чтобы полученное число было кратным 3 (рассмотрите все возможные случаи).
7. Собранный урожай яблок фермер может разложить поровну в корзины по 12 кг или в ящики по 15 кг. Сколько килограммов яблок собрал фермер, если известно, что их было больше 150 кг, но меньше 200 кг?
Система оценивания контрольной работы
Решение и верный ответ
1)756,21482)387,756
1)405,865
2)405,972,2394
2
756=2*2*3*3*3*7
1176=2*2*2*3*7*7
3
1)6
2)24
2)84
4
1)32
2)120
3)48
1)33
2)90
3)36
5
272=2*2*2*2*17
1356=5*3*7*13
297=3*3*3*11
304=2*2*2*2*19
6
1521,1524,1527
1992,19995,1998
7
120
180
Критерии оценивания заданий
- 2- если указаны все возможные цифры
В остальных случаях
7
2-Задача решена вернои записан правильный ответ
Верный ход решения, но допущена одна не грубая ошибка
Итого:
11,5
Шкала перевода баллов в оценку
«5»
«4»
«3»
«2»
Кол-во баллов
11,5-9,5 баллов
9-6 баллов
5,5-3,5 баллов
менее 3,5 баллов
Требования (умения), проверяемые заданиями
Номер заданияПроверяемые умения
1
Использовать признаки делимости на 2,3,5,9,10 в простейших ситуациях, при выполнений вычислений и решении несложных задач
2
Использовать признаки делимости при выполнении вычислении, умние раскладывать числа на простые множители
3
Находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении задач
4
Находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении задач
5
Умение определять взаимнопростые числа
6
Использовать признаки делимости при выполнении , решении несложных задач
7
Использовать НОД и Нок чисел при решении задач, интерпритировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задач
1. Из чисел 387, 756, 829, 2 148 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 9. 2. Разложите число 756 на простые множители. 3. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 24 и 54; 2) 72 и 264. 4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 16 и 32; 2) 15 и 8; 3) 16 и 12. 5. Докажите, что числа 272 и 1 365 – взаимно простые. 6. Вместо звёздочки в записи 1 52* поставьте цифры так, чтобы полученное число было кратным 3 (рассмотрите все возможные случаи). 7. Петя расставил книги поровну на 12 полках, а потом переставил их, тоже поровну, на 8 полок. Сколько книг было у Пети, если известно, что их было больше 100, но меньше 140? 8. Разложите на простые множители число 4104. | 1. Из чисел 405, 972, 865, 2 394 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 5; 2) на 9. 2. Разложите число 1 176 на простые множители. 3. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 27 и 36; 2) 168 и 252. 4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 11 и 33; 2) 9 и 10; 3) 18 и 12. 5. Докажите, что числа 297 и 304 – взаимно простые. 6. Вместо звёздочки в записи 1 99* поставьте цифры так, чтобы полученное число было кратным 3 (рассмотрите все возможные случаи). 7. Собранный урожай яблок фермер может разложить поровну в корзины по 12 кг или в ящики по 15 кг. Сколько килограммов яблок собрал фермер, если известно, что их было больше 150 кг, но меньше 200 кг? 8. Разложите на простые множители число 5544. | 1. Из чисел 387, 756, 829, 2 148 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 9. 2. Разложите число 756 на простые множители. 3. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 24 и 54; 2) 72 и 264. 4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 16 и 32; 2) 15 и 8; 3) 16 и 12. 5. Докажите, что числа 272 и 1 365 – взаимно простые. 6. Вместо звёздочки в записи 1 52* поставьте цифры так, чтобы полученное число было кратным 3 (рассмотрите все возможные случаи). 7. Петя расставил книги поровну на 12 полках, а потом переставил их, тоже поровну, на 8 полок. Сколько книг было у Пети, если известно, что их было больше 100, но меньше 140? 8. Разложите на простые множители число 4104. | 1. Из чисел 405, 972, 865, 2 394 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 5; 2) на 9. 2. Разложите число 1 176 на простые множители. 3. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 27 и 36; 2) 168 и 252. 4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 11 и 33; 2) 9 и 10; 3) 18 и 12. 5. Докажите, что числа 297 и 304 – взаимно простые. 6. Вместо звёздочки в записи 1 99* поставьте цифры так, чтобы полученное число было кратным 3 (рассмотрите все возможные случаи). 7. Собранный урожай яблок фермер может разложить поровну в корзины по 12 кг или в ящики по 15 кг. Сколько килограммов яблок собрал фермер, если известно, что их было больше 150 кг, но меньше 200 кг? 8. Разложите на простые множители число 5544. |
Тест по математике (6 класс): тест по математике в 6 классе по теме «делимость чисел»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Булыкская СОШ»
«Использование тестовых технологий на уроке математики»
Каждый старшеклассник на сегодняшний день сталкивается с необходимостью сдачи экзаменов в форме ЕГЭ с использованием технологии централизованного тестирования. Для этого требуется тщательная и плодотворная подготовка всех участников образовательного процесса.
Тестирование не может полностью заменить обычные формы проверки знаний. Но основное их достоинство – это простота и скорость, а также то, что тесты воспринимаются большинством учащихся как своеобразная игра. Тем самым снимается страх, стресс и т.д.. использование тестовых заданий на уроках математики предполагает:
- Более рационально использовать время урока;
- Охватить большой объем содержания;
- Быстро установить обратную связь с учащимися и определить результаты усвоения материала;
- Сосредоточить внимание на пробелах в знаниях и умениях, и внести в них коррективы;
- Такая проверка дисциплинирует учащихся, индивидуализирует работу с учащимися;
- Саморазвивает учащихся, повышает интерес к предмету.
Тестовые задания должны быть краткими и прочитав их, ученик должен сразу определить, знает он ответ, или нет. Надо стремиться к тому, чтобы на обдумывание одного задания затрачивалось не более двух минут.
Суть каждого тестового задания должна отражать только данный предмет.важно учитывать значимость материала, его научную достоверность, соответствие содержания теста уровню современного понимания мира.
Тесты по теме «Делимость чисел» в 6 классе.
Пояснительная записка.
Содержание тестовых заданий предусматривает воспроизведение, применение, понимание учебного материала. Тестовая форма ориентирует на нетрудоемкие задания и не требует от учащихся записей действий или рассуждений,, ведущих к ответу. Она позволяет сократить время на проведение работы и на проверку учителем, а также расширить тематику заданий. Важно отметить, что традиционные контрольные и самостоятельные работы не отвергаются, так как имеют свои положительные особенности, основная из которых – возможно проверить ход решения задачи, рассуждения учащегося.
Методические рекомендации:
Данный набор тестов состоит из трех видов заданий, различающихся по форме и способу предъявления их учащимися.
В заданиях первого типа вида (Т-1) требуется установить пропущенный текст – слова, выражения, числа, знаки сравнения, которые заменены многоточием, при этом должно получиться истинное утверждение или правильная формулировка определения, правила. Учащиеся в качестве «ответов» записывают то, что по их мнению восполняет пропущенное.
Тестовые задания второго вида (Т-2) предлагают набор истинных и ложных утверждений; учащиеся должны установить, какие из них истинны, какие ложны, и заполнить «таблицу результатов», отмечая «1» верные утверждения, «0» — неверные:
Утверждение | 1-е | 2-е | 3-е | 4-е | И т.д. |
Верно-неверно | 1 | 0 | 0 | 1 |
Тестовые задания третьего вида (Т-3) – это тесты с выбором правильного ответа из числа предложенных. Если нет специальных указаний об особенностях теста, то среди ответов для выбора имеется один (и только один) верный, что должно быть известно школьникам заранее. Вообще можно применять тесты с выбором ответа, в которых среди ответов нет верных, о чем учащиеся, выполняющие тест, становятся в известность. Для фиксации результатов выбора ответов целесообразно использовать так называемые «перфокарты»:
Класс _______ | Фамилия, имя _______________ | |||
Задание | Вариант ответа | |||
а | б | в | г | |
1 | * | |||
2 | * | |||
3 | * | |||
4 | * | |||
И т.д. | ||||
Ответ, который учащиеся считают верным, он отмечает знаком «*» против верного номера.
Последний пункт «г» рекомендуется использовать для записи ответов, отсутствующих среди предложенных для выбора. Если тесты первого и второго видов рассчитаны на устное выполнение задания, то тест с выбором ответов не исключает заданий, требующих письменных действий на черновиках.
Различия применяемых видов тестов связаны с характером деятельности по выполнению заданий, отражающих важные проявления результатов обучения. Первый вид тестов направлен на воспроизведение и непосредственное применение определений терминов, свойств; второй вид требует анализа утверждений, составляющих основу логической структуры курса; третий вид предусматривает применение учебного материала для решения практических и теоретических задач. Кроме того тест с выбором ответов связан с деятельностью в ситуации выбора приемлемого и отклонения неприемлемого, с чем каждый человек встречается на каждом шагу. Таким образом, предлагаемые тесты способствуют развитию умственной деятельности на математическом материале.
Данные проверочные работы предполагают в наличии задания различного уровня, каждому школьнику предоставляется возможность проявить сполна свою математическую подготовку от минимально- обязательной до высокой.
Время, отводимое на выполнение теста, устанавливается самим учителем, но при занижении темпа работы усиливается нарушение порядка со стороны учащихся (подсказки, списывание). Работа по выполнению тестов требует от учащихся определенного напряжения, на это обычно отводиться 15-3- минут. Тест с выбором ответов можно проводить как обычная контрольная работа, когда никаких ответов не дается.
Перед работой по тестам Т-2 и Т-3 учащимся сообщается следующая установка: если при рассмотрении заданий какое-либо из них вызывает затруднения, то это задание можно пропустить и перейти к следующему; порядок выполнения заданий не учитывается. Текст с заданиями по тесту заканчивается оценочной таблицей. (это нужно только учителю)
Т-1
Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение или правильная формулировка определения, правила.
Вариант 1
- Остаток от деления 1000 на 11 равен______________________________________________________
- Делителем натурального числа n называют натуральное число______________________________________________________
- Числа 24; 12; 10 кратны числу ____________________________________________________________
- Наименьшим кратным любого натурального числа является ____________________________________________________________
- Если натуральное число кратно 2, то следующее за ним в натуральном ряду число_____________________________________________________________________________________________________________________
- Четное число, кратное 5, оканчивается цифрой______________________________________________________
- Чтобы запись 4**258 стала числом, кратным 3, достаточно вместо «*» поставить цифры_____________________________________________
- Натуральное число ___________________________________________ __________________________________________называется простым.
- Три числа 2; 5; и ______________________________ взаимно простые.
- Наименьшее общее кратное двух чисел не меньше ____________________________________________________________
- Если знаменатель обыкновенной дроби является делителем числителя, то эта дробь представляет собой _______________________________________________________ число.
- Сумма нескольких натуральных чисел _____________________________________________________________среднему арифметическому этих чисел, если оно является натуральным числом.
- Наибольший общий делитель чисел 124; 120 равен ____________________________________________________________
- Сумма двух простых чисел, каждое из которых больше двух, всегда ____________________________________________________________.
Оценочная таблица.
№ задания | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
Балл | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 |
Т-1
Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение или правильная формулировка определения, правила.
Вариант 2
- Неполное частное от деления 1233 на 12 равно __________________________________________________________
- Натуральное число, которое делится без остатка на натуральное число m , называют _________________________________________________
- Если множители разложений двух натуральных чисел на простые множители одинаковы, то _____________________________________________________________
- Натуральное число делится без остатка на 10, если _____________________________________________________________
- Наименьшее из чисел, кратное 3 и не делящееся на 5, равно________________________________________________________
- Наименьшее общее кратное чисел 13; 15; 10 равно _____________________________________________________________
- Нечетное число, кратное 5 , оканчивается цифрой______________________________________________________
- Натуральное число _____________________________________________________________называется составным.
- Натуральные числа 22; 15; 8; 10 являются _____________________________________________________________
- Общим делителем чисел 12; 20; 36 являются числа ______________________________________________________________(перечислить все)
- Наименьшим числом, делителями которого служат числа 5; 15; 45; является число _____________________________________________
- Число делителей 30 равно ___________________________________________________________
- Наибольший общий делитель 16 и 20 служит ____________________________________________________________
- Если различные числа имеют общие делители, то наименьшее общее кратное (больше, меньше, равно)_________________________________________________________произведения этих чисел.
Оценочная таблица.
№ задания | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
Балл | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 |
Контрольная работа по математике Признаки делимости на 3, 9 6 класс
Контрольная работа по математике Признаки делимости на 3, 9 6 класс. Контрольная работа состоит из 2 вариантов, в каждом варианте по 7 заданий.
1 вариант
Часть 1
1. Какое из данных чисел делится на 3?
1) 2653
2) 9486
3) 7085
4) 6833
2. Какое из данных чисел делится и на 5, и на 9?
1) 4290
2) 5429
3) 6875
4) 8325
3. Букет составлен из 9 одинаковых роз. Какую цену (в рублях) не могли заплатить за этот букет?
1) 523
2) 504
3) 567
4) 441
4. При каком значении а значение выражения 168 + а кратно 3?
1) 353
2) 596
3) 734
4) 282
Часть 2
5. В числе 5*9* замените * двумя одинаковыми цифрами так, чтобы получившееся число делилось и на 9, и на 2. Запишите полученное число.
6. Найдите сумму всех чисел, кратных 9, удовлетворяющих неравенству 275 < х < 324.
7. Запишите все трехзначные числа, кратные 2, сумма цифр которых равна 24.
2 вариант
Часть 1
1. Какое из данных чисел делится на 3?
1) 8203
2) 9617
3) 6741
4) 2768
2. Какое из данных чисел делится и на 5, и на 9?
1) 5160
2) 1739
3) 4835
4) 9135
3. Букет составлен из 9 одинаковых хризантем. Какую цену (в рублях) не могли заплатить за этот букет?
1) 324
2) 337
3) 387
4) 414
4. При каком значении а значение выражения 258 + а кратно 3?
1) 764
2) 138
3) 493
4) 265
Часть 2
5. В числе 3*7* замените * двумя одинаковыми цифрами так, чтобы получившееся число делилось и на 9, и на 2. Запишите полученное число.
6. Найдите сумму всех чисел, кратных 9, удовлетворяющих неравенству 385 < х < 432.
7. Запишите все трехзначные числа, кратные 2, сумма цифр которых равна 3.
Ответы на контрольную работу по математике Признаки делимости на 3, 9 6 класс
1 вариант
1-2
2-4
3-1
4-4
5. 5292
6. 1485
7. 888, 978, 798, 996
2 вариант
1-3
2-4
3-2
4-2
5. 3474
6. 2025
7. 300, 210, 120, 102
Методическая разработка по алгебре (6 класс) по теме: Тест по теме «Признаки делимости» по математике, 6 класс (с ключами)
Вариант II
1. Для того, чтобы определить делимость числа на 5 или 10:
а) нужно сложить все цифры в записи числа и разделить полученную сумму на 5 или 10 соответственно;
б) нужно посмотреть на последнюю цифру записи числа, если это 0 или 5, то число делится на 5, если это 0, то число делится на 10;
в) нужно разделить число на 5 или 10 соответственно;
г) среди вариантов ответа нет правильного.
2. Среди чисел 9 018; 3 125; 4 554; 673 212 найти то (или те), которое (или которые) делятся на 3:
а) 9 018; 3 125; 4 554; б) 3 125; в) 4 554; 673 212; 9 018; г) 673 212; 9 018.
3. Мама купила для Васи канцелярские принадлежности. Весь товар продавец рассортировала в пакеты по 9 предметов в каждом. Может ли общее число предметов покупки быть равным 28; 54; 72?
а) может быть равно 72; в) может быть равно 28;
б) может быть равно 54 и 72; г) нет верного ответа.
4. В школу привезли новые учебники. Мальчики помогли перенести их в библиотеку, беря каждый раз по 10 штук. Сколько учебников могли привезти в школу?
а) 45; б) 63; в) 39; г) нет верного ответа.
5. Какие цифры можно подставить в число 9 013 61* вместо *, чтобы полученное число делилось на 5?
а) 5; б) 0; 5; в) 1; 4; 7 г) нет верного ответа.
6. Среди представленных выражений выберите верное выражение:
а) 9 912 кратно 2 и 3; в) 5 – делитель числа 2 218;
б) 8 225 делится на 10; г) 9 003 123 не кратно 3.
7*. Сформулируйте признак делимости на 15. Проверьте правильность его составления на трех примерах.
Тесты на делимость
Кратное 2 и 5
Самые простые тесты делимости — для 2 и 5 долларов. Число делится на 2 доллара, если его последняя цифра четная, на 5 долларов, если последняя цифра цифра — 0 или 5 долларов.
(В этой статье «число» всегда будет означать «положительное целое» число ‘)
Эти тесты относятся к «цифрам» в (обычной) базе 10 долларов США. представление числа, так что (например) $ 2645 $ представляет собой число $ (5 \ times 1) + (4 \ times 10) + (6 \ times 100) + (2 \ раз 1000) $.Тесты на 2 и 5 долларов работают, потому что остальная часть числа (кроме последней цифры) кратна 10, и поэтому всегда делится на 2 доллара и 5 долларов. Если последняя цифра — это кратно 2 $ (или 5 $), тогда должно быть целое число.
Кратное 4 и 8
Поскольку 100 долларов, 1000 долларов и т. Д. Кратны 4 долларам, отсюда следует
(как для $ 2 $), что число делится на $ 4 $, если число
представленные двумя последними цифрами, кратны 4 долларам.
Пример: 3728 долларов делятся на 4 доллара, потому что 28 долларов делятся.
Силы в 10 долларов, начиная с 1000 долларов, делятся на 8 долларов, поэтому
из этого следует, что число делится на 8 $, если число
представленный его последними тремя цифрами, кратен 8 $.
Пример: 3728 долларов делятся на 8 долларов, потому что 728 долларов делятся.
Примечание: если считаете, что вам нужен калькулятор чтобы решить, делится ли (например) 728 на 8, тогда он будет поможет вам выучить 8-кратную таблицу и попрактиковаться в некоторых делениях который вы можете проверить на своем калькуляторе, пока не убедитесь, что вы можете разделить на 8, и калькулятор не нужен.
Кратное 3 и 9
Несколько более сложная версия такого рассуждения дает повод к тесту на делимость на 3 $.
Теперь $ 10 $ равняется $ (3 \ times 3) + 1 $, поэтому (например) $ 50 $ равняется $ (15 \ times 3) + 5 $. Чтобы решить, делится ли 57 на 3 доллара, мы можем взять лоты по 15 долларов из 3 долларов в 57 долларов и просто проверьте, $ 5 + 7 $ делится на $ 3 $: так оно и есть, поскольку $ 5 + 7 = 12 $.
Другими словами, мы считаем, что 57 долларов = (кратно $ 3) + (5 + 7) $.
Следовательно, 57 $ кратно 3 $ тогда и только тогда, когда 12 $.
Для $ 257 $ 100 $ равны $ (33 \ times 3) + 1 $, поэтому 200 долларов = (66 \ раз 3) + 2 доллара. Мы смотрели на 57 $ выше.
Следовательно, 257 долларов = (кратное 3 долларам) + (2 + 5 + 7) долларов.
Еще раз, 257 долларов делятся на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифры кратны 3 долларам США.
На самом деле, эта сумма составляет 14 долларов, что кратно 3 долларам, если и только если есть $ 1 + 4 $.
Поскольку 5 долларов не делятся на 3 доллара, то и 257 долларов тоже не делятся.
В общем, 10 долларов = 9 + 1 доллар, 100 долларов = 99 + 1 доллар, 1000 долларов = 999 + 1 доллар и так далее:
каждая «мощность» 10 долларов (например, 10 долларов, 100 долларов, 1000 долларов, 10000 долларов и т. on) всего на 1 доллар больше, чем кратное 3 долларам, поэтому метод для делимость может применяться к числу с любым количеством цифры.
Пример: $ 1997 $ делится на 3 доллара?
Теперь $ 1 + 9 + 9 + 7 = 26 $, а $ 2 + 6 = 8 $, что не делится на 3 $.
Следовательно, 1997 $ не делится на 3 $.
Примечание: в этом примере мы добавили цифры 1997 $, затем мы добавили цифры ответ и так далее, пока мы не пришли к ответу с одним цифра, которую иногда называют «цифровым корнем» исходного числа.Таким образом, мы можем сказать, что число делится на 3 доллара, если и только если его цифровой корень стоит 3, 6 или 9 долларов.
Поскольку 10 долларов = 9 + 1 доллар, 100 долларов = 99 + 1 доллар, 1000 долларов = 999 + 1 доллар и так далее, мы можем видеть что каждая степень 10 долларов всего на 1 доллар больше, чем кратное 9 долларам, и поэтому метод делимости на 3 доллара фактически переходит в 9 долларов. тоже: число делится на 9 долларов тогда и только тогда, когда его цифровой корень составляет 9 долларов.
Кратное 6 и 12
Число делится на 6 долларов тогда и только тогда, когда оно делится на и 2 доллара, и 3 доллара.
Это вовсе не очевидно: это правда, потому что $ 2 \ times 3 = 6 $ и потому что 2 и 3 взаимно просты, т.е. у них нет общего делителя (кроме $ 1 $).
Пример: 1638 $ четное, а его цифровой корень равен 9 $. Следовательно это кратно 6 $.
Точно так же число делится на 12 долларов тогда и только тогда, когда оно делится как на $ 3 $, так и на $ 4 $ — потому что $ 3 \ times 4 = 12 $, а $ 3 $ и $ 4 $ взаимно просты.
Кратное 11
Тест на 11 долларов представляет собой модифицированную версию теста на 3 доллара и 9 $.
Принимая во внимание, что каждая степень в 10 долларов на 1 доллар больше, чем кратное 3 долларам. (или 9 долларов), при кратных 11 долларах возникает чередующаяся картина. То есть 10 долларов на 1 доллар меньше, чем 11 долларов, 100 долларов на 1 доллар больше, чем $ 9 \ times 11 $, $ 1000 $ на 1 $ меньше, чем $ 91 \ times 11 $, $ 10000 $ равно 1 $ больше 909 $ \ раз 11 $ и тд. Если мы напишем `$ m11 $ ‘как сокращение от «кратного 11 $», мы видим, что нечетные степени 10 $ равны $ m11-1 $, а даже степени $ 10 $ равны $ m11 + 1 $.
Пример:
Делится ли 54637 долларов на 11 долларов?
Решение: Начните с цифры единиц и работайте ‘left’:
$ 54637 = 7 + 3 \ times (m11-1) +6 \ times (m11 + 1) +4 \ times (m11-1) +5 \ times (m11 + 1) $,
, что равняется $ m11 + (7-3 + 6-4 + 5) $ или $ m11 + 11 $.{10} -7 = 282475242 $, чей переменный цифровой корень 2-4 $ + 2-5 + 7-4 + 2-8 + 2 = -6 $. Наше число на 6 долларов меньше, чем кратное $ 11 $, поэтому, если мы разделим его на $ 11 $, остаток будет $ 5 $.
Число делится на 11 долларов, если его чередующийся цифровой корень равен 0 долларов США или 11 долларов США (или любое другое число, кратное 11 долларам США).
INTERLUDE: арифметика остатка
См. Также статью Модульные Арифметика.Какова последняя цифра 34 $ \ умножить на 57 $?
Не производя полного умножения, мы знаем, что это должно быть 8 долларов, потому что $ 8 $ — последняя цифра в $ 4 \ умножить на 7 $.
Но откуда мы знаем?
Потому что $ 34 \ times 57 = (30 \ times 57) + (4 \ times 57) = m10 + (4 \ times 50) + (4 \ times 7) = m10 + 200 + 8 = m10 + 8 $.
В этом примере «последняя цифра» означает «остаток от деления на $ 10 $ ‘. Чтобы найти остаток в произведении (34 и 57 долларов), мы нужно только найти произведение остатков (4 доллара и 7 долларов). Эта правило работает, по сути, по той же причине, для остатков, когда мы разделить на числа, отличные от 10 $.
Когда-то школьников учили особому случаю это называется «изгнанием девяток».Предположим, например, я тренируюсь 256 $ \ умножить на 77 $ долгим умножением, и я получаю ответ 19612 $. Остаток, когда я делю 256 долларов и 77 долларов на 9 долларов, составляет их цифровые корни: 4 доллара и 5 долларов соответственно. Товар от 4 $ и 5 долларов — это 20 долларов, с цифровым корнем (остаток) 2 доллара. Мой ответ $ 19612 $ также должен иметь цифровой корень в $ 2 $; на самом деле у него есть цифровой корень в 1 доллар, так что я, должно быть, ошибся в своем длинном умножение!
Осторожно: выброс девяток может обнаружить неправильный ответ (как указано выше), но он не может гарантировать правильный ответ.За Например, $ 19721 $ имеет цифровой корень $ 2 $, но «тест последней цифры» (что можно было бы назвать изгнанием десятков) показывает, что это не может быть ответ на 256 $ \ умножить на 77 $.
[Обращение к остаткам — суть «модульной арифметики». Гений К. Ф. Гаусс впервые официально описал это в своей 1801 г. книга Disquitiones Arithmeticae, которую он опубликовал в возрасте из 24].
, кратное 7
Тест на делимость на 7 долларов (или любое другое число, в принципе) может можно разработать с использованием арифметики остатка следующим образом.3 = (m7 + 3) (m7 + 2) = m7 + 6 $]
$ 10000 = m7-1 \ times 3 = m7-3 $ и так далее.
Пример:
Чтобы показать, что 18956 долларов делятся на 7 долларов.
Работая справа налево,
$ 18956 = m7 + [6+ (5 \ times 3) + (9 \ times 2) — (8 \ times 1) — (1 \ times
3)] = $
$ = m7 + 28 = m7 + 4 \ times 7 $
Число `$ a b c d e $ ‘делится на $ 7 $, если $ e + 3d + 2c-b-3a $ равно
делится на 7 $.
Не очень-то легко запомнить!
[Этот метод, использующий «арифметику остатков», может быть адаптирован для любых делитель.n = m11-1 $ для нечетных степеней $ n $ и $ m11 + 1 $ для четных степеней $ n $.
Тест на 13 долларов будет использовать тот факт, что 10 долларов = m13-3 $, и связывать степень $ -3 $ с каждой цифрой.]
Т.Р. Мукундан написал нам о другом тесте на делимость на 7 долларов, о которых он подумал. Увидеть примечания для деталей.
Специальные тесты
Проявив некоторую изобретательность, для некоторых целые числа, например:
- 7: «Удвойте единицы и вычтите из время.г. $ 1365 \ rightarrow 136- (2 \ раз 5) = 126 \ rightarrow 12- (2 \ раз 6) = 0 $. Если цепочка заканчивается на 0 долларов США или кратном 7 долларам, то исходное число делится на 7 $.
- 11: «Вычтите единицы из десятков», например
$ 1364 \ rightarrow 136-4 $ и т. Д.
Если цепочка заканчивается на $ 0 $, то исходное число делится на 11 $. - 13: «Добавьте десятки к 4 долларам, умноженным на единицы»,
например $ 1365 \ rightarrow 136 + 20 $ и т. Д.
Если цепочка заканчивается кратным 13 $, то исходное число делится на 13 $. - 19: «Добавьте сотни долларов к 4 долларам, умноженным на остаток»,
например $ 1311 \ rightarrow 13 + 44 $ и т. Д.
Если цепочка заканчивается кратным 19 $, то исходное число делится на 19 $.
Вы можете объяснить, почему каждый из этих четырех тестов работает?
По счастливому «совпадению» 1001 доллар — это произведение 7 долларов, 11 долларов и 13 $. Этот факт лежит в основе другого теста на делимость этих три простых числа: см. запись «1001» в книге Дэвида Уэллса » увлекательная книга «Пингвинский словарь любопытного и интересного» Цифры ».
Составные числа
Предположим, что $ m $ составное (т.е. не простое число) и $ m = a b $, где $ a $, $ b $ взаимно просты.
Как отмечалось выше (для $ 6 $, $ 12 $), $ N $ делится на $ m $, если $ N $ делится как на $ a $, так и на $ b $. Это можно расширить до записывая $ N $ как произведение более чем двух факторов, как в следующее:
Пример:
Покажите, что 351 доллар 648 долларов 792 доллара делятся на 396 долларов.
$ 396 = 4 \ times 9 \ times 11 $, и каждая пара этих множителей $ 4 $, $ 9 $, $ 11 $ взаимно просты.
Применение каждого из тестов для 4, 9 и 11 долларов показывает, что 351 доллар
$ 648 $ 792 $ делится на каждый из этих трех факторов, и
следовательно на $ 396 $.
Окончательная задача: Если цифры 5 $, 6 $, 7 $ и $ 8 $ вставляются случайным образом в $ 3 $ _ $ 1 $ _ $ 4 $ _ $ 0 $ _ $ 92 $ (по одному в каждом пробел), какова вероятность того, что созданное число будет кратно 396 долларам?
.
Правила математического деления чисел 1
Как узнать, делится ли число в точности на другое число? Выполняя расчет деления? Нет, вы не можете сделать это для каждого числа. Вот почему нам нужно следовать правилам математического деления . Они полезны для решения вопросов о делимости. Эти правила также полезны для проверки того, является ли число простым. Предположим, вы хотите найти 45647845631214566461 под числами, которые делятся на 3 или нет.Вы не можете выполнить расчет деления, потому что это занимает много времени. Вот где вам нужны правила делимости. Эти правила облегчают ваше разделение. Здесь объясняются правила деления для разных чисел с примерами для каждого правила делимости, а в конце также включены общие правила деления на любое число.Содержание
1. Что означает делимость
2. Правила делимости для чисел 1 — 20
3.Обобщенные правила деления
Что означает делимость
« Делится на » означает, что когда вы делите одно число на другое, результатом должно быть целое число с нулевым остатком.
6/3 = 2; 6 делится на 3, потому что результат 2 — целое число, а остаток равен 0.
7/3 = 2.33; 7 не делится на 3, потому что результат 2,33 не является целым числом, а остаток равен 1.
Co Простые числа: H.C.F. из двух чисел в одном наборе должно быть 1.
Пример: (2,3), (4,5), (6,7), (11,15)
> Если число N делится на два числа a и b, где a, b — простые числа , то N делится на ab.
Пример:
24 делится на 2 и 3, где 2,3 являются копростыми числами, тогда 24 делится на 6.
36 делится на 2, 4, где 2, 4 не являются копростыми числами, поэтому 36 равно не делится на 8.
Если число N делится на другое число M, то N также делится на множители M.
Пример:
72 делится на 12, 72 также делится на 2, 3, 4, 6.потому что 2, 3, 4, 6 — множители 12.
Если число N делится на простые множители M, то N также делится на M.
Пример:
63 делится на 3 и 7, 63 также делится на 21, потому что 3 и 7 простые множители 21.
Правила делимости для чисел 1 — 20
Правило делимости для 1
Каждое целое число делится на 1, поэтому никаких правил не требуется.
Пример: 3 делится на 1, 4573842 делится на 1.
Правило делимости для 2
Последняя цифра должна быть четным числом, т.е. 0, 2, 4, 6, 8.
Пример: 3456 делится на 2 -> последняя цифра, т.е. 6 — четное число.
343423 не делится на 2 -> последняя цифра 3 не является четным числом.
Все четные числа делятся на 2
Правило делимости для 3
Сумма цифр в данном числе должна делиться на 3. Это простой способ найти числа, делящиеся на 3.
Пример: 3789 делится на 3 -> сумма 3 + 7 + 8 + 9 = 27 делится на 3.
43266737 не делится на 3 -> сумма 4 + 3 + 2 + 6 + 6 + 7 + 3 +7 = 38 не делится на 3.
Делится на 4 правило
Число, образованное двумя последними цифрами данного числа, должно делиться на 4.
Пример: 23746228 делится на 4 -> 28 делится на 4.
674235642 не делится на 4 -> 42 не делится на 4.
Правила делимости для 5
Последняя цифра должна быть 0 или 5.
Пример: 42340 делится на 5 -> 0 — последняя цифра.
675564 не делится на 5 -> 4 — последняя цифра.
Делимость на 6
Число должно делиться на 2 и 3. Поскольку 2 и 3 — простые множители 6.
Пример: 7563894 делится на 6 -> последняя цифра 4, поэтому делится на 2, и сумма 7 + 5 + 6 + 3 + 8 + 9 + 4 = 42 делится на 3.
567423 не делится на 6 -> последняя цифра 3, поэтому не делится на 2. Нет необходимости проверять наличие 3.
7 Правило делимости
Дважды последнюю цифру и вычтите ее из оставшегося числа в данном числе, результат должен делиться на 7. (Вы можете снова применить это для проверки теста делимости 7.)
1. 343 делится на 7 -> 34 — (2 * 3) = 28, 28 делится на 7.
2. 345343 — заданное число. 3 — последняя цифра. Вычтем 2 * 3 из 34534.
34534 — (2 * 3) = 34528, мы не можем сказать, что этот результат делится на 7. Итак, мы делаем это снова.
3452 — (2 * 8) = 3436, сделаем еще раз.
343 — (2 * 6) = 331, сделаем еще раз.
33 — (2 * 1) = 31, 31 не делится на 7.
Итак, 345343 не делится на 7.
Не забудьте в конце проверить обобщенное правило.
Делится на 8
Число, образованное последними тремя цифрами данного числа, должно делиться на 8.
Пример: 234568 делится на 8 -> 568 делится на 8.
4568742 не делится на 8 -> 742 не делится на 8.
Делится на 9
То же, что и 3. Сумма цифр в данном числе должна делиться на 9.
Пример: 456786 делится на 9 -> 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 6 = 36 равно делится на 9.
87956 не делится на 9 -> 8 + 7 + 9 + 5 + 6 = 35 не делится на 9.
Делится на 10
Пример: 456780 делится на 10 -> последний цифра 0.
78521 не делится на 10 -> последняя цифра равна 1.
Делимый тест 11
Сформируйте чередующуюся сумму цифр.2)) являются простыми делителями 12.
Пример: 462157692 делится на 12 -> последние 2 цифры 92, поэтому делится на 4, и сумма 4 + 6 + 2 + 1 + 5 + 7 + 6 + 9 + 2 = 42 делится на 3.
625859 не делится на 6 -> последние 2 цифры 59, не делится на 4. Нет необходимости проверять 3.
Проверка делимости для 13
Последняя цифра умножается на 4 и прибавьте его к оставшемуся числу в данном числе, результат должен делиться на 13. (Вы можете снова применить это, чтобы проверить делимость на 13.)
1. 4568 не делится на 13 -> 456 + (4 * 8) = 488 -> 48 + (4 * 8) = 80, 80 не делится на 13.
2. 593773622 задано число. 2 — последняя цифра. прибавляем 4 * 2 к 59377362 -> 59377370
5937737+ (4 * 0) = 5937737, мы не можем сказать, что этот результат делится на 13. Итак, мы делаем это снова.
593773 + (4 * 7) = 593801, сделаем еще раз.
59380 + (4 * 1) = 59384, сделаем еще раз.
5938 + (4 * 4) = 5954, сделаем еще раз.
595 + (4 * 4) = 611, сделаем еще раз.
61 + (4 * 1) = 65, 65 делится на 13.
Итак, 593773622 делится на 13.
Не забудьте в конце проверить обобщенное правило.
Делимость на 14
Число должно делиться на 2 и 7. Поскольку 2 и 7 являются простыми множителями 14.
Правило делимости 15
Число должно делиться на 3 и 5. Потому что 3 и 5 — простые делители 15.
Правило деления для 16
Число, образованное последними четырьмя цифрами данного числа, должно делиться на 16.
Пример: 7852176 делится на 16 -> 2176 делится на 16.
Делимость на 17
Умножьте последнюю цифру на 5 и вычтите ее из оставшегося числа в данном числе, результат должен делиться на 17. (Вы можете снова применить это для проверки делимости на 17.)
Следуйте аналогичным примерам, приведенным для делимости на 7 и делимость на 13.2)) — простые множители 18.
Делимость на 19
Последняя цифра умножается на 2 и прибавляется к оставшемуся числу в данном числе, результат должен делиться на 19. (Вы можете снова применить это для проверки делимости на 19.)
Следуйте аналогичным примерам, приведенным для деления на 7 и деления на 13.
Делимость на 20
Число, образованное двумя последними цифрами данного числа, должно делиться на 20.
Пример: 2374680 делится на 20 -> 80 делится на 20.
456215789654824 не является делением на 20 -> 24 не является делением на 20.
Обобщенные правила деления
Чтобы проверить делимость на число Вы должны проверить делимость каждого из его простых множителей на наибольшую степень.
Помните, что делимости числа на любые два фактора недостаточно, чтобы судить о его делимости.
1. Предположим, вы проверяете делимость на 12. 2,3,4,6 — множители 12.2)). Итак, вы должны проверить делимость на 2 и 9. не проверяйте только 2 и 3, а также не проверяйте 3 и 6.
Обычно простые числа имеют множитель 1 и само число. Итак, мы не можем применить это правило к простым числам. Это только для составных чисел.Правила математического деления для чисел, заканчивающихся на 1,3,7,9
Итак, это правило учитывает простые числа, которые были пропущены в предыдущем правиле.
Этот метод можно использовать для проверки делимости числа N, которое заканчивается на 1,3,7,9.
Умножьте N на любое число, чтобы в итоге получить 9. Добавьте к результату 1 и разделите его на 10.
Сохраните результат выше как R.
Мы проверяем, делится ли число X на N или нет.
Разделить X как X = 10 y + z;
X делится на N, только если Rz + y делится на N.
Определите, делится ли 645 на 23 или нет.
N = 23; 23 * 3 = 69; так что теперь у N в итоге 9.
X = 645; разделить X как X = 10 y + z;
Rz + y = (7 * 5) + 64 = 35 + 64 = 99;
99 не делится на 23.Итак, 645 также не делится на 23.
Давайте найдем, что 585 делится на 39 или нет.
N = 39; так что теперь у N в итоге 9.
X = 585; разделить X как X = 10 y + z;
Rz + y = (4 * 5) + 58 = 20 + 58 = 78;
78 делится на 39. Таким образом, 585 также делится на 39.
Заключительное примечание: Эти правила математического деления чрезвычайно полезны для выполнения быстрого теста на делимость на любом конкурсном экзамене. Также помните об общих правилах деления.