Делимость натуральных чисел контрольная работа: Контрольная работа №5 по теме «Делимость натуральных чисел».

Содержание

Контрольная работа №1 по теме «Делимость натуральных чисел»

Вариант 1

1. Из чисел 387, 756, 829, 2 148 выпишите те, которые делятся нацело

а) на 2; б) на 9.

2. Разложите число 756 на простые множители.

3. Найдите наибольший общий делитель чисел

а) 24 и 54; б)72 и 254.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел

а)16 и 32; б)15 и 8; в)16 и 12.

5. Докажите, что числа 272 и 1365 – взаимно простые.

6. Вместо звездочки в записи 152* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи).

7. Петя расставил книги поровну на 12 полках, а потом переставил их, тоже поровну, на 8 полок. Сколько книг было у Пети, если известно, что их было больше 100, но меньше 140?

Контрольная работа №1 по теме «Делимость натуральных чисел»

Вариант 2

1. Из чисел 405, 972, 865, 2394 выпишите те, которые делятся нацело

а) на 5; б) на 9.

2. Разложите число 1176 на простые множители.

3. Найдите наибольший общий делитель чисел

а) 27 и 36; б)168 и 252.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел

а)11 и 33; б)9 и 10; в)18 и 12.

5. Докажите, что числа 297 и 304 – взаимно простые.

6. Вместо звездочки в записи 199* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи).

7. Собранный урожай яблок фермер может разложить поровну в корзину по 12 кг или в ящики по 15 кг. Сколько килограммов яблок собрал фермер, если известно, что их было больше 150 кг, но меньше 200 кг.

Контрольная работа №1 по теме «Делимость натуральных чисел»

Вариант 3

1. Из чисел 675, 522, 563, 6024 выпишите те, которые делятся нацело

а) на 2; б) на 9.

2. Разложите число 1260 на простые множители.

3. Найдите наибольший общий делитель чисел

а) 28 и 42; б)63 и 441.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел

а)14 и 56; б)11 и 6; в)20 и 15.

5. Докажите, что числа 760 и 693 – взаимно простые.

6. Вместо звездочки в записи 354* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи).

Контрольная работа №1 по теме «Делимость натуральных чисел»

Вариант 4

1. Из чисел 945, 603, 485, 5319 выпишите те, которые делятся нацело

а) на 5; б) на 9.

2. Разложите число 1764 на простые множители.

3. Найдите наибольший общий делитель чисел

а) 24 и 32; б)28 и 420.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел

а)12 и 36; б)8 и 15; в)45 и 30.

5. Докажите, что числа 455 и 408 – взаимно простые.

6. Вместо звездочки в записи 927* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи).

Контрольная работа № 1 по теме «Делители натуральных чисел», 5 класс

Контрольная работа

Делимость натуральных чисел

1 вариант

1. Укажите три числа, кратные 8.

2. Укажите все делители числа 36. Запишите их в порядке возрастания.

3. Даны числа 270, 1918, 4155, 7224.

Выберите те из них, которые делятся:

а) на 2;

б) на 3;

в) на 10.

4. В записи чисел замените * так, чтобы полученное число делилось на 9.

а) 38*;

б) 35*2;

в) *1382.

5. Разложите на простые множители числа:

а) 84; б) 126.

6. Запишите число 32 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами.

Контрольная работа

Делимость натуральных чисел

1 вариант

1. Укажите три числа, кратные 8.

2. Укажите все делители числа 36. Запишите их в порядке возрастания.

3. Даны числа 270, 1918, 4155, 7224.

Выберите те из них, которые делятся:

а) на 2;

б) на 3;

в) на 10.

4. В записи чисел замените * так, чтобы полученное число делилось на 9.

а) 38*;

б) 35*2;

в) *1382.

5. Разложите на простые множители числа:

а) 126; б) 84.

6. Запишите число 32 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами.

Контрольная работа

Делимость натуральных чисел

2 вариант

1. Укажите три числа, кратные 6.

2. Укажите все делители числа 42. Запишите их в порядке возрастания.

3. Даны числа 270, 1918, 4155, 7236.

Выберите те из них, которые делятся:

а) на 2;

б) на 9;

в) на 5.

4. В записи чисел замените * так, чтобы полученное число делилось на 3.

а) 38*;

б) 35*2;

в) *1382.

5. Разложите на простые множители числа:

а) 78; б) 124.

6. Запишите число 36 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами.

Контрольная работа

Делимость натуральных чисел

2 вариант

1. Укажите три числа, кратные 6.

2. Укажите все делители числа 42. Запишите их в порядке возрастания.

3. Даны числа 270, 1918, 4155, 7236.

Выберите те из них, которые делятся:

а) на 2;

б) на 9;

в) на 5.

4. В записи чисел замените * так, чтобы полученное число делилось на 3.

а) 38*;

б) 35*2;

в) *1382.

5. Разложите на простые множители числа:

а) 78; б) 124.

6. Запишите число 36 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами.

Контрольная работа по теме: Делимость натуральных чисел.

Вариант 1

1. Из чисел 387, 756, 829, 2 148 выпишите те, которые делятся нацело:

1) на 2; 2) на 9.

2. Разложите число 756 на простые множители.

3. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 24 и 54; 2) 72 и 264.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 16 и 32; 2) 15 и 8; 3) 16 и 12.

5. Докажите, что числа 272 и 1 365 — взаимно простые.

6. Вместо звёздочки в записи 1 52* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратным 3 (рассмотрите все возможные случаи).

Вариант 2

1. Из чисел 405, 972, 865, 2 394 выпишите те, которые делятся нацело:

1) на 5; 2) на 9.

2. Разложите число 1 176 на простые множители.

3. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 27 и 36; 2) 168 и 252.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 11 и 33; 2) 9 и 10; 3) 18 и 12.

5. Докажите, что числа 297 и 304 — взаимно простые.

6. Вместо звёздочки в записи 1 99* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратным 3 (рассмотрите все возможные случаи).

7. Собранный урожай яблок фермер может разложить поровну в корзины по 12 кг или в ящики по 15 кг. Сколько килограммов яблок собрал фермер, если известно, что их было больше 150 кг, но меньше 200 кг?

Математика 6 Мерзляк Контрольная работа 1

Контрольная работа по математике 6 класс «Делимость натуральных чисел» с ответами и решениями по УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Дидактические материалы для учителей, школьников и родителей при дистанционном обучении. Математика 6 Мерзляк Контрольная работа 1 Вариант 1.

Математика 6 класс (Мерзляк)

Контрольная работа № 1. Вариант 1

КР-1. Вариант 1 (транскрипт заданий)

Из чисел 378, 576, 893, 4 139 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 9.
Разложите число 1 056 на простые множители.
Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 24 и 42; 2) 280 и 588.
Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 3 и 6; 2) 28 и 9; 3) 15 и 20.
Докажите, что числа 728 и 1 275 – взаимно простые.
Вместо звёздочки в записи 1 73* поставьте такую цифру, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи).
Дима собирает модели самолётов. Их можно расставить поровну на 14 полках, а можно, тоже поровну, – на восьми полках. Сколько моделей у Димы, если известно, что их больше 100, но меньше 120?

Математика 6 Мерзляк КР-1 ОТВЕТЫ:

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№1.   1) на 2: 378, 576             2) на 9:   378, 576
№2.   1056 = 2×2×2×2×2×3×11 = 2⁵×3×11
№3.   1) НОД (24; 42) = 2×3 = 6          2) НОД (280; 588) = 2×2×7 = 28
№4.   1) НОК (3; 6) = 6   2) НОК (28; 9) = 252      3) НОК (15; 20) = 60
№5.   Нет общих делителей, значит 728 и 1275 — взаимно простые.
№6.   1731, 1734, 1737

№7. НОК (14; 8) = 56. 56×2=112. 100<112<120. Ответ: 112 моделей самолетов.

Смотреть РЕШЕНИЯ заданий в тетради

Математика 6 Мерзляк КР-1 В1. Контрольная работа по математике в 6 классе «Делимость натуральных чисел» с ответами и решениями по УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Дидактические материалы для учителей, школьников и родителей при дистанционном обучении. Математика 6 Мерзляк Контрольная работа 1.
Другой вариант: КР-1 Вариант 2

В учебных целях использованы цитаты из пособия:

«Математика 6 класс. Дидактические материалы/ А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович и др. — М.: Вентана-Граф» . Представленная контрольная работа ориентирована на УМК Мерзляк и др. Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения заданий. Цитаты представлены в учебных целях, а также для ознакомления и покупки указанного учебного пособия.

Вернуться на страницу: Контрольные работы по математике в 6 классе Мерзляк (Оглавление)

Контрольная работа № 1 Делимость натуральных чисел 6 класс

Просмотр содержимого документа
«Контрольная работа № 1 Делимость натуральных чисел 6 класс»

Контрольная работа № 1

Делимость натуральных чисел

Вариант 1

Из чисел 387, 756, 829, 2148 выпишите те, которые делятся нацело :

На 2; 2) на 9.

2. Разложите число 756 на простые множители.

3. Найдите наибольший общий делитель чисел :

1)24 и 54; 2) 72 и 264.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел :

1)16 и 32; 2)15 и 8; 3)16 и 12.

5. Докажите, что числа 272 и 1365 взаимно простые.

6. Вместо звездочки в записи 152* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратным 3 ( рассмотрите все возможные случаи).

Вариант 2

Из чисел 405, 972, 865, 2394 выпишите те, которые делятся нацело :

На 5; 2) на 9.

2. Разложите число 1176 на простые множители.

3. Найдите наибольший общий делитель чисел :

1)27 и 36; 2) 168 и 252.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел :

1)11 и 33; 2)9 и 10; 3)18 и 12.

5. Докажите, что числа 297 и 304 взаимно простые.

6. Вместо звездочки в записи 199* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратным 3 ( рассмотрите все возможные случаи).

Математика Мерзляк Контрольная 1 | Частная школа. 6 класс

Математика Мерзляк Контрольная 1 + ОТВЕТЫ. Контрольная работа № 1 по математике 6 класс с ответами (УМК Мерзляк) по теме «Делимость натуральных чисел». Цитаты из учебного пособия «Дидактические материалы по математике 6 класс» использованы в учебных целях. Ответы на контрольные работы адресованы родителям.

Контрольная работа № 1 по математике 6 класс

«Делимость натуральных чисел» (УМК Мерзляк)

КР-01. Вариант 1

Из чисел 378, 576, 893, 4 139 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 9.
Разложите число 1 056 на простые множители.
Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 24 и 42; 2) 280 и 588.
Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 3 и 6; 2) 28 и 9; 3) 15 и 20.
Докажите, что числа 728 и 1 275 — взаимно простые.
Вместо звёздочки в записи 1 73* поставьте такую цифру, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи).
Дима собирает модели самолётов. Их можно расставить поровну на 14 полках, а можно, тоже поровну, — на восьми полках. Сколько моделей у Димы, если известно, что их больше 100, но меньше 120?

КР-01. Вариант 2

Из чисел 135, 240, 594, 3 251 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 5; 2) на 9.
Разложите число 1 584 на простые множители.
Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 36 и 63; 2) 180 и 312.
Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1)15 и 30; 2) 8 и 35; 3) 10 и 16.
Докажите, что числа 945 и 208 — взаимно простые.
Вместо звёздочки в записи 2 38* поставьте такую цифру, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи).
Катя собирает фигурки лошадок. Их можно расставить поровну на 9 полках, а можно, тоже поровну, — на 15 полках. Сколько фигурок у Кати, если известно, что их больше 110, но меньше 140?

Ответы на контрольную работу

Вернуться к Списку контрольных работ по математике (УМК Мерзляк)

Вы смотрели: Математика Мерзляк Контрольная 1 + ОТВЕТЫ. Контрольная работа по математике 6 класс с ответами по УМК Мерзляк и др. Цитаты из учебного пособия «Дидактические материалы по математике» использованы в учебных целях. Ответы на контрольные работы адресованы родителям.

Контрольная работа `Делимость натуральных чисел` 5 класс

Контрольная работа
Тема «Делимость натуральных чисел»
Класс 5
Цель: проверить уровень овладения знаниями, умениями и навыками по теме ««Делимость натуральных чисел»
Часть 1
1. Назовите все делители числа 14.
1) 0;1;2;7;14 2) 1;2;7;14 3) 2;7;14 4) 1;2;7
2.Какое из чисел является кратным числа 12.
1) 34 2) 1 3) 60 4) 6
3. Какое из чисел делится на 3:
1) 9731 2) 6563 3) 2980 4) 3462
4. Какое из чисел делятся на 2 и на 5:
1) 12004 2) 34837 3) 55460 4) 259675
5. При каких значениях а число 17 а будет простым числом
1) другой ответ 2) 1 3) 2 4) 0
6. Какая из данных пар состоит только из составных чисел?
1) 13 и 25 2) 14 и 18 3) 7 и 11 4) 19 и 15

Часть 2
7. Найдите НОК (35; 60; 90)
8. Разложите на простые множители число 975.
9. Для участия в эстафете нужно разделить 72 девочки и 48 мальчиков на команды с одинаковым числом участников, состоящие только из мальчиков или только из девочек. Какое наибольшее число участников может быть в каждой команде? Сколько команд получится?
№ задания Планируемые предметные результаты Умения, характеризующие достижение результата Планируемые метапредметные результаты Уро
вень усвоения Тип задания по форме ответа
1 Использовать свойства натурального числа Находить делители натурального числа БУ ВО
2 Использовать свойства натурального числа Находить кратные числа для заданного числа БУ ВО
3 Использовать признак делимости на 3 Применять признак делимости на 3 БУ ВО
4 Использовать признак делимости на 2 и на 5 Применять признаки делимости на 2 и на 5 БУ ВО
5 Использовать определения простого числа Распозновать простое число БУ ВО
6 Использовать определение составного числа Распозовать составное число БУ ВО
7 Находить НОК чисел Находить НОК чисел ПУ КО
8 Использовать определение постого числа Уметь раскладывать на простые множители число ПУ РО
9 Находить НОД чисел Находить НОД чисел при решении задачи ПУ РО
В заданиях с выбором ответа из четырех предложенных вариантов ученик должен выбрать только верный ответ. Если учащийся выбирает более одного ответа, то задание считается выполненно неверно.
В заданиях с кратким ответом ученик должен записать требуемый краткий ответ. Если учащийся, наряду с верным ответом приводит и неверные ответы, то задание считается выполненным неверно.
За выполнение каждого из 6 заданий ( №1 — №6) выставляется: 1 балл – верный ответ, 0 баллов – неверный ответ или ответ отсутствует.
За выполнение каждого из 3 заданий (№7 -№9) в зависимости от полноты и правильности ответа выставляется от 0 до 2 баллов.
Баллы Критерии оценки выполнения задания
2 Дан верный ответ и верное решение
0 Неверный ответ
Критерии оценок:
«5» — 11 – 12 баллов
«4» — 9– 10 баллов
«3» — 6-8 баллов
«2» — менее 6 баллов

Приложенные файлы

Правила делимости (тесты)

Легко проверить, можно ли точно разделить одно число на другое

делится на

«Делится на» означает «при делении одного числа на другое получается целое число»

Примеры:

14 делится на 7, потому что 14 ÷ 7 = 2 ровно

15 — это , а не , делимое на 7, потому что 15 ÷ 7 = 2 1 7 (результат , а не целое число)

0 — это , делимое на 7, потому что 0 ÷ 7 = 0 ровно (0 — целое число)

«Может быть разделено на» и «может быть разделено на» означает одно и то же.

Правила делимости

Эти правила позволяют проверить, делится ли одно число на другое, без необходимости выполнять слишком много вычислений!

Пример: делится ли 723 на 3?

Можно попробовать разделить 723 на 3

Или используйте правило «3»: 7 + 2 + 3 = 12 и 12 ÷ 3 = 4 точно Да

Примечание. Ноль делится на любого числа (кроме самого себя), поэтому мы получаем «да» на все эти тесты.

Любое целое число (не дробное) делится на 1

Последняя цифра четная (0,2,4,6,8)

12 8 Есть

12 9 Нет

Сумма цифр делится на 3

381 (3 + 8 + 1 = 12 и 12 ÷ 3 = 4) Да

217 (2 + 1 + 7 = 10 и 10 ÷ 3 = 3 ¹/₃) №

Это правило можно повторить при необходимости:

99996 (9 + 9 + 9 + 9 + 6 = 42, затем 4 + 2 = 6) Да

Последние 2 цифры делятся на 4

13 12 равно (12 ÷ 4 = 3) Да

70 19 не является (19 ÷ 4 = 4 ³/₄) Нет

Быстрая проверка (полезная для небольших чисел) состоит в том, чтобы вдвое уменьшить число вдвое, и результатом будет целое число.

12/2 = 6, 6/2 = 3, 3 — целое число. Есть

30/2 = 15, 15/2 = 7,5, что не является целым числом. №

Последняя цифра 0 или 5

17 5 Есть

80 9 Нет

Четно и делится на 3 (соответствует как правилу 2, так и правилу 3 выше)

114 (четно, и 1 + 1 + 4 = 6 и 6 ÷ 3 = 2) Да

308 (четно, но 3 + 0 + 8 = 11 и 11 ÷ 3 = 3 ²/₃) Нет

Удвойте последнюю цифру и вычтите ее из числа, образованного другими цифрами.Результат должен делиться на 7. (Мы можем снова применить это правило к этому ответу)

672 (Двойное 2 равно 4, 67−4 = 63 и 63 ÷ 7 = 9) Да

105 (Двойная 5 равна 10, 10−10 = 0, а 0 делится на 7) Да

905 (Двойное 5 равно 10, 90-10 = 80 и 80 ÷ 7 = 11 ³/₇) №

Последние три цифры делятся на 8

109 816 (816 ÷ 8 = 102) Есть

216 302 (302 ÷ 8 = 37 ³/₄) №

Быстрая проверка — это трижды уменьшить вдвое, и результат все равно будет целым числом:

816/2 = 408, 408/2 = 204, 204/2 = 102 Да

302/2 = 151, 151/2 = 75.5 №

Сумма цифр делится на 9

(Примечание: это правило может быть повторено при необходимости)

1629 (1 + 6 + 2 + 9 = 18, и снова 1 + 8 = 9) Да

2013 (2 + 0 + 1 + 3 = 6) №

Число заканчивается на 0

22 0 Есть

22 1 Нет

Сложить и вычесть цифры поочередно (добавить цифру, вычесть следующую цифру, добавить следующую цифру и т. Д.).Затем проверьте, делится ли этот ответ на 11.

1 3 6 4 (+ 1-3 + 6-4 = 0 ) Есть

9 1 3 (+ 9−1 + 3 = 11 ) Есть

3 7 2 9 (+ 3−7 + 2−9 = −11 ) Да

9 8 7 (+ 9-8 + 7 = 8 ) №

Число делится как на 3 , так и на 4 (он проходит как правило 3, так и правило 4 выше)

648
( По 3? 6 + 4 + 8 = 18 и 18 ÷ 3 = 6 Да)
(По 4? 48 ÷ 4 = 12 Да)
Оба пройдены, поэтому Да

524
( По 3? 5 + 2 + 4 = 11, 11 ÷ 3 = 3 ²/₃ Нет)
(Нет необходимости проверять по 4) Нет

Есть еще много всего! Существуют не только тесты на делимость для больших чисел, но и другие тесты для чисел, которые мы показали.

Факторы, которые могут быть полезны

Факторы

— это числа, которые вы умножаете, чтобы получить другое число:

Это может быть полезно, потому что:

Когда одно число делится на другое число …

… тогда это , также делимое на каждый из множителей этого числа.

Пример: если число делится на 6, оно также делится на 2 и 3

Пример: если число делится на 12, оно также делится на 2, 3, 4 и 6.

Еще одно правило для 11

Вычтите последнюю цифру из числа, образованного другими цифрами.
Если это число делится на 11, то и исходное число тоже.

При необходимости можно повторить

Пример: 286

28-6 равно 22, из которых делится на на 11, поэтому 286 делится на 11

Пример: 14641

1464-1 это 1463
146-3 это 143
14-3 равно 11, из которых делится на и делится на 11, поэтому 14641 делится на 11

Правила делимости для 7, 11 и 12

В нашем предыдущем уроке мы обсуждали правила делимости для 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10.В этом уроке мы поговорим о тестах делимости для чисел 7, 11 и 12. Я разделил их потому, что правила делимости для 7, 11 и 12 немного более продвинуты. Однако я обещаю вам, что, изучив соответствующие правила и применив их к некоторым практическим задачам, вы поймете, что они не так уж и сложны. На самом деле, они действительно забавные!

Правило делимости для 7

Правило: Вычеркните последнюю цифру из исходного числа.Затем удвойте. Вычтите его из «нового» числа, которое является исходным числом, исключая последнюю цифру. Если разница делится на 7, то исходное число также должно делиться на 7. Если при первом применении результат явно не делится на 7, вы можете повторять процесс по мере необходимости, пока не получите двузначное число, которое может легко определить, делится оно на 7 или нет.

Пример 1: Верно или неверно. Число 6895 делится на 7.

Решение: возьмем последнюю цифру 6,89 {\ color {red} 5}, которая \ color {red} 5, а затем удвоим ее, таким образом 2 ({\ color {red} 5}) = 10.Теперь вычтите «новое» число (старое число, исключая последнюю цифру) на двойную последнюю цифру, мы получим 689-10 = 679. Делится ли 679 на 7? Мы можем выполнять деление в столбик. Но хорошо то, что мы можем выполнять этот процесс снова и снова, пока не дойдем до двузначного числа, потому что гораздо легче узнать, делится оно на 7.

или нет.

Давайте повторим процесс еще раз и посмотрим, что у нас получится. Помните, мы закончили на 679 с последнего шага. Двигаясь дальше, последняя цифра 67 {\ color {red} 9} — \ color {red} 9.Если мы его удвоим, получим 2 ({\ color {red} 9}) = 18. Оставшееся число, которое образуется, когда мы избавляемся от последней цифры, — 67. Если мы вычтем 67 на 18, мы получим 67-18 = 49.

Поскольку 49 делится на 7, исходное число 6 895 также должно делиться на 7. Итак, ответ — Истинный. ✔︎

Пример 2: Множественный выбор. Какое число делится на 7?

Примечание: есть только один правильный ответ.

А) 18,046

Б) 11,749

С) 20,704

D) 21011

Я понимаю, что поначалу процедура может быть сложной, но чем больше вы ее используете, тем легче становится.Ниже приведены простые шаги, которые, я надеюсь, помогут закрепить в вашей памяти.

Шаги по проверке делимости 7

Отбросьте последнюю цифру числа, а затем удвойте выпавшую цифру.

Вычтите его из нового числа, образованного удалением последней цифры исходного числа.

Повторяйте процесс, пока число не уменьшится до двух цифр.

Если двузначное число делится на 7, то исходное число делится на 7.В противном случае это не так.

Решение. В реальном тесте с несколькими вопросами вы можете случайным образом выбрать вариант (букву) для решения, потому что есть вероятность, что вы сразу же наткнетесь на правильный ответ, что сэкономит вам много времени. Но в этом уроке мы перейдем от А к D. ради практики.

◉ Вариант тестирования A: 18 046

Отбросьте последнюю цифру 18 046, которая станет 1 804, а затем удвойте цифру, которую мы отбросили, так что мы имеем 2 (6) = 12.

Вычтите новое число на двойную последнюю цифру: 1 804 — 12 = 1792. Мы сократили исходное пятизначное число до четырехзначного числа. Помните, мы хотим уменьшить его до двузначного числа. Давайте повторим процесс.

Отбросьте последнюю цифру 1792, которая станет 179, затем удвойте цифру, которую мы отбросили, так что у нас получится 2 (2) = 4.

Вычтите новое число на двойную последнюю цифру: 179 — 4 = 175. Теперь мы уменьшили его до трехзначного числа. Давай сделаем это еще раз!

Отбросьте последнюю цифру 175, которая становится 17, затем удвойте цифру, которую мы удалили, таким образом 2 (5) = 10.

Вычтите новое число вдвое из последней цифры: 17-10 = 7.

Поскольку \ color {red} 7 делится на 7, исходное число, равное 18 046, также делится на 7. Итак, вариант A — правильный ответ. ✔︎

Окончательный ответ — вариант A .

Я оставлю это вам в качестве упражнения относительно того, почему варианты B , C и D НЕ делятся на 7. Тем не менее, я все же предоставлю вам сокращенное решение ниже.Я настоятельно рекомендую вам выполнять это упражнение не только для большей практики, но и для того, чтобы показать, что число не делится на 7.

Вы попробуете!

◉ Вариант тестирования B: 11,749

Нажмите здесь, чтобы показать решение

Исходный номер: 11,749
1,174-2 (9) = 1,174-18 = 1,156
115-2 (6) = 115-12 = 103
10-2 (3) = 10-6 = 4

Поскольку \ color {red} 4 не делится на 7, то 11 749 также не делятся на 7. ✘

◉ Вариант тестирования C: 20,704

Нажмите здесь, чтобы показать решение

Исходный номер: 20,704
2,070-2 (4) = 2,070-8 = 2,062
206-2 (2) = 206-4 = 202
20-2 (2) = 20-4 = 16

Так как \ color {red} 16 не делится на 7, то 20 704 также не делится на 7.✘

◉ Вариант тестирования D: 21,011

Нажмите здесь, чтобы показать решение

Исходный номер: 21,011
2,101-2 (1) = 2,101-2 = 2,099
209-2 (9) = 209-18 = 191
19-2 (1) = 19-2 = 17

Поскольку \ color {red} 17 не делится на 7, исходное число, равное 21 011, также не делится на 7.

Пример 3: Выберите все подходящие варианты. Какие числа делятся на 7?

Примечание: может быть несколько ответов.

А) 5,544

Б) 3,110

С) 54,810

Г) 34,125

Решение: Я уверен, что к этому моменту вы уже освоили шаги, как проверить, делится ли число на 7 или нет. С учетом сказанного, я буду использовать сокращенное решение.

◉ Вариант тестирования A: 5,544

Мы проверяем, делится ли 5,544 на 7.

554-2 (4) = 554-8 = 546

54-2 (6) = 54-12 = 42

Поскольку 42 можно разделить на 7, исходное число 5 544 также делится на 7.✔︎

◉ Вариант тестирования B: 3,110

Мы проверяем, делится ли 3110 на 7.

311-2 (0) = 311-0 = 311

31-2 (1) = 31-2 = 29

Поскольку число 29 нельзя разделить на 7, исходное число 3110 также не делится на 7.

◉ Вариант тестирования C: 54,810

Давайте посмотрим, делится ли 54 810 на 7.

5,481-2 (0) = 5,481-0 = 5,481

548-2 (1) = 548-2 = 546

54-2 (6) = 54-12 = 42

Алгоритм сократил исходное число до двузначного числа, равного 42, которое делится на 7.Это означает, что исходное число 54 810 также должно делиться на 7. ✔︎

◉ Вариант тестирования D: 34,125

Давайте определим, делится ли 34,125 на 7.

3,412-2 (5) = 3,412-10 = 3,402

340-2 (2) = 340-4 = 336

33-2 (6) = 33-12 = 21

Мы уменьшили исходное пятизначное число до двузначного числа 21, которое делится на 7. Это означает, что исходное число 34,125 также должно делиться на 7. ✔︎

Таким образом, варианты A , C и D делятся на 7.

Правило делимости для 11

Правило: Слева направо от числа возьмите первую цифру и прикрепите слева от нее символ сложения. Затем вычтите его на следующую цифру, затем сложите результат на третью цифру и снова вычтите результат на четвертую цифру и так далее, и тому подобное. Если ответ делится на 11, то исходное число делится на 11.

Краткое правило: Поочередно складывайте и вычитайте цифры числа слева направо.Если ответ делится на 11, то исходное число делится на 11.

Стандартное правило: Возьмите переменную сумму цифр числа. Если результат кратен 11, число делится на 11.

ПРИМЕЧАНИЕ: Все приведенные выше правила означают одно и то же. Первые два правила носят более поучительный характер, а последнее — правило, с которым вы можете столкнуться в своем учебнике или которому преподает ваш учитель.

Пример 1: Верно или неверно.Число 9 581 делится на 11.

Правило на самом деле довольно простое. Мы будем складывать и вычитать, а затем повторять шаблон, пока всем цифрам числа не будут присвоены символы плюса и минуса слева направо. После настройки мы его упрощаем. Если результат кратен 11, то исходное число также делится на 11.

Вот установка:

+ 9-5 + 8-1

Шаг 1: + 9-5 = 4

4 + 8-1

Шаг 2: 4 + 8 = 12

12-1

Шаг 3: 12-1 = 11

Поскольку конечный результат — 11 и кратен 11, то исходное число, равное 9 581, делится на 11.Таким образом, наш окончательный ответ — Истина. ✔︎

Пример 2: Множественный выбор. Какое число делится на 11?

Примечание: есть только один правильный ответ.

А) 98,517

Б) 79,829

C) 82,709

D) 50,453

Мы проверим делимость каждого числа от опции A до опции D .

◉ Вариант проверки A: 98,517

Давайте установим это, взяв переменную сумму цифр числа.

9-8 + 5-1 + 7

Затем мы упрощаем.

(9-8) + 5-1 + 7

1 + 5-1 + 7

(1 + 5) -1 + 7

6-1 + 7

(6-1) +7

5 + 7

Окончательный результат — 12, что не делится на 11. Следовательно, исходное число 98 517 не делится на 11.

✘

◉ Вариант проверки B: 79,829

Установите его, записав переменную сумму цифр.

7 + 9-8 + 2-9

Упростить.

(7 + 9) -8 + 2-9

16-8 + 2-9

(16-8) + 2-9

8 + 2-9

(8 + 2) -9

10-9

Поскольку окончательный ответ \ large {(1)} не делится на 11, исходное число 79 829 также не делится на 11. ✘

◉ Вариант проверки C: 82,709

Сначала мы строим чередующуюся сумму цифр числа.

8-2 + 7-0 + 9

Затем упростите слева направо. Не нужно беспокоиться о порядке операций, поскольку мы имеем дело только с сложением и вычитанием.

(8-2) + 7-0 + 9

6 + 7-0 + 9

(6 + 7) -0 + 9

13-0 + 9

(13-0) +9

13 + 9

Поскольку окончательный результат равен 12, что кратно 11, это означает, что исходное число 82 709 делится на 11. Таким образом, окончательный ответ — C . ✔︎

☞ Нет необходимости проверять вариант D, потому что мы уже нашли правильный ответ.

Окончательный ответ — вариант C .

Пример 3: Какие числа делятся на 11? Выбрать все, что подходит.

Примечание: может быть несколько ответов.

А) 69 245

Б) 73,186

С) 843,210

D) 918 071

Решение:

◉ Вариант тестирования A: 69 245, если он делится на 11

6-9 + 2-4 + 5

{\ color {красный} 6-9} + 2-4 + 5

-3 + 2-4 + 5

{\ color {красный} -3 + 2} -4 + 5

-1-4 + 5

{\ color {красный} -1-4} +5

-5 + 5

Поскольку 0 делится на 11, значит, 69 245 делится на 11.✔︎

◉ Вариант тестирования B: 73 186, если он делится на 11

7-3 + 1-8 + 6

{\ color {красный} 7-3} + 1-8 + 6

4 + 1-8 + 6

{\ color {красный} 4 + 1} -8 + 6

5-8 + 6

{\ color {красный} 5-8} +6

-3 + 6

Поскольку 3 не делится на 11, то 73 186 не делится на 11.

✘

◉ Вариант тестирования C: 843,210, если он делится на 11

8-4 + 3-2 + 1-0

{\ color {красный} 8-4} + 3-2 + 1-0

4 + 3-2 + 1-0

{\ color {красный} 4 + 3} -2 + 1-0

7-2 + 1-0

{\ color {красный} 7-2} + 1-0

5 + 1-0

{\ color {красный} 5 + 1} -0

6-0

Поскольку 6 не делится на 11, следовательно, 843 210 не делится на 11.

◉ Вариант тестирования D: 918 071, если он делится на 11

9-1 + 8-0 + 7-1

{\ color {красный} 9-1} + 8-0 + 7-1

8 + 8-0 + 7-1

{\ color {красный} 8 + 8} -0 + 7-1

16-0 + 7-1

{\ color {red} 16-0} + 7-1

16 + 7-1

{\ color {red} 16 + 7} -1

23-1

Поскольку 22 делится на 11, это означает, что 918 071 делится на 11. ✔︎

Таким образом, варианты A и D делятся на 11.

Правило делимости для 12

Правило: Число делится на 12, если оно делится на 3 и 4.

Число делится на 3 , если сумма его цифр делится на 3.
Число делится на 4 , если последние две цифры числа делятся на 4.

Пример 1: Верно или неверно. Число 7512 делится на 12.

Решение:

Первый шаг — проверить, делится ли оно на 3.Сначала сложим все цифры числа 7512.

7,512

7 + 5 + 1 + 2 = 15

Так как 15 делится на 3, следовательно, 7,512 также делится на 3.

Последний шаг — проверить, делится ли число, образованное двумя последними цифрами исходного числа, на 4, а затем на 4.

7,5 {\ color {красный} 12}

Так как 12 делится на 4, то 7512 делится на 4.

Следовательно, поскольку исходное число 7,512 делится на 3 и 4, оно должно делиться на 12.✔︎

Пример 2: Множественный выбор. Какое число делится на 12?

Примечание: есть только один правильный ответ.

А) 527 037

Б) 981,128

C) 746 936

D) 49,9920

Решение:

Существует более быстрый способ проверить делимость числа 12. Помните, что число делится на 12, если 3 и 4 могут его разделить. Поскольку намного быстрее проверить делимость числа на 4 , чем на 3 , потому что для первого вам просто нужно посмотреть на последние две цифры числа и проверить, кратно ли оно 4, а последнее займет немного больше времени, потому что вам нужно будет сложить все цифры числа и проверить, делится ли сумма на 3.Поэтому сначала мы проверим делимость числа 4, а затем делимость числа 3. Обратный способ займет немного больше времени.

◉ Вариант тестирования A: 527037 для делимости 12

Последние две цифры числа 527 037: \ color {red} 37 не делится на 4. Следовательно, оно не делится на 4. Нет необходимости проверять делимость числа 3, поскольку оно не соответствует одному из двух требований. . Таким образом, 527 037 не делится на 12.

✘

◉ Вариант тестирования B: 981,128 для делимости 12

Последние две цифры числа 981 128 — это \ color {red} 28, что кратно 4, что делает его делимым на 4.Теперь давайте проверим, делится ли оно на 3, сложив все его цифры, таким образом, 9 + 8 + 1 + 1 + 2 + 8 = 29. Поскольку сумма 29 не делится на 3, то само число также не делится на 3. Поскольку 981,128 нельзя разделить на как 3, так и 4, это означает, что два требования не выполнены, следовательно, исходное число не делится на 12.

✘

◉ Вариант тестирования C: 746 936 для делимости 12

Число \ color {красный} 36 — это две последние цифры 746 936. И это кратное 4, что делает исходное число делимым на 4.Теперь для делимости 3. Сложите все цифры 746 936, мы получим 7 + 4 + 6 + 9 + 3 + 6 = 35. Сумма цифр не делится на 3. Отсюда следует, что число также не делится на 3. Поскольку одно из двух требуемых условий не выполняется (оба неверны), то 746 936 не делится на 12. ✘

◉ Вариант тестирования D: 49,9920 для делимости 12

Число 20 — это две последние цифры числа 49,9920, которое явно кратно 4, поэтому 49,9920 делится на 4. Сложение всех цифр числа: 4 + 9 + 9 + 9 + 2 + 0 = 33.Сумма 33 может быть разделена на 3, поэтому 49,9920 делится на 3. Поскольку исходное число делится как на 3, так и на 4, оно также должно делиться на 12. ✔︎

Окончательный ответ — вариант D .

Пример 3: Какие числа делятся на 12? Выбрать все, что подходит.

Примечание: может быть несколько ответов.

А) 344 888

Число \ color {red} 88 — это две последние цифры числа 344 888, которое явно кратно 4, а значит, делится на 4.

Сумма цифр 344 888 вычисляется как 3 + 4 + 4 + 8 + 8 + 8 = 35. Но очевидно, что 35 не делится на 3.

Поскольку обнаружено, что 344888 делится только на 4, но не на 3, невыполнение одного из двух требований означает, что исходное число не делится на 12. ✘

Б) 521,340

Последние две цифры 521,340 образуют число \ color {red} 40, которое кратно 4, поэтому может быть разделено на 4.

Складывая цифры, получаем 5 + 2 + 1 + 3 + 4 + 0 = 15.Сумма 15 делится на 3.

Так как 521,340 делится на 3 и 4, то оно должно делиться на 12. ✔︎

C) 842,652

Число \ color {red} 52 — это две последние цифры числа, которое делится на 4.

Сумма цифр 8 + 4 + 2 + 6 + 5 + 2 = 27. Число 27 делится на 3.

Поскольку 842 652 делятся на 3 и 4, то оно также должно делиться на 12. ✔︎

D) 676 968

Последние две цифры \ color {red} 68 делятся на 4.

Сумма цифр 6 + 7 + 6 + 9 + 6 + 8 = 42 делится на 3.

Поскольку исходное число может делиться на 3 и 4, оно также должно делиться на 12.

Возможно, вас заинтересует:

Правила делимости для 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10

Правил делимости для 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10

Число a делится на число b, если остаток a \ div b равен нулю (0). Например, 15, разделенное на 3, равно 5, что означает, что его остаток равен нулю.Затем мы говорим, что 15 делится на 3.

В другом уроке мы обсудили правила делимости для 7, 11 и 12. На этот раз мы рассмотрим правила или тесты делимости для 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 и 10 . Поверьте, вы сможете выучить их очень быстро, потому что вы можете не знать, что у вас уже есть базовое и интуитивное понимание этого. Например, очевидно, что все четные числа делятся на 2.Это в значительной степени правило делимости для 2 . Цель этого урока по правилам делимости — формализовать то, что вы уже знаете.

Правила делимости помогают нам определить, делится ли одно число на другое без прохождения фактического процесса деления, такого как метод деления в столбик. Если рассматриваемые числа достаточно малы численно, нам может не понадобиться использовать правила для проверки делимости. Однако для чисел, значения которых достаточно велики, мы хотим иметь некоторые правила, которые служили бы «ярлыками», чтобы помочь нам выяснить, действительно ли они делятся друг на друга.

Правила делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10

Число делится на 2, если последняя цифра числа 0, 2, 4, 6 или 8.

Пример 1. Делится ли число 246 на 2?

Решение: поскольку последняя цифра числа 246 заканчивается на 6, это означает, что оно делится на 2.

Пример 2. Какие из чисел 100, 514, 309 и 768 делятся на 2?

Решение: если мы проверим все четыре числа, только число 309 не оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.Мы можем сделать вывод, что все числа выше, кроме 309, делятся на 2.

Число делится на 3, если сумма цифр числа делится на 3.

Пример 1. Делится ли число 111 на 3?

Решение: Давайте сложим цифры числа 111. У нас есть 1 + 1 + 1 = 3. Так как сумма цифр делится на 3, то число 111 также делится на 3.

Пример 2. Какое из двух чисел 522 и 713 делится на 3?

Решение: сумма цифр 522 (5 + 2 + 2 = 9) равна 9, что делится на 3.Таким образом, 522 делится на 3. Однако в числе 713 сумма цифр 11, которая явно не делится на 3, поэтому 713 не делится на 3. Следовательно, только 522 делится на 3.

Число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4.

Пример 1: Какое единственное число в приведенном ниже наборе делится на 4?

{945, 736, 118, 429}

Решение: Обратите внимание на последние две цифры четырех чисел в наборе.Обратите внимание, что 736 — единственное число, в котором две последние цифры (36) делятся на 4. Мы можем заключить, что 736 — единственное число в наборе, которое делится на 4.

Пример 2: Верно или Неверно. Число 5,554 делится на 4.

Решение: Последние две цифры числа 5,554 равны 54, что не делится на 4. Это означает, что данное число НЕ делится на 4, поэтому ответ будет ложно .

Число делится на 5, если последняя цифра числа 0 или 5.

Пример 1: множественный выбор. Какое число делится на 5.

А) 68

Б) 71

С) 20

Г) 44

Решение: для того, чтобы число делилось на 5, последняя цифра числа должна быть либо 0, либо 5. Перебирая варианты, только число 20 делится на 5, поэтому ответ — выбор C .

Пример 2: Выделите все числа, делящиеся на 5.

А) 27

Б) 105

С) 556

Г) 343

E) 600

Решение. И 105, и 600 делятся на 5, потому что они заканчиваются либо на 0, либо на 5. Таким образом, варианты B и E являются правильными ответами.

Число делится на 6, если число делится как на 2, так и на 3.

Пример 1. Делится ли число 255 на 6?

Решение: Чтобы число 255 делилось на 6, оно должно делиться на 2 и 3.Давайте сначала проверим, делится ли оно на 2. Обратите внимание, что 255 не является четным числом (любое число, заканчивающееся на 0, 2, 4, 6 или 8), поэтому оно не делится на 2. Нет необходимости в дополнительной проверке. Теперь мы можем сделать вывод, что это число не делится на 6. Ответ: NO .

Пример 2: Делится ли число 4,608 на 6?

Решение: число является четным числом, поэтому оно делится на 2. Теперь проверьте, делится ли оно на 3. Давайте сделаем это, сложив все цифры 4608, что составляет 4 + 6+ 0 + 8 = 18.Очевидно, что сумма цифр делится на 3, потому что 18 ÷ 3 = 6. Поскольку число 4 608 делится и на 2, и на 3, оно также должно делиться на 6. Ответ: ДА .

Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.

Пример 1. Делится ли число 1764 на 9?

Решение: Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр также должна делиться на 9. Для числа 1,764 мы получаем 1 + 7 + 6 + 4 = 18.Поскольку сумма цифр равна 18 и делится на 9, 1764 должно делиться на 9.

Пример 2: Выберите все числа, которые делятся на 9.

А) 7,065

Б) 3,512

С) 8 874

Г) 22,778

E) 48069

Решение: Давайте сложим цифры каждого числа и проверим, делится ли его сумма на 9.

Для 7 065 7 + 0 + 6 + 5 = 18, что делится на 9.
Для 3 512, 3 + 5 + 1 + 2 = 11, что составляет НЕ , делимое на 9.
Для 8 874, 8 + 8 + 7 + 4 = 27, которое делится на 9.
Для 22 778, 2 + 2 + 7 + 7 + 8 = 26, что составляет НЕ , делимое на 9.
Для 48069, 4 + 8 + 0 + 6 + 9 = 27, что делится на 9.

Следовательно, варианты A , C и E делятся на 9.

Число делится на 10, если последняя цифра числа равна 0.

Все числа 20, 40, 50, 170 и 990 делятся на 10, потому что их последняя цифра равна нулю, 0. С другой стороны, числа 21, 34, 127 и 468 не делятся на 10, поскольку они не делятся. заканчиваются нулем.

Возможно, вас заинтересует:

Правила делимости для 7, 11 и 12

Правила делимости — Схема, Правила делимости от 1 до 13, Примеры

Правила делимости в математике — это набор определенных правил, которые применяются к числу, чтобы проверить, делится ли данное число на определенное число или нет.Некоторые известные тесты на делимость предназначены для чисел от 2 до 20. Это помогает нам находить множители и кратные числа без выполнения деления в столбик. Человек может мысленно проверить, делится ли число на другое число или нет, применяя правила делимости. Давайте узнаем больше о тестах на делимость в этой статье.

Что такое правила делимости?

Правило делимости — это своего рода ярлык, который помогает нам определить, делится ли данное целое число на делитель, проверяя его цифры, не выполняя весь процесс деления.К одному и тому же числу можно применить несколько правил делимости, которые могут быстро определить его разложение на простые множители. Делитель числа — это целое число, которое полностью делит число, не оставляя остатка.

В статье Scientific American 1962 года популярный писатель по математике и естествознанию Мартин Гарднер обсудил правила делимости для 2–12, где он объясняет, что правила были широко известны в эпоху Возрождения и использовались для сокращения дробей с большими числами до наименьших. условия.Поскольку каждое число не полностью делится на любое другое число, они могут оставить остаток, отличный от нуля. Есть определенные правила, которые помогают нам определить действительный делитель числа, просто рассматривая цифры этого числа. Это так называемые правила делимости.

Правила делимости от 2 до 12

В этом разделе мы узнаем об основных тестах делимости от 2 до 12. Правило делимости 1 не требуется, поскольку каждое число делится на 1.Вот несколько основных правил делимости:

делимость на число	Правило делимости
Делится на 2	Четное число или число, последняя цифра которого является четным числом, т. Е. 0, 2, 4, 6 и 8.
Делится на 3	Сумма всех цифр числа должна делиться на 3.
Делится на 4	Число, образованное двумя последними цифрами числа, должно делиться на 4 или быть 00.
Делится на 5	Числа, у которых 0 или 5 являются единственной цифрой.
Делится на 6	Число, которое делится как на 2, так и на 3.
Делится на 7	Двойное вычитание последней цифры числа из оставшихся цифр дает кратное 7
Делится на 8	Число, образованное последними тремя цифрами числа, должно делиться на 8 или быть 000.
Делится на 9	Сумма всех цифр числа должна делиться на 9.
Делится на 10	Любое число, одноразрядная цифра которого равна 0.
Делится на 11	Разница сумм альтернативных цифр числа делится на 11.
Делится на 12	Число, которое делится как на 3, так и на 4.

Примеры правил делимости

Попробуем разобраться в приведенных выше тестах на делимость на примерах.

Делится ли 280 на 2? Да, 280 делится на 2, так как цифра разряда единиц равна 0.
Делится ли 345 на 3? Да, 345 делится на 3, так как сумма всех цифр равна 3 + 4 + 5, что составляет 12, а 12 делится на 3. Итак, 345 делится на 3.
Делится ли 450 на 4? Нет, 450 не делится на 4, так как число, образованное двумя последними цифрами, начинающимися справа, т.е.e 50 не делится на 4.
Делится ли 3900 на 5? Да, 3900 делится на 5, так как цифра в разряде единиц равна 0, что удовлетворяет правилу делимости 5.
Делится ли 350 на 6? Сумма всех цифр 350 равна 8, поэтому оно не делится на 3. Следовательно, оно не может делиться на 6, поскольку число должно быть кратным как 2, так и 3, чтобы быть кратным 6.
357 делится на 7, так как, когда мы вычитаем двойную цифру разряда единиц, 7 × 2 = 14, и вычитаем ее из оставшихся цифр 35, мы получаем 35-14 = 21, что делится на 7.Итак, 357 делится на 7.
79238 не делится на 8, так как число, образованное последними тремя цифрами 238, не делится полностью на 8.
875 не делится на 9, так как сумма всех цифр 8 + 7 + 5 = 20 не делится на 9.

Теперь давайте возьмем число 1000 и посмотрим, как оно делится на 2: 10. На изображении ясно видно, что 1000 делится на 2, 4, 5, 8 и 10 и не делится на 3, 6, 7 и 9. Мы находим это, применяя правила делимости от 2 до 10, а не выполняя деление, которое может занять больше времени.

Правила делимости простых чисел

Правила промежуточной делимости применяются к простым числам, которые меньше 20 и больше 10. Тесты делимости для простых чисел 2, 3, 5, 7 и 11 уже обсуждались выше. Здесь давайте узнаем о правилах делимости чисел 13, 17 и 19.

Правило делимости 13 — Число делится на 13, если в остатке остается 0, когда мы делим его на 13.Тест на делимость числа 13 помогает нам быстро определить, делится ли число на 13 или нет, без выполнения деления в столбик. Согласно правилу делимости числа 13, во-первых, мы должны умножить цифру разряда единиц на 4. Затем мы прибавляем произведение к оставшейся части числа слева от него (исключая цифру в месте разряда единиц). Если эта сумма приводит к числу, делящемуся на 13, то исходное число также делится на 13. Помимо этого метода, есть еще три других правила делимости 13, которые объясняются в этой статье — Правило делимости 13.Взгляни!

Правило делимости 17 — Число делится на 17, когда 17 делит его полностью, не оставляя ненулевого остатка. В соответствии с правилом делимости 17, сначала мы должны умножить цифру, равную единице, на 5. Затем мы вычтем произведение из оставшейся части числа слева от него (исключая цифру в месте единицы). Если эта разница приводит к числу, кратному 17, то исходное число также делится на 17.

Правило делимости 19 — Если мы получаем 0 в качестве остатка при делении числа на 19, то это число считается делимым на 19.В соответствии с правилом делимости числа 19, сначала мы должны умножить цифру разряда единиц на 2. Затем мы прибавляем произведение к оставшейся части числа слева от него (исключая цифру в месте разряда единиц). Если эта сумма дает число, кратное 19, то исходное число также делится на 19.

Правила делимости 13, 17 и 19 примеров

Давайте возьмем пример числа 1326 и проверим его делимость на 13, 17 и 19. Посмотрите на изображение, приведенное ниже.

Аналитический центр

Число делится на 4 и 12.Правда ли, что он будет делиться на 48?
Проверьте, соблюдает ли 2359334 правила делимости 4 и 8.

Важные примечания

Правила делимости имеют большое значение при проверке простых чисел.
Они удобны для решения текстовых задач.
Они полезны для быстрых вычислений.

Правила делимости Темы

Также проверьте эти статьи, связанные с правилами делимости.

Часто задаваемые вопросы о правилах делимости

Что означают правила делимости?

Правила делимости помогают нам определить, делится ли число полностью на другое число. Если число «a» делится на другое число «b», то оно обозначается как «a | b». Тесты на делимость — это очень короткие вычисления, основанные на цифрах чисел, чтобы выяснить, делит ли конкретное число полностью другое число или нет.

Что такое правило делимости 7 и 11?

Правило делимости числа 7 гласит, что если мы умножим цифру числа единиц на 2, а затем, если разница между этим числом и остальной частью числа слева делится на 7, то число также делится на 7.Например, давайте проверим, делится ли число 3437 на 7 или нет. Во-первых, найдите удвоенную цифру разряда единиц, то есть 7. Теперь вычтите 7 × 2 = 14 из оставшейся части числа слева, которое составляет 343. 343 — 14 = 329. Все еще трудно выяснить, действительно ли 329 делится на 7 или нет, поэтому повторите тот же процесс еще раз. Вычтем 9 × 2 = 18 из 32, получим 32-18 = 14, что делится на 7. Итак, 3437 делится на 7.
Правило делимости числа 11 гласит, что если разница между суммами цифр в альтернативных местах числа делится на 11, то число также делится на 11.Чтобы проверить, делится ли 1334 на 11 или нет, сначала найдите сумму цифр в альтернативных местах. Сумма цифр в нечетных местах равна 4 + 3 = 7, а сумма цифр в четных местах составляет 3 + 1 = 4. Теперь найдите разницу между ними, которая составляет 7-4 = 3. 3 не делится на 11, поэтому 1334 также не делится на 11.

Каковы правила делимости для чисел 2, 5 и 10?

Правила делимости чисел 2, 5 и 10 приведены ниже:

Правило делимости числа 2 — Разрядная цифра числа должна быть 0, 2, 4, 6 или 8.
Правило делимости 5 — разрядная цифра числа должна быть либо 0, либо 5.
Правило делимости 10 — разрядная цифра числа должна быть 0.

Каковы правила делимости для 3, 6 и 9?

Правила делимости 3, 6 и 9 приведены ниже:

Правило делимости числа 3 — сумма всех цифр числа должна делиться на 3
Правило делимости 6 — Число должно делиться как на 2, так и на 3
Правило делимости 9 — сумма всех цифр числа должна делиться на 9

Каковы правила делимости для 8?

Чтобы проверить, делится ли число на 8 или нет, мы можем использовать тест делимости 8, который утверждает, что для того, чтобы число делилось на 8, должно выполняться одно из следующих условий:

Последние три разряда числа справа должны быть 000.
Последние три разряда числа должны быть числом, кратным 8.

Что такое тест делимости числа 7?

Посмотрите на приведенные ниже шаги, чтобы применить тест делимости 7:

Шаг 1. Определите однозначную цифру числа и умножьте ее на 2.
Шаг 2: Найдите разницу между числом, полученным на шаге 1, и остальной частью числа.
Шаг 3: Если разница делится на 7, то число делится на 7.
Шаг 4: Если все еще сложно определить, кратна ли разница 7 или нет, повторите тот же процесс с числом, полученным на шаге 2.

Что такое тест делимости 2?

Тест на делимость числа 2 утверждает, что если цифра разряда единиц в числе даже включает 0, то число будет делиться на 2. Все четные числа делятся на 2, или мы можем сказать, что они кратны 2.

A История и руководство пользователя

Метод, который Блез Паскаль представил в De Numeris Multiplicibus , прост и эффективен.0 \) \ (({\ rm {mod}} \, \, 7) \) \ (6 \, \, \, \) \ (2 \, \, \, \) \ (3 \, \, \, \) \ (1 \, \, \, \) \ (5 \, \, \, \) \ (4 \, \, \, \) \ (6 \, \, \, \) \ (2 \, \, \, \) \ (3 \, \, \, \) \ (1 \, \, \, \)

Затем он использовал теорему 1. 0 (8) \) \ (\ эквив 2 (2) +3 (8) +1 (7) +5 (5) +4 (4) +6 (2) + 2 (1) +3 (7) +1 (8) \) , \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \) \ (= 119 \) \ (\ Equiv 2 \ cdot 1 + 3 \ cdot 1 + 1 \ cdot 9 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \) \ (= 14.{n-1} a_ {n-1} + \ cdots + b \ cdot a_1 + a_0 \).

Проверки делимости для любого положительного целого числа \ (d \) могут быть разработаны аналогичным образом путем построения таблиц остатков, которые получаются при делении степеней \ (10 \) на \ (d. \). В [29] Маккафри отметил, что такие таблицы можно найти систематически, разделив \ (d \) на \ (1 \) (вручную) и отслеживая остатки по пути. Далее он заметил, что, поскольку алгоритм деления обеспечивает только \ (d \) возможных остатков (от \ (0 \) до \ (d-1 \)) при делении на \ (d, \), этот процесс должен в конечном итоге привести к повторяющемуся циклу.i \ Equiv r_ {i- (k-j + 1)} \, \, ({\ rm {mod}} \, \, d) \) для каждого \ (i> k. \)) Мы ссылаемся на это список остатков в виде списка делимости для \ (d. \). Другие списки делимости для \ (d \) могут быть сгенерированы заменой любого \ (r_i \) на целое число, которое конгруэнтно \ (r_i \, \, ({\ rm {mod}} \, \, d). \) Таким образом, \ (\ {5, 4, 6, 2, 3, 1 \} \) и \ (\ {- 2, -3, — 1, 2, 3, 1 \} \) оба списка делимости для \ (7. \)

Некоторые из наших наиболее известных тестов на делимость можно описать как тесты Паскаля, которые эффективно объясняются предоставлением связанного списка делимости.i \ Equiv 1 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, {9}). \) Ясно, что тесты Паскаля на делимость существуют для любого положительного целого числа. Списки делимости, которые объясняют некоторые из наших наиболее известных тестов делимости как тесты Паскаля, представлены в таблице ниже:

\ (2 \)	\ (3 \)	\ (4 \)	\ (5 \)	\ (6 \)	\ (8 \)	\ (10 \)	\ (11 \)
\ (\ {0 \| 1 \} \)	\ (\ {1 \} \)	\ (\ {0 \| 2,1 \} \)	\ (\ {0 \| 1 \} \)	\ (\ {4 \| 1 \} \)	\ (\ {0 \| 4,2,1 \} \)	\ (\ {0 \| 1 \} \)	\ (\ {- 1,1 \} \)

Как разработать свой собственный тест Паскаля для делителя \ (d \) : Вычислить остатки (\ (r_0, \) \ (r_1, \) \ (r_2, \) и т. Д.\ prime, \) при желании.

Пример 2.1. Предположим, что для делителя \ (110. \) требуется проверка делимости Паскаля. Деление \ (1 \) на \ (110 \) (вручную) дает остатки \ (r_0 = 1, \) \ (r_1 = 10, \) и \ (r_3 = 100 \). Поскольку \ (r_4 = 10, \), оставшиеся остатки будут многократно циклически перемещаться между \ (10 \) и \ (100; \), таким образом, список делимости для \ (110 \) будет \ (\ {100,10 | 1 \ }. \) Поскольку \ (100 \ Equiv -10 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, {110}), \), то \ (\ {- 10,10 | 1 \} \) также является списком делимости \ (110.\) Следовательно, мы можем проверить, делится ли \ (7408170 \) на \ (110 \), отметив, что

\ [- 10 (7) +10 (4) + (- 10) (0) +10 (8) + (- 10) (1) +10 (7) +1 (0) = 110. \]

Поскольку \ (110 \) явно делится на \ (110, \), поэтому \ (7408170. \)

2.2. Паскаль-тесты с изменением базового стиля

Паскаль использовал базовое представление чисел \ (10 \) при описании своего метода проверки на делимость. Однако ясно, что его тест работает в любой базе (см. [16] для обсуждения баз с \ (2 \) по \ (9 \) и [43] для примера в базе \ (30 \)).В [27] Жозеф-Луи Лагранж (1736-1813) заметил, что если число выражается в любом основании \ (d + 1, \), его остаток от деления на \ (d \) равен остатку, полученному при делении сумма его цифр на \ (d. \). Это просто расширение правила делимости для \ (9 \) (для чисел, выраженных в базе \ (10 \)), которое обсуждалось выше. Он также работает для любого делителя \ (d \) (для чисел, выраженных в базе \ (d + 1 \)), точно так же, как он работает для \ (3 \) в базе \ (10. \). Забавно отметить что в базе \ (61, \) проверка суммы цифр применяется к делителям \ (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 \) и \ (60 \)!

Конечно, для большинства вычислений с изменением базы требуется как минимум столько же шагов, сколько при обычном делении.Таким образом, тесты делимости с изменением базового стиля обычно нецелесообразны. Мы действительно отмечаем, что недавняя статья Сэнди Ганцелла предлагает предложения, которые могут упростить вычисления с заменой базы для небольших кратных \ (10, \), тем самым предоставляя полезные тесты Pascal в стиле смены базы для конкретных случаев [17].

Как разработать свой собственный Pascal-тест стиля смены основы для делителя \ (d \) : Выразите число \ (N \) в базе \ (b + 1 \), где \ (b \) делится на \ (d. \). Тогда \ (N \) делится на \ (d \) тогда и только тогда, когда сумма цифр \ (N \) делится на \ (d.\)

Пример 2.2 (из [17]). Поскольку \ (21506 \) (в базе \ (10 \)) равно \ ([13 \, 17 \, 26] _ {40} \) (в базе \ (40 \)), мы имеем, что \ ( 13 + 17 + 26 = 56 \) сравнимо с \ (21506 \) по модулю каждого из \ (3, 13, \) и \ (39. \)

Метод Паскаля (в базе \ (10 \)) неоднократно переоткрывался многими авторами (см., Например, [20], [29], [8], [28], [4] и [11]). . Некоторые авторы (см. [32] и [35]) опубликовали тесты на делимость, которые разработаны путем применения незначительной модификации к подходу Паскаля.3 \ cdot 542 + 178 \) \ (\ Equiv 1 \ cdot 287 + (- 1) \ cdot 542 + 1 \ cdot 178 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \) \ (= -77, \)

, что явно делится на \ (7. \) Таким образом, \ (287,542,178 \) также делится на \ (7 \). «Разбивая» число на группы по три цифры в каждой (начиная справа) и поочередно добавляя и вычитая полученные трехзначные числа (крайнее левое из них может иметь менее трех цифр), мы получаем новое число, которое является конгруэнтно нашему исходному числу \ (({\ rm {mod}} \, \, 7).2 \ cdot 421 + 78 \) \ (\ Equiv 5 \ cdot 2875 + 1 \ cdot 421+ 1 \ cdot 78 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \) \ (= 15295. \)

Затем, разбивая блоки \ (3 \), как мы это делали ранее, мы видим, что \ (15295 \ Equiv -15 + 295 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \). Это равно \ (280, \), что явно делится на \ (7. \)

Тест Талмуда на делимость числа \ (N \) на \ (7 \) — это тест Паскаля, который использует два блока потенциально неравной длины.Крайний правый блок состоит из двух последних цифр \ (N \), а крайний левый блок состоит из оставшихся цифр. Записывая \ (N \) как \ ([a_n a_ {n-1} \ cdots a_1 a_0], \), тест Талмуда утверждает, что \ ([a_n a_ {n-1} \ cdots a_1 a_0] \) является делится на \ (7 \) тогда и только тогда, когда \ (2 \ cdot [a_n a_ {n-1} \ cdots a_3 a_2] + [a_1 a_0] \) делится на \ (7 \), поскольку \ (100 \ Equiv 2 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \) и

\ ([a_n a_ {n-1} \ cdots a_1 a_0] \)	\ (= 100 \ cdot [a_n a_ {n-1} \ cdots a_3 a_2] + [a_1 a_0] \)
	\ (\ Equiv 2 \ cdot [a_n a_ {n-1} \ cdots a_3 a_2] + [a_1 a_0] \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7).\)

Этот и все тесты типа Паскаля можно применять многократно по желанию. Повторное применение теста Талмуда к \ (287,542,178 \) дает следующую последовательность чисел:

\ [287,542,178 \ rightarrow 5,750,920 \ rightarrow 115,038 \ rightarrow 2338 \ rightarrow 84. \]

Так как \ (84 \) делится на \ (7, \), то и \ (287,542,178 \) делится на \ (287,542,178 \).

Разработка собственного теста Pascal в стиле фрагментов для делителя \ (d \) : Начните с принятия решения о том, как вы хотите разбить целые числа для тестирования.4 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, {49}) \). Следовательно, мы можем проверить, делится ли \ (322351 \) на \ (49 \), отметив, что

\ [4 (32) +2 (23) + 51 = 128 + 46 + 51 = 225. \]

Повторение теста с \ (225 \) дает \ (2 (2) + 25 = 29 \), которое явно не делится на \ (49. \). Следовательно, \ (322351 \) также не делится на \ (49 . \) Однако заметим, что \ (29 \) — это остаток, полученный при делении \ (322351 \) на \ (49. \). И снова причина этого «совпадения» полностью объясняется теоремой 1.1.

2.2 \ cdot 1 + 3 \ cdot 6 + 8 \) как \ (3 \ cdot (3 \ cdot 1 + 6) +8 \) и соответствующим образом интерпретируя это вложенное выражение, мы получаем новый стиль теста Паскаля, который появляется в [14] и [19]. Мы решили назвать это стилем «поток слева» из-за способа выполнения теста: начиная с самого внутреннего выражения в скобках выше, мы умножаем первую (крайнюю левую) цифру \ (168 \) на \ (3 \) и сложите вторую цифру (\ (3 \ cdot 1 + 6 = 9 \)). Затем умножьте этот результат на \ (3 \) и добавьте третью цифру (\ (3 \ cdot 9 + 8 = 35 \)).Так как \ (35 \) делится на \ (7, \), то и \ (168. \) делится на \ (168. \). Очевидно, что эта процедура может стать громоздкой для чисел с большим количеством цифр. Однако этот процесс значительно упрощается за счет преобразования каждого вычисления по пути в меньший \ (({\ rm {mod}} \, \, 7) \) эквивалент. Проверка \ (287,542,178 \) (снова!) На делимость на \ (7 \) с использованием подхода потока слева дает следующую последовательность промежуточных \ (({\ rm {mod}} \, \, 7) \) расчеты (начиная с \ (3 \ cdot 2 + 8 \ Equiv 0 \)):

\ [0 \ rightarrow 0 \ rightarrow 5 \ rightarrow 5 \ rightarrow 3 \ rightarrow 3 \ rightarrow 2 \ rightarrow 0.\]

Итак, \ (287,542,178 \ Equiv 0 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \).

Интересно отметить, что этот стиль проверки Паскаля на делимость «поток слева» был известен еще до того, как Паскаль родился. Согласно Леонарду Юджину Диксону (1874-1954) [10], Пьер Форкадель включил приведенный выше критерий делимости на \ (7 \) в L’Arithmeticqve de P. i \, \, ({\ rm {mod}} \, \, d) \).i \) для того, чтобы этот тест имел какую-либо практическую ценность.

Пример 2.4. Заметив, что \ (100 \ Equiv -2 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, {17}), \), мы начинаем проверку \ (84592 \) на делимость на \ (17 \) на сначала разбейте его на группы по два (начиная справа). Мы умножаем крайний левый кусок на \ (- 2 \) и добавляем следующий кусок; затем умножьте результат на \ (- 2 \) и добавьте последний кусок:

\ [- 2 (8) + 45 = 29 \ rightarrow -2 (29) + 92 = 34. \]

В качестве альтернативы, если бы мы узнали, что \ (45 \ эквив 11 \) и \ (92 \ эквив 7 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, {17}), \), то приведенная выше последовательность промежуточных расчетов было бы несколько упрощено:

\ [- 2 (8) +11 \ Equiv -5 \ rightarrow -2 (-5) + 7 = 17 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 17).\]

Делится ли \ (102 \) на \ (17 \)? Использование только что описанного теста дает ответ почти сразу: \ (- 2 \), умноженное на первую цифру плюс число, образованное двумя последними цифрами, дает \ (0, \) кратное \ (17. \). дальше. Обратите внимание, что \ (1003 \) также делится на \ (17, \) и что \ (- 3 \), умноженное на первую цифру (из \ (1003 \)), плюс число, образованное последними тремя цифрами, также дает \ (0. \) Предлагает ли это другое правило делимости для \ (17 \)? Давайте проверим \ (84592 \), умножив \ (- 3 \) на \ (84 \) и прибавив \ (592.1 + 7 \)) кратно \ (17, \), мы можем разбить числа на группы по \ (1 \) и использовать \ (- 7 \) в качестве кратного числа для альтернативного стиля потока слева. Тест Паскаля для \ (17. \) Аналогично, мы можем использовать \ (- 3 \) и \ (- 9 \) в качестве кратных, определяющих тесты стиля потока слева для \ (13 \) и \ (19 ,\) соответственно. Кроме того, \ (- 11 \) может использоваться в качестве множественного числа, определяющего проверку потока слева для \ (111 \) (с использованием фрагментов \ (2 \) цифр), а также для \ (3 \) и \ (37 \) (которые являются факторами \ (111 \)).

Все это поднимает очень естественный вопрос: если мы можем получить критерий делимости потока слева для \ (19 \), отметив, что \ (- 9 \) умножает первую (крайнюю левую) цифру \ (19 , \) плюс вторая цифра, равно \ (0, \), можно ли получить тест правого потока из- для \ (91 \), распознав, что \ (- 9 \) умноженное на последнее цифра \ (91, \) плюс предыдущая цифра равна \ (0 \)? Мы ответим на этот вопрос позже, но мы надеемся, что вы сможете изучить его самостоятельно, прежде чем читать дальше.

2.5. Паскаль в стиле прыжка слева

В 1859 году Фрэнсис Элефанти предложил любопытный тест в [15], чтобы определить, что \ (71491 \) делится на \ (7 \): Усеките первую цифру (\ (7 \)) и вычтите ее из цифры на три разряда. справа (\ (9 \)). (Как мы увидим, \ (7 \) на самом деле нужно вычесть из \ (149 \).) Оставьте все остальные цифры такими, какими они были. Это дает \ (1421. \). Повторяя процесс, \ (421 \) минус \ (1 \) дает \ (420. \) Поскольку \ (420 \) явно делится на \ (7, \), Elefanti утверждал, что \ (71491 \) тоже.3 \) и напомнил, что \ (1000 \) конгруэнтно \ (- 1 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, {7}) \). Это не совпадение. Действительно, мы можем использовать тот факт, что \ (100 \) конгруэнтно \ (2 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \), чтобы выдвинуть гипотезу о подобном тесте: умножьте первую цифру \ (71491 \) на \ (2 \) и прибавляем результат к \ (14. \). После усечения первой цифры получается \ (2891. \) Удвоение \ (2 \) и прибавление к \ (89 \) дает \ (931. \) Наконец, \ (2 (9) + 31 = 49 \), что кратно \ (7. \)

Leap-from-the-left — это просто замаскированный тест Паскаля в стиле фрагментов.{ni} [a_ {n-1} \ cdots (a_ {ni} + ka_n)] + [a_ {ni-1} \ cdots a_1 a_0] \, \, ({\ rm {mod}} \, \, {d}) \) \ (= [a_ {n-1} a_ {n-2} \ cdots a_ {n-i + 1} (a_ {n-i} + ka_n) a_ {n-i-1} \ cdots a_1 a_0]. \)

Обратите внимание, что если \ (a_ {n-i} + ka_n \ ge 10, \) цифры слева от \ (a_ {n-i} + ka_n \) в приведенных выше строках могут измениться из-за «переносов».

Разработка собственного теста Паскаля в стиле «прыжок слева» для делителя \ (d \) : Пусть \ (i \) обозначает размер «прыжка», который вы хотите использовать.\ prime \) делится на \ (d \).

Тесты на делимость

По мере продвижения вы можете использовать интерактивность в Десятках, чтобы проверить свое понимание различных правил делимости.

В этой статье «число» всегда будет означать «целое положительное число».

Кратное 2 и 5

Самые простые тесты делимости — для 2 и 5 долларов.
Число делится на 2 доллара, если его последняя цифра четная, и на 5 долларов, если его последняя цифра равна 0 или 5 долларам.

Щелкните, чтобы узнать, почему эти тесты работают.

Эти тесты относятся к ‘цифрам’ в (обычном) базовом представлении числа $ 10 $, так что (например) $ 2645 $ представляет собой число $ (2 \ times 1000) + (6 \ times 100) + (4 \ times 10) + (5 \ раз 1) $.
Каждое число (кратное 10 $) + (последняя цифра). Например, $ 2645 = 264 \ times10 + 5 $
Таким образом, каждое число (кратное 2 $ и 5 $) + (последняя цифра).
Если последняя цифра кратна 2 долларам (или 5 долларам), то должно быть целое число.
Кратное 4 и 8
Число делится на 4 доллара, если число, представленное его двумя последними цифрами, кратно 4 долларам, и делится на 8 долларов, если число, представленное его последними тремя цифрами, кратно 8 долларам.
Щелкните, чтобы узнать, почему эти тесты работают.
Это похоже на тесты на делимость на 2 доллара и 5 долларов.
долларов. Каждое число (кратное 100 долларам) + (последние две цифры).
Поскольку $ 100 = 4 \ times25 $, каждое число (кратное 4 $) + (последние две цифры). Таким образом, если последние две цифры образуют число, кратное 4 долларам, то целое число должно быть кратным 4 долларам.
доллара 46 долларов не кратны 4 долларам, поэтому 2646 долларов тоже не делятся.
Каждое число (кратное 1000 $) + (последние три цифры).
Так как $ 1000 = 8 \ times125 $, каждое число (кратное 8 $) + (последние три цифры). Это означает, что все число делится на 8 долларов, если последние три цифры представляют число, которое делится на 8 долларов. $
Например, $ 62432 = 1000 \ times62 + 432 = $, кратное 8 + 432 $. $ кратно 8 $, поэтому $ 62432 $ тоже.
Примечание: Последние три цифры могут представлять большое число, например 928 долларов США.$ Вы можете использовать свои знания таблицы умножения $ 8 $ и разделить большие числа, чтобы увидеть, кратны ли они 8 $. $ Например, 928 $ = 800 + 128 = 800 + 64 + 64 $, поэтому 928 $ кратно 8 $. долл. США
Кратное 3 и 9
Число делится на 3 доллара, или 9 долларов, если сумма его цифр делится на 3 доллара или 9 долларов.
Например, $ 89474 $ делится на $ 3 $, если $ 8 + 9 + 4 + 7 + 4 = 32 $ делится на $ 3, $ (что делится на $ 3 $, если $ 3 + 2 = 5 $ делится на $ 3).$ Так как это не так, 89474 доллара не делятся на 3 доллара.
Щелкните, чтобы узнать, почему эти тесты работают.
$ 10 $ равно 9 + 1 $ = (кратно 3 $) + 1 $
Итак, 20 $ равно $ (2 \ times 9) + 2 $ = (кратно 3 $) + 2 $
$ 30 $ равно $ (3 \ times 9) + 3 $ = (кратное 3 $) + $ 3 $ …
… и $ 80 $ равно $ (8 \ times 9) + 8 $ = (кратное 3 $) + $ 8 $ …
… и поэтому 81 $ = (кратное 3 долларам) $ + 8 + 1 $
и поэтому, если 8 $ + 1 $ = кратное 3 $, 81 $ является кратным 3 $
и 82 $ = (кратное 3 долларам) $ + 8 + 2
доллара, и поэтому, если 8 долларов + 2 доллара = 3 доллара, 82 доллара кратно 3 долларам
и 86 долларов = (кратно 3 долларам) $ + 8 + 6 $
и поэтому, если $ 8 + 6 $ = кратное 3 $, 86 $ кратно 3 $
Для 257 долларов США отметим, что 100 долларов равны 99 + 1 доллар США, поэтому 200 долларов США = (2 \ умноженное на 99) + 2 доллара = (кратное 3 долларам) + 2 доллара США
долларов США.
Следовательно, 257 долларов = ((кратное 3 доллару) +2) + ((кратное 3 доллару) +5) +7 = (кратное 3 доллару) + 2 + 5 + 7
Еще раз 257 долларов $ делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна $ 3 $.Так как $ 2 + 5 + 7 $ не делится на 3 $, равно как и 257 $.
В общем, 10 долларов = 9 + 1 доллар, 100 долларов = 99 + 1 доллар, 1000 долларов = 999 + 1 доллар и так далее, поэтому каждая «сила» в 10 долларов (например, 10 долларов, 100 долларов, 1000 долларов, 10000 долларов) и так далее) всего на 1 доллар больше, чем кратное 3 долларам. Это означает, что тест можно применить к числу с любым количеством цифр.
Поскольку 10 $ = 9 + 1 $, 100 = 99 + 1 $, 1000 $ = 999 + 1 $ и так далее, мы можем видеть, что каждая степень 10 $ всего лишь на 1 $ больше, чем кратное 9 $, и поэтому этот метод деления на 3 $ работает и для 9 $.{a_k} $, то число также должно быть кратным $ n $
Кратное 11
Чтобы определить, кратно ли число 11 $, возьмите цифру единиц / единиц, затем вычтите цифру десятков, добавьте цифру сотен, вычтите цифру тысяч и так далее, пока вы не добавите или не вычтете все цифры. . Если результат кратен 11 долларам, то и исходное число равно доллару.
Щелкните, чтобы увидеть, как работает этот тест.
В то время как каждая степень 10 долларов на 1 доллар больше, чем кратная 3 долларам (или 9 долларам), для кратных 11 долларов возникает чередующаяся картина:
10 долларов на 1 доллар меньше, чем 11 900 долларов 62 100 долларов на 1 доллар больше, чем 9 долларов \ раз 11
1000 долларов на 1 доллар меньше, чем 91 доллар \ умножить на 11
$ 10000 $ на $ 1 больше, чем $ 909 \ раз 11 $
100000 $ на 1 доллар меньше 9091 $ \ умножить на 11
1000000 $ на 1 $ больше, чем
$ \ раз 11
$ и так далее.
Если мы напишем `$ m11 $ ‘как сокращение для’ кратного 11 $ ‘, мы увидим, что нечетные степени $ 10 $ равны $ m11-1 $, а четные степени $ 10 $ равны $ m11 + 1. $
Например, чтобы узнать, делится ли $ 54637 $ на $ 11, $ мы можем использовать эту идею и работать справа:
$ 54637 = 7 + 3 \ times (m11-1) +6 \ times (m11 + 1) +4 \ times (m11-1) +5 \ times (m11 + 1) $,
, что равно $ m11 + (7-3 + 6-4 + 5) $ или $ m11 + 11 $. Следовательно, $ 54637 $ должно быть кратным 11 $.
Кратное 7 и большие простые числа
Нет быстрого теста с использованием цифр, чтобы увидеть, кратно ли число 7 $, $, но есть эффективный метод, чтобы определить, является ли это число.Щелкните, чтобы увидеть это.
Чтобы узнать, делится ли число на 7 долларов, вы можете удалить числа, кратные 7 долларам, и посмотреть, что осталось.
Пример: 26481 доллар кратен 7 долларам?
26481 доллар = 21000 + 5481 доллар, поэтому 26481 доллар кратен 7 долларам, если 5481 доллар равен.
5600 долларов кратно 7 долларам, а 5600 долларов = 5481 + 119 долларов, поэтому 26 481 доллар кратно 7 долларам, если 119 долларов.
119 долларов = 70 + 35 + 14 долларов, поэтому 26 481 доллар должен быть кратным 7 долларам.
Такое рассуждение работает для любого числа, а не только для кратных 7 $.
Т. Р. Мукундан написал нам о другом тесте на делимость на 7 долларов, который он придумал. См. Подробности в примечаниях.

Проверка делимости с использованием арифметики остатка
Думая об остатках, можно придумать тест на делимость любого числа. Нажмите, чтобы узнать больше.

Тест на делимость на любое число может быть разработан с использованием арифметики остатка.
Например, мы можем разработать тест на делимость на 7 $ следующим образом:
Остаток при делении 10 $ на 7 $ равен 3 $, поэтому остаток при делении 100 $ ($ = 10 \ times 10 $) делится на 7 $. $ составляет $ 3 \ times 3 = 9 $ (что составляет $ 7 + 2 $, поэтому фактический остаток равен $ 2 $).4 = m7 — 1 \ times 3 = m7 — 3 $ или $ m7 + 4 $ и т. Д.]
Пример:
Чтобы показать, что 18956 $ делится на 7 $, действуйте справа налево:
$ 18956 = m7 + [6+ (5 \ times 3) + (9 \ times 2) — (8 \ times 1) — (1 \ times 3)] = $
$ = m7 + 28 = m7 + 4 \ times 7 $
Число `$ abcde $ ‘делится на $ 7 $, если $ e + 3d + 2c-b-3a $ делится на $ 7 $. 4 = m13 + 3 $ и т. Д.
Число `$ a b c d e $ ‘делится на $ 13 $, если $ e-3d + 9c-b + 3a $ делится на $ 13 $.
Пример:
Чтобы показать, что $ 46384 $ делится на $ 13 $, работайте справа налево:
$ 46384 = m13 + [4- (8 \ times 3) + (3 \ times 9) — (6 \ times 1) + (4 \ times 3)] =
$ = m13 + 13
$

Остаточная арифметика для проверочных расчетов
Думая об остатках, можно проверить ответы на вычисления, связанные с умножением. Нажмите, чтобы узнать больше.
Какова последняя цифра в 34 $ \ умножить на 57?
$ Не выполняя полного умножения, мы знаем, что это должно быть 8 $, потому что $ 8 $ — последняя цифра $ 4 \ умножить на 7 $.
Но откуда мы знаем?
Потому что $ 34 \ times 57 = (30 \ times 57) + (4 \ times 57) = m10 + (4 \ times 50) + (4 \ times 7) = m10 + m10 + 8 = m10 + 8 $.
В этом примере «последняя цифра» означает «остаток от деления на 10 долларов». Чтобы найти остаток в произведении (34 и 57 долларов), нам нужно только найти произведение остатков (4 доллара и 7 долларов).Это правило работает, по сути, по той же причине, для остатков, когда мы делим на числа, отличные от 10 долларов.
Используя это правило, существует метод, называемый «выбрасывание девяток», для проверки вычислений с использованием остатков при делении на 9 долларов. Например, предположим, что я отработал 256 $ \ умножить на 77 $ и получил ответ 19612 $. Остаток при делении (256 $ \ times77 $) на 9 $ должен быть произведением остатка при делении 256 $ и 77 $ на 9. $
Вспомните из теста делимости на 9 $, что $ 10,100,1000 ,… $ — это все $ m9 + 1, $, поэтому $ 256 $ равняется $ m9 + 2 + 5 + 6 = m9 + 13. $ 13 = m9 + 1 + 3 = m9 + 4. $ Следовательно, остаток при делении $ 256 $ на 9 долларов составляет 4 доллара, а 4 доллара называются цифровым корнем из 256 долларов.
Остаток при делении 77 долларов на 9 долларов является цифровым корнем из 77 долларов. 7 + 7 = 14 долларов и 1 + 4 = 5 долларов, поэтому остаток от деления 77 долларов на 9 долларов составляет 5 долларов.
Следовательно, остаток при делении $ 256 \ times77 $ на $ 9 $ должен равняться остатку при делении $ 4 \ times5 $ на $ 9 $ (что составляет $ 2 $). Однако мой ответ 19612 долларов имеет цифровой корень из 1 доллара (1 + 9 + 6 + 1 + 2 = 19, 1 + 9 = 10, 1 + 0 = 1 доллар), поэтому остаток при делении 19612 долларов на 9 долларов $ равен 1 доллару.$ Значит, я, должно быть, ошибся в своих расчетах.
Осторожно: отбрасывание девяток может обнаружить неправильный ответ (как указано выше), но не может гарантировать правильный ответ. Например, $ 19721 $ имеет цифровой корень $ 2 $, но «тест последней цифры» (который можно назвать «выбрасыванием десятков») показывает, что он не может быть ответом на 256 $ \ умножить на 77 $.
[Обработка остатков — это суть «модульной арифметики». Гений Ч. Ф. Гаусс впервые официально описал это в своей книге 1801 г. Disquitiones Arithmeticae, которую он опубликовал в возрасте 24 лет].Подробнее о модульной арифметике вы можете прочитать в статье Модульная арифметика.
Проверка делимости с использованием модульной арифметики
Альтернативный способ подумать об использовании остатков — это использовать модульную арифметику (см. Статью Модульная арифметика). Например, поскольку $ 30 = 4 \ times 7 + 2 $, мы имеем $ 30 \ Equiv 2 \ text {mod} 7 $, то есть $ 30 \ text {mod} 7 $ равняется остатку при делении $ 30 $ на $ 7 $. Нажмите, чтобы узнать больше.
Делимость на 3
Число $ n $ делится на $ 3 $, если (и только если) $ n \ Equiv 0 \ text {mod} 3 $.2b + (-1) c + d \ big] \ text {mod} 11 \\
& = [- a + b-c + d] \ text {mod} 11
\ end {align}
Итак, $ n $ делится на 11 тогда и только тогда, когда $ -a + b-c + d $ делится на 11.
Специальные испытания
Проявив некоторую изобретательность, для некоторых целых чисел можно придумать конкретные тесты. Щелкните, чтобы увидеть несколько примеров и проблем.
7: «Удвойте единицы и вычтите из десятков», например $ 1365 \ rightarrow 136- (2 \ times 5) = 126 \ rightarrow 12- (2 \ times 6) = 0 $.Если цепочка заканчивается на $ 0 $ или кратном 7 $, то исходное число делится на $ 7 $.
11: «Вычтите единицы из десятков», например $ 1364 \ rightarrow 136-4 $ и т. Д.
Если цепочка заканчивается на $ 0 $, то исходное число делится на $ 11 $.
13: «Добавьте десятки к 4 долларам, умноженным на единицы», например $ 1365 \ rightarrow 136 + 20 $ и т. Д.
Если цепочка заканчивается кратным 13 $, то исходное число делится на $ 13 $.
19: «Добавьте сотни к сумме 4 доллара, умноженной на остаток», e.г. $ 1311 \ rightarrow 13 + 44 $ и т. Д.
Если цепочка заканчивается кратным 19 $, то исходное число делится на $ 19 $.
Задача: Можете ли вы объяснить, почему каждый из этих четырех тестов работает?
По счастливому «совпадению» 1001 доллар — это произведение 7 долларов, 11 долларов и 13 долларов. Этот факт лежит в основе другого теста на делимость на эти три простых числа: см. 2 \ times 11 = 396 $) независимо от того, где находятся цифры $ 5 $, $ 6 $, $ 7 $ и $ 8 $. расположены.
Поп-видео: удивительная делимость чисел
Стенограмма видео
В этом видео мы рассмотрим делимость чисел и найдем несколько удивительных результатов. Давайте просто подумаем о положительных счетных числах: один, два, три, четыре, пять и так далее. Они называются натуральными числами, и у нас даже есть этот специальный символ, который представляет натуральные числа.Теперь свойства, которые мы рассмотрим в этом видео, также работают с отрицательными счетными числами, но давайте пока не будем об этом беспокоиться.
Какая часть натуральных чисел делится на два? Ну, любое другое число кратно двум: два, четыре, шесть, восемь, 10 и так далее. Таким образом, половина натуральных чисел делится на два. Если бы вы выбирали натуральное число наугад, в половине случаев вы выбирали бы то, которое делится на два, а в другой половине случаев вы выбирали бы такое, которое не делится на два.
Хорошо, давайте подумаем, какая пропорция чисел делится на три. Ну, каждое третье число кратно трем. Таким образом, треть чисел делится на три. Если бы я попросил всех, кто смотрит это видео, выбрать наугад натуральное число, треть из вас выбрала бы число, кратное трем. И мы также можем видеть, что четверть натуральных чисел делится на четыре, пятая часть делится на пять и так далее.
Итак, попробуем поэкспериментировать.Честно говоря, это лучше всего работает, если вы находитесь в группе из 30 или более человек, и, возможно, некоторые из вас — например, в классе. Вам понадобится калькулятор, поэтому, если у вас его нет, приостановите воспроизведение видео и возьмите его. Правильно! Итак, я хочу, чтобы вы выбрали случайное трехзначное число, например, один, два, три; хотя я уверен, что вы придумаете что-нибудь более творческое, чем это. Теперь введите его в свой калькулятор. Теперь, чтобы сделать это немного интереснее с большими числами, я хочу, чтобы вы повторили эти три цифры, чтобы получилось шестизначное число.Так, например, мои два три превращаются в один, два, три, один, два, три.
И теперь у нас есть случайное шестизначное натуральное число. Итак, у половины из вас должно быть число, которое делится на два, у трети из вас должно быть число, которое делится на три, у четверти вас должно быть число, которое делится на четыре, и так далее. Но какая часть из вас будет иметь число, делимое на семь? Это седьмой? Что ж, попробуйте разделить свое шестизначное число на семь. Ответ целое число? Бьюсь об заклад, это для всех вас.Итак, эта пропорция равна единице, 100 процентам. У всех вас есть число, которое делится на семь.
Хорошо, очистите калькулятор и снова введите шестизначное число. Какая часть из вас имеет число, кратное 91? Так что разделите это число на 91 и посмотрите, получите ли вы целочисленный ответ. Вы могли подумать, что ответ будет 91-й, около одного процента, но пропорция — один, 100 процентов. У всех вас должно быть число, кратное 91.
Хорошо, последний раз очистите калькулятор; введите это шестизначное число еще раз.И новый вопрос: какая часть из вас имеет число, делимое на 143? Ну, это должно быть 143-е из вас, чуть больше половины процента. Но разделите это число на 143, и я думаю, все вы получите целочисленный ответ. Пропорция — один, 100 процентов, все вы. Так почему же нарушаются наши правильные пропорции делимости? Странно, а? Ну, может, и нет.
Давайте подумаем о том, что произошло, когда я сказал вам повторить ваши три случайные цифры, чтобы получить новое шестизначное случайное число.Итак, мы начинаем с трехзначного числа. В моем случае один был в столбце 100, два — в столбце 10, а три — в столбце единиц. Если я умножу это на 1000, я получу 123000. 1000 умножить на 100 равно 100000, 1000 умножить на 10 будет 10000, а 1000 умножить на единицу равно 1000. Таким образом, все эти цифры переместились в столбцы, у которых значение места в 1000 раз больше.
Теперь, если я снова добавлю свой исходный номер, я получу 123123. Итак, я взял свое исходное число, умножил его на 1000, а затем добавил еще один.У меня 1001 такое число. Я умножил свое исходное число на 1001. Это означает, что невинно звучащее повторение этих цифр на самом деле означает умножение вашего числа на 1001.
А теперь давайте отвлечемся. Вы, наверное, слышали о простых числах; это натуральные числа, в которых ровно два делителя. Возможно, вы использовали определение, что это числа, которые делятся только на единицу и сами по себе, но будьте осторожны, потому что одно не является простым числом, потому что у него только один множитель — единица.Итак, простые числа — это два, три, пять, семь, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 и так далее.
Теперь вы можете быть удивлены, узнав, что все натуральные числа больше единицы могут быть выражены как произведение некоторых простых чисел. Например, 210, и дважды 105 равно 210, а два — простое число, запомните. 105 может быть выражено как трижды 35, а тройка — простое число. 35 — это пять раз семь, а пять и семь — простые числа. Итак, дважды трижды пять раз семь — 210.И мы дважды называем произведение простых чисел на 210 дважды, трижды, пять и семь. число, если вы начинаете с целого числа больше единицы. Давайте сделаем то же самое для 1001. Итак, семь умножить на 143 дает 1001, а семь — простое число. И 11 умножить на 13 равно 143, и они оба простые числа. Итак, семь умножить на 11 умножить на 13 равно 1001; это произведение простых чисел на 1001.
Теперь, если мы вспомним наше шестизначное число, которое в 1001 раз больше нашего трехзначного числа, мы можем записать его вот так. Если 1001 равно семи умноженным на 11 умноженным на 13, мы можем заменить 1001 семизначным 11 умноженным на 13. Теперь, надеюсь, мы видим, что наше шестизначное число определенно делится на семь, потому что оно в семь раз больше, чем этот бит.
Так я узнал, что все ваши числа делятся на семь. Но умножение коммутативно, и это просто причудливый способ сказать, что мы получим один и тот же ответ, независимо от того, в каком порядке мы умножаем наши числа вместе.Таким образом, вместо того, чтобы писать семь раз 11 умножить на 13 умножить на 123, я мог бы написать семь раз 13 умножить на 11 умножить на 123. И поскольку семь умноженное на 13 равно 91, я знал, что ваше шестизначное число эквивалентно 91 умножению на что-то. Другими словами, оно делится на 91, или я мог бы умножить 13 и 11 вместе, чтобы получить 143, и это подсказало мне, что ваше число делится на 143.
Итак, используя немного математических знаний и аналитических навыков, мы Разгадали нашу маленькую загадку. Тщательно обдумав, какие математические операции нам нужно применить, чтобы получить шестизначное число из нашего исходного трехзначного случайного числа, мы увидели, что просто умножаем его на 1001.И, используя тот факт, что все натуральные числа больше единицы могут быть выражены как произведение простых чисел, мы можем сказать, что 1001 эквивалентно семи умноженным на 11 умноженным на 13. И, комбинируя эти простые множители по-разному, мы можем увидеть, что наши Все шестизначные числа делятся на семь, 11, 13 и семь умножить на 11, то есть 77, и семь умножить на 13, то есть 91, и 11 умножить на 13, то есть 143, и, конечно же, семь умножить на 11 умножить на 13, то есть 1001.
Затем я тщательно выбрал эти числа для вас, чтобы проверить делимость, поэтому я знал, что все они будут множителями всех ваших чисел.Если бы я выбрал для проверки какие-либо другие факторы, то применились бы нормальные пропорции делимости. Если бы я выбрал 12, тогда только у 12-го из вас были числа, делящиеся на 12. Если бы я выбрал 142, то только у 142-го из вас были бы числа, делящиеся на 142. Так что эта удивительная делимость в конце концов не так уж удивительна.
.
No related posts.

Делимость натуральных чисел контрольная работа: Контрольная работа №5 по теме «Делимость натуральных чисел».

Контрольная работа №1 по теме «Делимость натуральных чисел»

Контрольная работа № 1 по теме «Делители натуральных чисел», 5 класс

Контрольная работа по теме: Делимость натуральных чисел.

Математика 6 Мерзляк Контрольная работа 1

Математика 6 класс (Мерзляк)

Математика 6 Мерзляк КР-1 ОТВЕТЫ:

В учебных целях использованы цитаты из пособия:

Контрольная работа № 1 Делимость натуральных чисел 6 класс

Математика Мерзляк Контрольная 1 | Частная школа. 6 класс

Контрольная работа № 1 по математике 6 класс

Ответы на контрольную работу

Контрольная работа `Делимость натуральных чисел` 5 класс

Правила делимости (тесты)

делится на

Примеры:

Правила делимости

Пример: делится ли 723 на 3?

Факторы, которые могут быть полезны

Еще одно правило для 11

Пример: 286

Пример: 14641

Правила делимости для 7, 11 и 12

Правило делимости для 7

Правило делимости для 11

Правило делимости для 12

Правил делимости для 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10

Правила делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10

Правила делимости — Схема, Правила делимости от 1 до 13, Примеры

Что такое правила делимости?

Правила делимости от 2 до 12

Примеры правил делимости

Правила делимости простых чисел

Правила делимости 13, 17 и 19 примеров

Правила делимости Темы

Часто задаваемые вопросы о правилах делимости

Что означают правила делимости?

Что такое правило делимости 7 и 11?

Каковы правила делимости для чисел 2, 5 и 10?

Каковы правила делимости для 3, 6 и 9?

Каковы правила делимости для 8?

Что такое тест делимости числа 7?

Что такое тест делимости 2?

A История и руководство пользователя

Тесты на делимость

Кратное 2 и 5

Кратное 4 и 8

Кратное 3 и 9

Кратное 11

Кратное 7 и большие простые числа

Проверка делимости с использованием модульной арифметики

Специальные испытания

Поп-видео: удивительная делимость чисел

Стенограмма видео

Добавить комментарий Отменить ответ