Атанасян контрольные работы 10 класс: Контрольные работы по геометрии 10 класс УМК Л.С. Атанасян скачать

RT: время удерживания Ncc, RRT: отн. .

На основании полученных данных (рисунки 4 и 5) были предложены возможные структуры, а также предложен путь химического разложения, как показано на рисунке 6. Чтобы идентифицировать как можно больше продуктов реакции, как ESI-MS, так и MS / МС-эксперименты проводились в режимах положительных ионов с диапазоном сканирования 50–250 Да. NMP был обнаружен в режиме положительных ионов на высоте м / z 100,0759 Да с точностью измерения массы 1,0 ppm (рисунок 4 (b)). MS ² родительского на 100.07 Da показал основной дочерний ион на m / z 58 Da и второстепенный ион-продукт на m / z 72 Da (Рисунок 4 (b)). Одним из основных продуктов разложения, идентифицированных при ЖХ-УФ, был N-метилсукцинимид (НМС) (RRT 0,63) (рис. 3 (а)), это было подтверждено ЖХ / МС в режиме положительных ионов при м / z = 114,0552 Да с погрешностью по массе 2,1 ppm (рис. 4 (c)), главный дочерний ион на высоте м / z = 86 Да, и никаких обменных протонов не наблюдалось (рис. 4 (c)).Идентификация также была подтверждена с помощью стандарта. Основной продукт разложения при RRT 0,92 показал родительский ион при m / z 116,0708 Да и ион-продукт при m / z 73 Да (рис. 4 (d)). В обзоре Von Sonntag и Schuchmann [26] показано, что при окислении органических соединений в водной фазе может происходить одновременное образование гидроксикарбонильных и дикарбоновых соединений. Более того, Friesen et al. [25] также наблюдали одновременное образование NMS (дикарбонила) и 5-гидрокси-N-метилпирролидона (5-HNMP).Таким образом, образование 5-HNMP было предложено для неизвестного продукта разложения при RRT 0,92 на основании точности определения массы (1,46 ppm), хорошего согласия с моделями фрагментации (потеря CH ₂ CO) и данных анализа обмена дейтерия в виде одного протона наблюдалось. Идентификация также была подтверждена с помощью стандарта.

Что касается RRT 1.16, наблюдалась такая же моноизотопная протонированная масса, что и NMS ( m / z 114.0553 Да) (Рисунок 5 (a)). Аткинсон [27] показал, что 1-формил-2-пирролидон (FP) является важным первичным продуктом реакции окисления NMP в газовой фазе.Моноизотопная молекулярная масса FP составляет 113,0471 Да (точность определения массы 2,7 ppm), что соответствует молекулярной массе NMS. Анализ MS ² выявил образование одного доминирующего дочернего иона при m / z 98 Да. FP не имеется в продаже и не может быть подтвержден с помощью стандарта. Основной путь фрагментации FP включает потерю воды. Такая фрагментация приводит к образованию главного дочернего иона на m / z = 98 Да, таким образом подтверждая «предварительную» идентичность FP.Следовательно, вероятно, что FP может быть неидентифицированным первичным продуктом реакции, обнаруженным в LC-UV при RRT 1,16.

Образование соединения, обнаруженное на высоте м / z 118,0865 Да (RRT 0,27), может соответствовать гидролизу NMP до N-метил-4-аминобутановой кислоты (NM4ABA) в остаточной воде, содержащейся в NMP (Рисунок 4 (а)). Присутствие предложенной молекулы было предположено Zegota et al. [28] и подтверждено дальнейшими исследованиями [29]. Наконец, Драго и Райли [30] охарактеризовали NM4ABA во время окисления N-алкиламидов в водной фазе.К сожалению, коммерческие стандарты NM4ABA недоступны; следовательно, идентификация была основана исключительно на данных MS. Два протона, способных обмениваться дейтерием, наблюдались вместе с дочерними ионами при m / z = 100 и 88 Да, соответственно, и точность определения массы 2,2 ppm. Следовательно, вероятно, что пик при RRT 0,27 Да соответствует NM4ABA. Другие незначительные примеси, наблюдаемые при RRT 1,33, RRT 1,52 и RRT 1,82, показали путь окислительного разложения и не наблюдались в атмосфере азота.Поскольку идентификация незначительных примесей не является основной целью данного исследования, стандартное подтверждение не проводилось. RRT 1.82 был предложен как N-этилпирролидон (NEP), хорошо известная технологическая примесь. Протонированная моноизотопная ( м / z 114,0915 Да) масса согласовывалась с предложенной структурой с точностью определения массы 1,8 ppm (рисунок 5 (b)). MS ² показала основной фрагмент на высоте м / z 100, соответствующий потере CH ₃ . Эксперименты по обмену дейтерия дополнительно подтвердили предложенную структуру, поскольку обменных протонов не наблюдалось.Предлагаемый NEP следует путем окислительной деградации с образованием RRT 1,33 (разделенный пик) 1- (2-гидроксиэтил) -2-пирролидона (2-AP) на м / z 128,0710 Да (Рисунок 5 (d)) и RRT 1,52 (1-ацетил-2-пирролидон, 2-NEP) на м / z 130,0867 Да (рисунок 5 (c)). Обе деградации показали хорошую точность определения массы по сравнению с предложенными структурами (3,02 и 3,73 частей на миллион, соответственно). Фрагментация показала потерю CO (28 Да) для RRT 1,33 и потерю воды (18 Да) для RRT 1.52, а обменные протоны дополнительно подтвердили предложенные структуры.

3,6. Предлагаемые химические механизмы разложения

На основании идентифицированных продуктов реакции мы предлагаем механизм окисления / гидролиза NMP в неводной фазе в условиях кислорода и кобальт-натриевый Y-цеолитный катализатор (рисунок 6 (а)) в качестве основного разложения. путь. Это окисление частично останавливается с помощью инертной атмосферы. Реакция может протекать тремя разными путями (рис. 6 (а)).Путь I: Атака OH ^. радикалов протекает через отрыв водорода от группы CH ₂ , смежной с аминогруппой NMP [17]. Это приводит к образованию алкильного радикала, который реагирует с растворенным кислородом с образованием пероксирадикала. По аналогии с поведением в водной фазе других пероксирадикалов [25, 27], этот радикал может само реагировать с образованием тетроксида, который быстро разлагается до NMS. Путь II: Атака OH ^. радикалов происходит посредством отщепления водорода от метильной группы NMP.Этот путь приводит к образованию другого алкильного радикала, который затем реагирует с растворенным кислородом с образованием пероксирадикала. Этот пероксирадикал может само реагировать с образованием тетроксида, который быстро разлагается, что приводит к образованию FP. Анализ LC-UV подтвердил важность этого пути, поскольку FP составлял 11,4% деградации NMP. Этот второй путь ранее упоминался Friesen et al. [25] только кратко, и насколько нам известно, наше исследование является первым экспериментальным доказательством этого пути.Путь III: этот путь является более умозрительным, чем пути I и II. Аналогичный путь был ранее идентифицирован Horikoshi et al. [31–33], которые провели ОН-окисление 2P в водной фазе в присутствии твердой фазы TiO ₂ . В наших условиях, т.е. в отсутствие частиц, этого пути не было. Однако этот путь следует учитывать в реальных тропосферных условиях, поскольку в водных каплях присутствуют частицы твердой фазы различного происхождения. Это происходит по механизму раскрытия кольца, что приводит к образованию NM4ABA.Мы также предложили путь разложения незначительных примесей (рис. 6 (б)). Химия разложения в этом случае была аналогична предложенной для пути II.

4. Заключение

Это исследование подтвердило нашу гипотезу о том, что окисление NMP присутствует в процессе фотолитографии в текущих рабочих условиях удаления фоторезиста. Впервые pH NMP отслеживался на всем пути окислительного разложения NMP как в производственных, так и в экспериментальных процессах.Было продемонстрировано, что окисление коррелирует со снижением pH и что его можно остановить с помощью инертной атмосферы азота. Подкисление химической среды во время стадии отрыва коррелировало с растворением слоев переходного металла, осажденных на поверхности подложки пластины перед стадией отрыва. Мы определили pH как ключевую входную переменную процесса (KPIV) в фотолитографии и предлагаем внедрить строгие процессы для измерения и контроля pH NMP, чтобы избежать нежелательных коррозионных дефектов в конструкции пластины.Использование этого нового многоплатформенного аналитического подхода будет большим преимуществом для инженеров-технологов при оценке проблемных областей на начальной стадии фотолитографии. Следовательно, это исследование имеет значение для разработки процессов изготовления микроэлектроники, оптимизации критических этапов сборки пластины и демонстрирует необходимость большего контроля в отношении качества, стабильности и устойчивости промышленно приемлемых материалов, используемых в процессе фотолитографии.

Аббревиатуры

Доступность данных

Необработанные данные ЖХ / УФ, ИСП-ОЭС и ЖХ / МС, использованные для подтверждения результатов этого исследования, можно получить у соответствующего автора по запросу.

Конфликт интересов

Все авторы заявили об отсутствии конфликта интересов.

Благодарности

Авторы благодарны техническому персоналу Центра масс-спектрометрии Ольстерского университета, который предоставил экспертные знания, которые во многом помогли исследованию. Эта работа была поддержана Seagate Technology PLC, Лондондерри, Великобритания.

Дополнительные материалы

Рисунок S1: анализ сфокусированным ионным пучком (FIB) стека контактного считывателя, погруженного в NMP через 400, 980 и 1800 секунд, с использованием FEI FIB200TEM. Рисунок S2: экспериментальный план, используемый для каталитического окисления NMP в кислороде. По материалам Victor et al., 2015. Таблица S1: Составы калибровочных стандартных растворов ICP-OES. Таблица S2: Профиль градиента ЖХ / УФ и ЖХ / МС. (Дополнительные материалы)

Анализ продуктивного поведения учащихся при обучении с использованием немедленной корректирующей обратной связи в смешанной среде обучения

… • Начальный словарь / таксономия для успеваемости — Оценка зачисления — Удержание курса / отсев — Оценка за курс — Диапазон оценок за курс (например, AC, DF) — Успешен / не пройден курс — Оценка за экзамен -GPA -Оценка — Сохранение программы / отсев — Неуказанная успеваемость -Не применимо -Другое [7, 22, 46, 47, 62, 63, 71-73, 83, 87, 89, 94, 104, 107, 147, 149, 166, 172, 173, 177, 184, 186, 206, 208, 215, 218, 220, 231, 232, 244, 279, 296, 299, 315, 319, 327, 329, 337, 341, 358, 359, 373, 374, 407, 411, 424] Экзамен / Оценка или балл по окончании теста [9,10,21,24,33,35,52,59, 67, 68,77,80,81,85,90,96,109,114,116,127,136,152,162,163,169,193,195,199,202,205,214,217,224,233,238,241,270,274,275,277,384,224,233,238,241,270,274,275,277,384,246,360,360 или курс, курс, курс, курс [1] 14, 19, 21, 26, 27, 33, 34, 52, 57, 60, 64, 67-69, 74, 75, 78, 86, 93, 103, 105, 115, 118, 119, 122, 126- 128, 133, 138, 141, 142, 144, 146, 158, 159, 171, 173-175, 183, 187, 197, 200, 203, 210, 237, 238, 240, 248, 250, 268, 272, 273, 285, 286, 292, 303, 304 [52,54,59,60,65,82,92,105,106,123,124,127,143,151,165,179,187,188,195,209,216,223,228,239,242,251,256,264,286,309,310,352,364,365,376,383,389,395,399,408,415,16,75,16,75 или 3,89,395,399,408,415,16,75,16,75,15 , 97.100.101.117.125.132.134.187.199.229.234.245.247.271.276.280.281.288.290.294.295.298.300.328.334.342.343.367.371.392.410] курс удерживания / Выпадение [42,74,91,153,172,178,192,196,212,213,218,220,225,257,261,262,388,398,403,422] ГПД, или средний балл Диапазон (включая CGPA, SGPA) [4, 12, 28-32, 36, 37, 64, 66, 73, 113, 129, 135, 137 , 140, 149, 167, 181, 189, 206, 211, 218, 240, 249, 255, 263, 265, 266, 268, 291, 297, 322, 325, 339, 344, 345, 366, 385, 390 , 402, 405, 413] Диапазон оценок курса (e.g., AB / CF, прошел / не прошел) [17, 20, 38, 52, 58, 61, 77, 95, 108, 110, 111, 121, 126, 130, 139, 172, 174, 182, 194, 207, 222, 226, 227, 238, 254, 257, 258, 260, 267, 278, 289, 293, 316, 317, 323, 331, 332, 361, 363, 370, 379-381, 386, 402, 403, 406, 418, 421] Приобретение знаний [23,156,164,192,201,270,401,419] □ Определите факторы, используемые для прогнозирования. Опишите их так подробно, чтобы их понял читатель, не знакомый с вашим конкретным контекстом. …

Развитие исследований в области математического образования

% PDF-1.4 % 1 0 объект > эндобдж 5 0 obj > эндобдж 2 0 obj > эндобдж 3 0 obj > эндобдж 4 0 obj > поток

Изменены следствия теоремы.Теорема Чевы и измененная. Зачем все это нужно

Класс: 9

Задачи урока:

1. обобщить, расширить и систематизировать знания и умения студентов; научить использовать знания при решении сложных задач;
2. способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;
3. для развития логического мышления и математической речи учащихся, умения анализировать, сравнивать и обобщать;
4. воспитывать у студентов уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в команде.

Задачи урока:

• Образовательные: повторяют теоремы Менелая и Хевы; применяйте их при решении проблем.
• Развивающие: учат выдвигать гипотезы и умело отстаивать свое мнение доказательствами; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
• Образовательные: повысить интерес к предмету и подготовить к более сложным задачам.

Тип урока: урок по обобщению и систематизации знаний.

Оборудование: карточки для коллективной работы на уроке по данной теме, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, компьютер, мультимедийный проектор, экран.

На занятиях

I этап. Организационный момент (1 мин.)

Учитель разъясняет тему и цель урока.

Этап II. Обновление базовых знаний и навыков (10 мин.)

Учитель: На уроке мы вспоминаем теоремы Менелая и Чевы, чтобы успешно перейти к решению задач.Давайте вместе с вами посмотрим на экран. Для какой теоремы дана эта цифра? (Теорема Менелая). Постарайтесь четко сформулировать теорему.

Рисунок 1

Пусть точка A 1 лежит на стороне BC треугольника ABC, точка C 1 — на стороне AB, точка B 1 — на продолжении стороны AC за точку C. Точки A 1, B 1 и C 1 лежат на одной прямой, если и только если выполняется равенство

Учитель: Давайте вместе посмотрим на следующий рисунок. Сформулируйте теорему для этого рисунка.

Рисунок 2

Линия AD пересекает две стороны и является продолжением третьей стороны треугольника BMC.

По теореме Менелая

Линия MB пересекает две стороны и является продолжением третьей стороны треугольника ADC.

По теореме Менелая

Учитель: Какой теореме соответствует цифра? (Теорема Чевы). Сформулируйте теорему.

Рисунок 3

Пусть в треугольнике ABC точка A 1 лежит на стороне BC, точка B 1 — на стороне AC, точка C 1 — на стороне AB.Отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство

III этап. Решать проблемы. (22 мин.)

Класс делится на 3 команды, каждая из которых получает карточку с двумя разными задачами. Дается время на решение, затем на экране отображается … Используя готовые чертежи задач, представители команд поочередно объясняют свое решение. Каждое объяснение сопровождается обсуждением, ответами на вопросы и проверкой правильности решения на экране.В обсуждении принимают участие все члены команды. Чем активнее команда, тем выше ее оценивают при подведении итогов.

Карточка 1.

1. В треугольнике ABC на стороне BC берется точка N так, чтобы NC = 3BN; на продолжении стороны AC за точку A берется точка M так, чтобы MA = AC. Прямая MN пересекает сторону AB в точке F. Найдите отношение

2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рисунок 4

По условию задачи MA = AC, NC = 3BN.Пусть MA = AC = b, BN = k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника ABC и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Ответ:

Проба 2

Рисунок 5

Пусть AM 1, BM 2, CM 3 — медианы треугольника ABC. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что

Тогда по (обратной) теореме Чевы отрезки AM 1, BM 2 и CM 3 пересекаются в одной точке.

У нас:

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Карточка 2.

1. На стороне PQ треугольника PQR берется точка N, а на стороне PR — точка L, а NQ = LR. Пересечение отрезков QL и NR делит QL в соотношении m: n, считая от точки Q. Найдите

2. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рисунок 6

По условию NQ = LR, Пусть NA = LR = a, QF = км, LF = kn.Линия NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Ответ:

Проба 2

Рисунок 7

Покажем, что

Тогда по (обратной) теореме Чевы AL 1, BL 2, CL 3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника

Почленно умножая полученные равенства, получаем

Для биссектрис треугольника выполняется равенство Чевы, следовательно, они пересекаются в одной точке.

Карточка 3.

1. В треугольнике ABC AD — это медиана, точка O — это середина медианы. Прямая BO пересекает сторону AC в точке K. В каком отношении точка K делит AC, считая от точки A?

2. Докажите, что если окружность вписана в треугольник, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рисунок 8

Пусть BD = DC = a, AO = OD = m.Линия BK пересекает две стороны и является продолжением третьей стороны треугольника АЦП.

По теореме Менелая

Ответ:

Проба 2

Рисунок 9

Пусть A 1, B 1 и C 1 — точки касания вписанной окружности треугольника ABC. Чтобы доказать, что отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Равенство Чевы выполняется, что означает, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

IV этап. Решение задач (самостоятельная работа) (8 мин.)

Учитель: Работа команд окончена и теперь мы приступим к самостоятельной работе над индивидуальными карточками по 2 вариантам.

Материалы к уроку для самостоятельной работы студентов

Вариант 1. В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне AB берется точка K, разделив эту сторону в соотношении AK: BK = 2: 3, а на стороне AB сторона AC — точка L, делящая AC в соотношении AL: LC = 5: 3.Точка Q пересечения прямых SK и BL удалена от линии AB на некоторое расстояние. Найдите длину стороны AB. (Ответ: 4.)

Вариант 2. На стороне переменного тока в треугольнике ABC берется точка K. АК = 1, КС = 3. Со стороны АВ берется точка L. AL: LВ = 2: 3, Q — точка пересечения прямых BK и CL. Найти длину высоты треугольника ABC, выпавшего из вершины B. (ответ: 1.5.)

Работы переданы на проверку учителю.

Этап V. Подведение итогов (2 мин.)

Ошибки проанализированы, оригинальные ответы и комментарии отмечены. Подведены итоги работы каждой команды и выставлены оценки.

VI этап. Домашнее задание (1 мин.)

Домашнее задание состоит из задач № 11, 12 с. 289-290, № 10, с. 301.

Заключительное слово преподавателя (1 мин.).

Сегодня вы услышали математические речи друг друга и оценили свои способности. В будущем мы будем применять такие обсуждения, чтобы лучше понять предмет.Аргументы на уроке дружили с фактами, а теория — с практикой. Спасибо вам всем.

Литература:

1. Ткачук В.В. Математика для соискателя. — М .: МЦНМО, 2005.
.

ТЕОРЕМА ЧЕВЫ И МЕНЕЛЫ

Теорема Чевы

Большинство замечательных точек треугольника можно получить, используя следующую процедуру. Пусть существует какое-то правило, по которому мы можем выбрать некоторую точку A 1 , на стороне BC (или ее продолжении) треугольника ABC (например, выберите середину этой стороны).Затем строим аналогичные точки B 1, C 1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если правило выбора выполнено успешно, то прямые AA 1, BB 1, CC 1 пересекаются в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в точках один пункт).

Я хотел бы иметь какой-нибудь общий метод, который позволяет по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекаются ли соответствующие тройки прямых в одной точке или нет.

Универсальное условие, которое «закрыло» эту проблему, было найдено в 1678 году итальянским инженером Джованни Чева .

Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах (или их продолжения), называются шевианами, если они пересекаются в одной точке.

Есть два варианта расположения шевианов. В одном варианте осуществления точка

пересечения является внутренним, а концы шевианов лежат на сторонах треугольника.Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного шевиана лежит сбоку, а два других имеют концы на продолжениях сторон (см. Рисунки).

Теорема 3. ( Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике ABC на сторонах BC, CA, AB или их продолжениях берутся точки A соответственно 1 , ИН 1 , ИЗ 1 такие, что прямые AA 1 , BB 1 , SS 1 пересекаются в некоторой общей точке, затем

.

Обоснование: есть несколько оригинальных доказательств теоремы Чевы; мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Впервые выпишем соотношение теоремы Менелая для треугольника ABB 1 и секущей CC 1 (точка пересечения шевиана обозначена Z):

, г.

и второй раз для треугольника B 1 BC и секанс AA 1 :

.

Умножая эти два отношения и делая необходимые сокращения, мы получаем соотношение, содержащееся в формулировке теоремы.

Теорема 4. (обратная теорема Чевы) . Если для выбранных по сторонам треугольника ABC или их продолжения точек А 1 , ИН 1 и С 1 Чева Состояние выполнено:

, г.

затем прямо AA 1 , г. BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке .

Доказательство этой теоремы проводится от противного, как и доказательство теоремы Менелая.

Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы.

Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение. Рассмотрим отношение

для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе есть равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице.Следовательно, соотношение Чевы выполняется, следовательно, по обратной теореме медианы пересекаются в одной точке.

Теорема (теорема Шевы) … Пусть точки лежат на сторонах и треугольнике соответственно. Пусть отрезки и пересекаются в одной точке. Затем

(обойти треугольник по часовой стрелке).

Доказательства. Обозначим через точку пересечения отрезков прямой и … Опустим от точек и перпендикуляров к прямой, прежде чем пересекать ее в точках и соответственно (см. Рисунок).

Поскольку треугольники и имеют общую сторону, то их площади называются высотами, проведенными к этой стороне, то есть:

Последнее равенство верно, поскольку прямоугольные треугольники и имеют одинаковый острый угол.

Аналогично получаем

и

Умножим эти три равенства:

q.E.D.

О медианах:

1. Поместите единичные массы в вершины треугольника ABC.
2.Центр масс точек A и B находится в середине AB. Центр масс всей системы должен находиться посередине к стороне AB, так как центр масс треугольника ABC является центром масс центра масс точек A и B, а точка C.
(как оказалось сбивает с толку)
3. Точно так же CM должна лежать на медиане сторон AC и BC.
4. Поскольку CM является единственной точкой, все эти три медианы должны пересекаться в ней.

Кстати, сразу следует, что они делятся перекрестком в соотношении 2: 1.Поскольку масса центра масс точек A и B равна 2, а масса точки C равна 1, следовательно, общий центр масс согласно теореме о пропорции будет делить медианное значение в соотношении 2/1.

Большое спасибо, четко сказано, думаю, будет не лишним представить документ методами массовой геометрии, например:
Линии AA1 и CC1 пересекаются в точке O; AC1: C1B = p и BA1: A1C = q. Нам нужно доказать, что прямая BB1 проходит через точку O тогда и только тогда, когда CB1: B1A = 1: pq.
Поместите гири 1, p и pq в точки A, B и C соответственно. Тогда точка C1 — это центр масс точек A и B, а точка A1 — центр масс точек B и C. Следовательно, центр масс точек A, B и C с этими массами является точкой O пересечения. прямых CC1 и AA1. С другой стороны, точка O лежит на отрезке, соединяющем точку B с центром масс точек A и C. Если B1 — центр масс точек A и C с массами 1 и pq, то AB1: B1C = pq: 1.Остается заметить, что на отрезке AC есть одна точка, разделяющая его в этом отношении AB1: B1C.

2. Теорема Чевы

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется cheviana … Таким образом, если в треугольнике ABC Х , Y и Z — точки лежащие по бокам BC , CA , AB соответственно сегменты AX , BY , CZ являются чевианцами.Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни Чева, который опубликовал следующую очень полезную теорему в 1678 году:

Теорема 1,21. Если три шевиана AX, BY, CZ (по одной из каждой вершины) треугольника ABC конкурируют, то

| BX || XC | · | CY || YA | · | AZ || ZB | = 1 .

Когда мы говорим, что три линии (или сегмента) конкурентоспособны , то имеется в виду, что все они проходят через одну точку, которую мы обозначим P … Чтобы доказать теорему Чевы, напомним, что площади треугольников одинаковой высоты пропорциональны основаниям треугольников. Ссылаясь на рисунок 3, мы имеем:

| BX || XC | = SABXSAXC = SPBXSPXC = SABX − SPBXSAXC − SPXC = SABPSCAP.

Аналогично

| CY || YA | = SBCPSABP, | AZ || ZB | = SCAPSBCP.

Теперь, если мы их умножим, мы получим

| BX || XC | · | CY || YA | · | AZ || ZB | = SABPSCAP · SBCPSABP · SCAPSBCP = 1 .

Верна и обратная теорема к этой теореме:

Теорема 1.22. Если три чевиана AX, BY, CZ удовлетворяют соотношению

| BX || XC | · | CY || YA | · | AZ || ZB | = 1 ,

то они конкурентоспособны .

Чтобы показать это, предположим, что первые два Чевиана пересекаются в точке P , как и прежде, и третья шевиана, проходящая через точку P , составит CZ ′ … Тогда по теореме 1.21

| BX || XC | · | CY || YA | · | AZ ′ || Z′B | = 1 .

А по предположению

| BX || XC | · | CY || YA | · | AZ || ZB | = 1 .

Следовательно,

| AZ || ZB | = | AZ ′ || Z′B | ,

точка Z ′ совпадает с точкой Z , и мы доказали, что отрезки AX , BY и CZ соревновательные (стр. 54 и, стр. 48, 317).

Теорема Менелая или теорема о полном четырехугольнике известна со времен Древней Греции. Свое название он получил в честь своего автора — древнегреческого математика и астронома Менелай Александрийский (ок.100 г. н.э.). Эта теорема очень красивая и простая, но, к сожалению, в современном школьном курсе ей не уделяется должного внимания. А между тем во многих случаях он помогает очень легко и изящно решать довольно сложные геометрические задачи.

Теорема 1 (теорема Менелая) … Пусть ∆ABC пересекает прямая, которая не параллельна стороне AB и пересекает две ее стороны AC и BC в точках F и E соответственно, а прямая AB в точка D (рис.1) ,

, затем A F FC * CE EB * BD DA = 1

Примечание. Чтобы легко запомнить эту формулу, вы можете использовать следующее правило: двигайтесь по контуру треугольника от вершины к точке пересечения с прямой линией и от точки пересечения к следующей вершине.

Доказательства. Из вершин A, B, C треугольника проведите соответственно три параллельные линии, пока они не пересекутся с секущей линией. Получаем три пары одинаковых треугольников (знак сходства в двух углах). Подобие треугольников влечет следующие равенства

А теперь умножаем полученные данные на равенства:

Теорема доказана.

Чтобы ощутить всю красоту этой теоремы, попробуем решить предложенную ниже геометрическую задачу двумя способами: с помощью вспомогательной конструкции и с помощью теорем Менелая .

Цель 1.

В ∆ABC биссектриса AD делит сторону BC в соотношении 2: 1. В каком соотношении медиана CE делит эту биссектрису?

Решение.

Использование вспомогательной конструкции:

Пусть S — точка пересечения биссектрисы AD и медианы CE.Построим ∆ASB до параллелограмма ASBK. (рис.2)

Очевидно SE = EK, так как пересечение параллелограмма делит диагонали пополам. Рассмотрим теперь треугольники ∆CBK и ∆CDS. Нетрудно заметить, что они похожи (признак сходства в двух углах: и как внутренние односторонние углы с параллельными прямыми AD и KB и секущей CB). Подобие треугольника подразумевает следующее:

Используя условие, получаем:

CB CD = CD + DB CD = CD + 2CD CB = 3CD CD = 3

Теперь обратите внимание, что KB = AS, как противоположные стороны параллелограмма.Тогда

AS SD = KB SD = CB CD = 3

Использование теоремы Менелая.

Рассмотрим ∆ABD и применим к нему теорему Менелая (прямая, проходящая через точки C, S, E, является секущей):

BE EA * AS SD * DC CB = 1

По условию теоремы у нас BE / EA = 1, так как CE — медиана, а DC / CB = 1/3, как мы рассчитали ранее.

1 * АС СД * 1 3 = 1

Отсюда получаем AS / SD = 3 На первый взгляд оба решения достаточно компактны и примерно равноценны.Однако идея дополнительной конструкции для школьников часто оказывается очень сложной и совсем не очевидной, тогда как, зная теорему Менелая, ему нужно только правильно ее применить.

Рассмотрим другую задачу, в которой теорема Менелая работает очень элегантно.

Цель 2.

На сторонах AB и BC ∆ABC даны точки M и N соответственно такие, что выполняются следующие равенства

AM MB = CN NA = 1 2

В каком соотношении точка пересечения S отрезков BN и CM делит каждый из этих отрезков (рис.3)?

Решение.

Рассмотрим ∆ABN. Применим теорему Менелая для этого треугольника (прямая, проходящая через точки M, S, C, является секущей)

AM MB * BC SN * CN CA = 1

Из условия задачи имеем: AM MB = 1 2

NC CA = NC CN + NA = NC CN + 2NC = NC 3 NC = 1 3

Подставляем эти результаты и получаем:

1 2 * БС СН * 1 3 = 1

Отсюда BS / SN = 6.И, следовательно, точка S пересечения отрезков BN и CM делит отрезок BN в соотношении 6: 1.

Рассмотрим ∆ACM. Применим теорему Менелая для этого треугольника (прямая, проходящая через точки N, S, B, является секущей):

AN NC * CS SM * MB BA = 1

Из постановки задачи имеем: AN NC = 2

МБ BA = MB BM + MA = 2MA 2MA + MA = 2MB 3MA = 2 3

Подставляем эти результаты и получаем:

2 * КС СМ * 2 3 = 1

Отсюда CS / SM = 3/4

Это означает, что точка S пересечения отрезков BN и CM делит отрезок CM в соотношении 3: 4.

Верна и обратная теорема Менелая. Часто это бывает даже полезнее. Это особенно хорошо работает в задачах доказательства. Часто с его помощью красиво, легко и быстро решаются даже олимпиадные задачи.

Теорема 2 (обратная теорема Менелая). Пусть дан треугольник ABC и точки D, E, F принадлежат прямым BC, AC, AB соответственно (обратите внимание, что они могут лежать как на сторонах треугольника ABC, так и на их продолжениях) (рис. 4) .

Тогда если AF FC * CE EB * BD DA = 1

то точки D, E, F лежат на одной прямой.

Доказательства. Докажем теорему от противного. Предположим, что соотношение из условий теоремы выполнено, но точка F не лежит на прямой DE (рис. 5).

Обозначим точку пересечения прямых DE и AB буквой O. Теперь применим теорему Менелая и получим: AE EC * CD DB * BO OA = 1

Но, с другой стороны, равенство BF FA = BO OA

не может быть выполнен.

Следовательно, соотношение из условий теоремы не может быть выполнено. Получили противоречие.

Теорема доказана.

, при полном или частичном копировании материала ссылка на источник обязательна.

А.В. Шевкин

ФМС № 2007

Теоремы Чевы и Менелая на экзамене

Подробная статья «Вокруг теорем Шевы и Менелая» опубликована на нашем сайте в разделе СТАТЬИ.Он адресован учителям математики и старшеклассникам, которые заинтересованы в хороших знаниях математики. Вы можете вернуться к нему, если хотите разобраться в проблеме более подробно. В этой заметке мы предоставим краткую информацию из указанной статьи и проанализируем решения задач из сборника для подготовки к ЕГЭ-2016.

Теорема Чевы

Дан треугольник ABC и на его сторонах AB , BC и AC отмечены точки C 1, A 1 и B 1 соответственно (рис.1).

a) Если отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке, то

б) Если равенство (1) верно, то отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке.

На рисунке 1 показан случай, когда отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке внутри треугольника. Это так называемый случай внутренней точки. Теорема Чевы также верна в случае внешней точки, когда одна из точек И 1, B 1 или ОТ 1 принадлежит стороне треугольника, а две другие принадлежат продолжениям треугольника. стороны треугольника.В этом случае точка пересечения отрезков AA 1, BB 1 и CC 1 лежит вне треугольника (рис. 2).

Как вспомнить равноправие Чевы?

Обратим внимание на технику запоминания равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении пересечения вершин треугольника ABC , начиная с точки A … Из точки A переходим в точку B , встречаем точку ИЗ 1, записываем дробь
… Далее из точки В идем в точку ИЗ , встречаем точку И 1, записываем дробь
… Наконец, из точки ИЗ переходим в точку И , встречаем точку В 1, записываем дробь
… В случае внешней точка, порядок записи дробей сохраняется, хотя две «точки деления» сегмента находятся за пределами своих сегментов.В таких случаях говорят, что точка разделяет сегмент внешне.

Обратите внимание, что любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой прямой, содержащей противоположную сторону треугольника, называется cheviana .

Рассмотрим несколько способов доказательства утверждения а) теоремы Чевы для случая внутренней точки. Для доказательства теоремы Чевы необходимо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже методов, а также доказать утверждение б).Доказательство утверждения б) проводится после первого способа доказательства утверждения а). Доказательства теоремы Чевы для случая внешней точки аналогичны.

Доказательство утверждения а) теоремы Чевы с использованием теоремы о пропорциональных отрезках

Пусть три чевиана A A 1, B B 1 и C C 1 пересекаются в точке Z внутри треугольника ABC .

Идея доказательства состоит в том, чтобы заменить отношения отрезков из равенства (1) на отношения отрезков, лежащих на одной прямой.

Через точку IN проведите прямую линию, параллельную шевиане SS 1. Прямой AA 1 пересекает построенную линию в точке M , и прямая, проходящая через точку C и параллель AA 1, — в точке T … Через точки И и ИЗ проведем прямые параллельные чевианы BB 1. Они пересекут линию VM в точках N и R соответственно (рис.3).

P по теореме о пропорциональных отрезках, имеем:

, г.
и
.

Тогда равенства

.

В параллелограммах ZСTM и ZCRB отрезки TM , СZ и ВR равны противоположным сторонам параллелограмма. Значит,
и верно равенство

.

При доказательстве утверждения б) мы используем следующее утверждение. Рисунок: 3

Лемма 1. Если точки ОТ 1 и ОТ 2 делят отрезок AB внутренним (или внешним) способом в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки, то эти точки совпадают.

Докажем лемму для случая, когда точки ОТ 1 и ОТ 2 делят отрезок AB внутренне одинаково:
.

Доказательства. Из равенства
следуют равенства
и
… Последнее из них выполняется только при условии, что ИЗ 1 B и ИЗ 2 B равны, то есть при условии, что точки ОТ 1 и ИЗ 2 одинаковы.

Доказательство леммы для случая, когда точки ОТ 1 и ОТ 2 делят отрезок AB внешне, проводится аналогично.

Доказательство части б) теоремы Чевы

Пусть теперь выполняется равенство (1). Докажем, что отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке.

Пусть чевианы AA 1 и BB 1 пересекаются в точке Z , проведем через эту точку отрезок CC 2 ( ИЗ 2 лежит на отрезке AB ).Тогда на основании утверждения а) получаем правильное равенство

. (2)

И сравнивая равенства (1) и (2), мы заключаем, что
, то есть точки ОТ 1 и ОТ 2 делят сегмент AB в том же отношении, считая от одной и той же точки. Из леммы 1 следует, что точки ИЗ 1 и ИЗ 2 совпадают. Это означает, что сегменты AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке, как требуется.

Можно доказать, что процедура записи равенства (1) не зависит от того, в какой точке и в каком направлении пересекаются вершины треугольника.

Упражнение 1. Найдите длину сегмента И N на Рисунке 4, где показаны длины других сегментов.

Ответ. 8.

Задача 2. Chevians AM , BN , CK пересекаются в одной точке внутри треугольника ABC … Найдите отношение
, если
,
… Рисунок: 4

Ответ.
.

P Приведем доказательство теоремы Чевы из статьи. Идея доказательства состоит в том, чтобы заменить отношения отрезков из равенства (1) на отношения отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть прямые A A 1, B B 1, C C 1 пересекаются в точке O внутри треугольника ABC (рис.5). Поперек вершины ОТ треугольника ABC проведите прямую, параллельную AB , и точки ее пересечения с прямыми A A 1, B B 1 обозначают соответственно A 2, В 2.

Из подобия двух пар треугольников CB 2 B 1 и ABB 1, BAA 1 и CA 2 A 1, рис.пять

имеем равенства

, г.
. (3)

Из подобия треугольников BC 1 O и B 2 CO , A ОТ 1 O и A 2 CO имеем равенства
, из которых следует, что

. (4)

P Умножая равенства (3) и (4), получаем равенство (1).

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Рассмотрим доказательства утверждения а) теоремы Чевы с использованием площадей для внутренней точки.Это изложено в книге А.Г. Мякишева и опирается на утверждения, которые мы сформулируем в виде задач 3 и 4 .

Задача 3. Отношение площадей двух треугольников с общей вершиной и оснований, лежащих на одной прямой, равно отношению длин этих оснований. Докажите это утверждение.

Задача 4. Докажите, что если
, то
и
… Рисунок: 6

Пусть отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в точке Z (рис.6), затем

, г.
. (5)

И из равенств (5) и второй постановки задачи 4 следует, что
или
… Аналогично, мы находим, что
и
… Умножая последние три равенства, получаем:

,

, то есть равенство (1) выполняется, как и требуется.

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Задание 15. Пусть Чевианы пересекаются в одной точке внутри треугольника и разделят его на 6 треугольников, площади которых равны S 1, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6 (рис.7). Докажи это. Рисунок: 7

Задача 6. Найдите площадь S треугольник CNZ (площади остальных треугольников показаны на рисунке 8).

Ответ. 15.

Задача 7. Найдите площадь S треугольника CNO , если площадь треугольника AND NO равна 10 и
,
(рис.9).

Ответ. 30.

Задача 8. Найдите площадь S треугольника CNO , если площадь треугольника AND BC равна 88 и,
(рис.9).

Раствор R. Так как, то обозначим
,
… Как , то обозначим
,
… Теорема Чевы означает, что
, а затем
… Если
, то
(рис.10). У нас есть три неизвестных величины ( x , y и S ), поэтому, чтобы найти S , составим три уравнения.

Как
, затем
= 88. Начиная с
, затем
, откуда
… Как
, затем
.

Итак,
откуда
… Рис десятка

Назначение 9 . В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и B C .
,
. P AL и CK … Площадь треугольника PBC равна 1. Найдите площадь треугольника ABC .

Ответ. 1,75.

Теорема Т Менелая

Дан треугольник ABC и на его сторонах AC и CB отмечены точки B 1 и A 1 соответственно, а на продолжении стороны AB точка обозначена C 1 (рис.11).

a) Если точки И 1, B 1 и ИЗ 1 лежат на одной прямой, то

. (6)

б) Если равенство (7) верно, то точки И 1, B 1 и ИЗ 1 коллинеарны. Рис.11

Как помнить о равенстве Менелая?

Способ запоминания равенства (6) такой же, как и для равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC — сверху вниз, проходя через точки деления (внутренние или внешние).

Задача 10. Докажите, что запись равенства (6) из любой вершины треугольника в любом направлении дает тот же результат.

Для доказательства теоремы Менелая необходимо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже методов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) проводится после первого способа доказательства утверждения а).

Доказательство утверждения а) с помощью теоремы о пропорциональных интервалах

I путь. а) Идея доказательства состоит в замене соотношений длин отрезков в равенстве (6) на отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой.

Пусть точки И 1, B 1 и ИЗ 1 лежат на одной прямой. Через точку C проведем прямую l , параллельную прямой AND 1 B 1, она пересекает линию AB в точке M (рис.12).

R
есть. 12

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:
и
.

Тогда верны равенства
.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая

Пусть теперь равенство (6) выполнено, докажем, что точки И 1, B 1 и ИЗ 1 лежат на одной прямой. Пусть прямые AB, и AND 1 B 1 пересекаются в точке ОТ 2 (рис.13).

Поскольку точки И 1 B 1 и ИЗ 2 лежат на одной прямой, то по утверждению а) теоремы Менелая

. (7)

Сравнивая равенства (6) и (7), получаем
, откуда следует, что равенства

, г.
, г.
.

Последнее равенство верно только при условии
, т.е. если точки ИЗ 1 и ИЗ 2 совпадают.

Утверждение б) теоремы Менелая доказано.Рис.13

Доказательство утверждения а) с использованием подобия треугольников

Идея доказательства состоит в том, чтобы заменить отношения длин отрезков из равенства (6) на отношения длин отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть точки И 1, B 1 и ИЗ 1 лежат на одной прямой. Из точек A , B и C проведите перпендикуляры AA 0, B B 0 и SS 0 к этой прямой (рис.14).

R
есть. четырнадцать

Из подобия трех пар треугольников AA 0 B 1 и CC 0 B 1, CC 0 A 1 и BB 0 A 1, C 1 B 0 B и C 1 A 0 A (под двумя углами) имеем правильные равенства

, г.
, г.
,

умножая их, получаем:

.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Подтверждение утверждения a) с использованием областей

Идея доказательства состоит в замене отношения длин отрезков из равенства (7) на отношение площадей треугольников.

Пусть точки И 1, B 1 и ИЗ 1 лежат на одной прямой. Соедините точки C и C 1. Обозначим площади треугольников S 1, S 2, S 3, S 4, S 5 (рис.15).

Тогда равенства

, г.
, г.
. (8)

Умножая равенства (8), получаем:

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

R
есть. 15

Точно так же, как теорема Шевы остается верной, если точка пересечения хевианов находится вне треугольника, теорема Менелая остается верной, если секущая пересекает только продолжения сторон треугольника. В этом случае можно говорить о пересечении сторон треугольника во внешних точках.

Доказательство утверждения а) для случая внешних точек

P секущая устье пересекает стороны треугольника ABC во внешних точках, т. Е. Пересекает продолжения сторон AB , BC и AC в точках C 1, A 1 и B 1 соответственно, и эти точки лежат на одной прямой (рис. 16).

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

и.

Тогда равенства верны

Утверждение а) теоремы Менелая доказано. Рис шестнадцать

Отметим, что приведенное выше доказательство совпадает с доказательством теоремы Менелая для случая, когда секущая пересекает две стороны треугольника во внутренних точках и одну — во внешней.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая для случая внешних точек аналогично приведенному выше доказательству.

Задания 11. В треугольнике ABC точки И 1, IN 1 лежат соответственно на сторонах Sun и A FROM . P — точка пересечения отрезков AA 1 и BB 1 .
, г.
… Найдите отношение
.

Решение. Обозначим
,
, г.
, г.
(рис.17). По теореме Менелая для треугольника BC IN 1 и секущей PA 1 запишем правильное равенство:

,

, откуда следует, что

… Фиг.17

Ответ. .

Задания 12 (МГУ, заочная подготовка). В треугольнике ABC , площадь 6, сбоку AB точка взята TO , разделяет эту сторону относительно
и на стороне AS — точка L , деление AS во взаимосвязи
… Точка P пересечения прямых SC и IN L удален от прямой AB на расстоянии 1.5. Найдите длину стороны AB.

Решение. От точек R и ОТ опускаем перпендикуляры PR и CM на прямой AB … Обозначим
,
, г.
, г.
(рис.18). По теореме Менелая для треугольника AKC и секущей PL мы записываем правильное равенство:
, откуда получаем
,
… Рис.18

Из подобия треугольников TO MC и TO RP (в двух углах) получаем, что
, откуда следует, что
.

Теперь, зная длину высоты, удерживаемой на стороне AB треугольника ABC , и площадь этого треугольника, вычисляем длину стороны:
.

Ответ. 4.

Задания 13. Три окружности с центрами И , IN , ИЗ , , чьи радиусы связаны как
, касаются друг друга снаружи в точках X , Y , Z , как показано на рисунке 19.Отрезки AX и BY пересекаются в точке O . В каком отношении, считая от точки B , отрезок CZ делит отрезок BY ?

Решение. Обозначим
,
, г.
(рис. 19). Как и
, то по утверждению б) теоремы Чевы отрезки И , X , BY и ОТ Z пересекаются в одной точке — точке O … Затем сегмент CZ делит сегмент BY в соотношении
… Давайте найдем это отношение. Рис девятнадцать

По теореме Менелая для треугольника BCY и секущей OX имеем:
, откуда следует, что
.

Ответ. .

Задание 14 (ЕГЭ-2016).

Точки IN 1 и ОТ AS и AB треугольник ABC и AB 1: B 1 ОТ =
= КАК 1: ИЗ 1 B … Прямой BB 1 и SS 1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что линия АО половинки сбоку вс.

AB 1 OC 1 на площадь треугольника ABC , если известно, что AB 1: B 1 ОТ = 1: 4.

Решение. а) Пусть прямая АО пересекает сторону BC в точке A 1 (рис.20). По теореме Шевы имеем:

. (9)

Как AB 1: B 1 ИЗ = AS 1: ИЗ 1 B , то равенство (9) означает, что
, то есть CA 1 = AND 1 B , как требуется для доказательства. Рис.20

б) Пусть площадь треугольника AB 1 O равно S . Как AB 1: B 1 ИЗ CB 1 O равняется 4 S , а площадь треугольника AOC равно 5 S … Тогда площадь треугольника AOB также 5 S , так как треугольники AOB и AOC имеют общее основание AO , а их вершины B и C равноудалены от прямой AO … При этом площадь треугольника AOC 1 равна S , as AS 1: ИЗ 1 B = 1: 4. Тогда площадь треугольника ABB 1 равна 6 S … Поскольку AB 1: B 1 ОТ = 1: 4, то площадь треугольника CB 1 O равна 24 S , а площадь треугольника ABC равно 30 S … Теперь находим отношение площадей четырехугольника AB 1 OC 1 (2 S ) на площадь треугольника ABC (30 S ), он равен 1:15.

Ответ. 1:15.

Задание 15 (ЕГЭ-2016).

Точки IN 1 и FROM 1 лежат на сторонах соответственно AS и AB треугольника ABC и AB 1: B 1 FROM =
= AS 1: ИЗ 1 B … Прямой BB 1 и SS 1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что линия АО половинки стороны вс.

б) Найдите отношение площади четырехугольника AB 1 OC 1 к площади треугольника ABC , если известно, что AB 1: B 1 ИЗ = 1: 3.

Ответ. 1:10.

Задания 1 6 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взято точка ОТ … Биссектриса BL ABC с фундаментом Sun BLD с фундаментом BD .

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cos
ABC DL, т.е. треугольник BD точка, взятая ИЗ … Биссектриса BL равнобедренный треугольник ABC с основанием Солнце является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с фундаментом BD .

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cos ABC =.В каком отношении прямая DL разделяет сторону AB ?

Ответ. 4:21.

Литература

1. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Замечательные точки и линии треугольника. М .: Математика, 2006, № 17.

2. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. (Серия «Библиотека« Математическое образование »). М .: МЦНМО, 2002. — 32 с.

3. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику для 8-х классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Кадомцев и др. — М .: Вита-Пресс, 2005. — 208 с.

4. Эрдниев П., Манцаев Н. Теоремы Чевы и Менелая. М .: Квант, 1990, № 3. С. 56–59.

5. Шарыгин И.Ф. Теоремы Чевы и Менелая. М .: Квант, 1976, № 11. С. 22–30.

6. Вавилов В.В. Медианы и средние линии треугольника. М .: Математика, 2006, № 1.

7. Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. — 334 с.

8. Математика.50 вариантов типовых тестовых заданий / И.В. Ященко, М.А.Волькевич, И. Высоцкий и другие; изд. И.В. Ященко. — М .: Издательство «Экзамен», 2016. — 247 с.

Математика — 10 класс Мендель Виктор Васильевич, декан факультета естественных наук, математики и информационных технологий ДВГГУ ТЕОРИИ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЙ Особое место в планиметрии занимают две замечательные теоремы: теорема Чевы и теорема Менелая. Эти теоремы не входят в базовую программу школьного курса геометрии, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой немного больше, чем это возможно в рамках школьной программы… Чем интересны эти теоремы? Во-первых, отметим, что при решении геометрических задач продуктивно сочетаются два подхода: — один основан на определении базовой конструкции (например: треугольник — круг; треугольник — секущая; треугольник — три прямые. проходящий через его вершины и пересекающийся в одной точке; четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т. д.), а второй — метод опорных задач (простых геометрических задач, к которым сводится процесс решения сложной задачи).Итак, теоремы Менелая и Шевы относятся к числу наиболее распространенных построений: первая рассматривает треугольник, стороны или продолжения сторон которого пересекаются некоторой прямой (секущей), вторая — треугольником и тремя прямые, проходящие через его вершины, пересекающиеся в одной точке. Теорема Менелая Эта теорема, в которой наблюдаются (вместе с обратными) соотношениями, показаны отрезки, паттерн, соединяющий вершины треугольника и точки пересечения секущей со сторонами (продолжениями сторон) треугольника.На рисунках показаны два возможных случая расположения треугольника и секущей. В первом случае секущая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей, во втором — продолжение всех трех сторон треугольника. Теорема 1. (Менелай). Пусть ABC пересекает прямая, которая не параллельна стороне AB и пересекает две ее стороны AC и BC соответственно в точках B1 и A1, а прямая AB в точке C1, тогда AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Теорема 2.(обратная теореме Менелая). Пусть точки A1, B1, C1 в треугольнике ABC принадлежат прямым BC, AC, AB соответственно, тогда если AB1 CA1 BC1   1 B1C A1B C1 A, то точки A1, B1, C1 лежать на одной прямой. Доказательство первой теоремы можно провести следующим образом: перпендикуляры из всех вершин треугольника опускаются на секущую. В результате получились три пары одинаковых прямоугольных треугольников. Соотношения отрезков, фигурирующие в формулировке теоремы, заменяются соотношениями перпендикуляров, соответствующих им по подобию.Получается, что каждый отрезок — перпендикуляр в дробях будет присутствовать дважды: один раз в одной дроби в числителе, второй раз в другой дроби, в знаменателе. Таким образом, произведение всех этих соотношений будет равно единице. Обратная теорема доказывается от противного. Предполагается, что в условиях теоремы 2 точки A1, B1, C1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая A1B1 пересекает сторону AB в точке C2, отличной от точки C1. В этом случае в силу теоремы 1 для точек A1, B1, C2 будет выполнено то же соотношение, что и для точек A1, B1, C1.Отсюда следует, что точки C1 и C2 будут делить отрезок AB в одинаковом соотношении. Тогда эти точки совпадают — мы получили противоречие. Рассмотрим примеры приложений теоремы Менелая. Пример 1. Докажите, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в соотношении 2: 1, считая от вершины. Решение. Запишем соотношение, полученное в теореме Менелая для треугольника ABMb и прямой McM (C): AM c BM M bC    1. M c B MM b CA Первая дробь в этом произведении, очевидно, равна 1 , а третье второе отношение равно 1.Следовательно, 2 2: 1, как и положено. Пример 2. Секущая пересекает продолжение стороны AC треугольника ABC в точке B1, так что точка C является серединой отрезка AB1. Этот секанс делит сторону AB пополам. Найдите, в каком отношении он разделяет сторону BC? Решение. Запишем для треугольника и секанса произведение трех соотношений из теоремы Менелая: AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Из условий задачи следует, что первое отношение равно единице, а третье — 1, 2, поэтому второе отношение равно 2, т.е.е. То есть секущая делит сторону BC в соотношении 2: 1. Следующий пример применения теоремы Менелая мы встретим, когда будем рассматривать доказательство теоремы Шевы. Теорема Чевы Большинство замечательных точек треугольника можно получить с помощью следующей процедуры. Пусть существует какое-то правило, по которому мы можем выбрать некоторую точку A1 на стороне BC (или ее продолжении) треугольника ABC (например, выбрать середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B1, C1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон).Если правило выбора выполнено успешно, то прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке) . Я хотел бы иметь какой-то общий метод, который позволяет по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекаются ли соответствующие тройки прямых в одной точке или нет. Универсальное условие, которое «закрыло» эту проблему, было найдено в 1678 году итальянским инженером Джованни Чева.Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах (или их продолжениях), называются шевианами, если они пересекаются в одной точке. Есть два варианта расположения чевианов. В одном варианте осуществления точка пересечения является внутренней, а концы шевианов лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного шевиана лежит сбоку, а два других имеют концы на продолжениях сторон (см. Рисунки).Теорема 3. (Прямая теорема Шевы) В произвольном треугольнике ABC на сторонах BC, CA, AB или их продолжениях выбираются точки A1, B1, C1 соответственно, такие, что прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в некоторых общих точках. точка, то BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1. Доказательство: существует несколько оригинальных доказательств теоремы Шевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Впервые запишем связь теоремы Менелая для треугольника ABB1 и секущей CC1 (обозначим точку пересечения хевианов через Z): AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA и второй раз для треугольника B1BC и секущая AA1: B1Z BA1 ​​CA    1.ZB A1C AB1 Умножая эти два отношения и делая необходимые сокращения, получаем соотношение, содержащееся в формулировке теоремы. Теорема 4. (обратная теорема Чевы). Если для точек A1, B1 и C1, выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжений, выполняется условие Чевы: BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1, то прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Доказательство этой теоремы проводится от противного, как и доказательство теоремы Менелая. Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы.Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Решение. Рассмотрим отношение AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе есть равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице. Следовательно, соотношение Чевы выполняется, следовательно, по обратной теореме медианы пересекаются в одной точке. Задания для самостоятельного решения Предлагаемые здесь задания — это тест №1 для учащихся 9 класса.Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (не относящуюся к физике и информатике) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе: 1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий, 9 класс, математический) 2. Почтовый индекс, адрес проживания, e-mail (если есть), телефон ( дом или мобильный) 3. Информация о школе (например: МБОУ №1, поселок Бикин) 4. Фамилия, имя учителя математики (например: учитель математики Петрова М.И.) Рекомендуется решить не менее четырех задач.М 9.1.1. Может ли секущая из теоремы Менелая разрезать стороны треугольника (или их продолжения) на отрезки длины: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Сегменты могут быть в разном порядке. M 9.1.2. Могут ли внутренние шевианы треугольника делить его стороны на отрезки: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Сегменты могут идти в разном порядке. Подсказка: придумывая примеры, не забывайте проверять неравенство треугольника.M 9.1.3. Используя обратную теорему Шевы, докажите, что: а) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке; б) отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах, в которых эти стороны касаются вписанной окружности, пересекаются в одной точке. Направления: а) запомните, в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону; б) использовать то свойство, что отрезки двух касательных, проведенных из одной точки в определенную окружность, равны. М 9.1.4. Завершите доказательство теоремы Менелая, начатое в первой части статьи.M 9.1.5. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, используя обратную теорему Чевы. М 9.1.6. Докажите теорему Симпсона: из произвольной точки M, взятой на окружности, описанной вокруг треугольника ABC, опускаются перпендикуляры к сторонам или продолжениям сторон треугольника, докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой. Подсказка: используйте обратную теорему Менелая. Попробуйте выразить длину отрезков линии, используемых во взаимосвязях, через длины перпендикуляров, проведенных к их точке M.Также полезно запомнить свойства углов вписанного четырехугольника.

Таблица 10.9 Перпендикулярность прямого и плоского решения. Перпендикулярная прямая и плоскость, характеристика и условия перпендикулярности прямой и плоскости

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения этой прямой и плоскости.

На рисунке 131 показана прямая A в перпендикулярной плоскости a.

Т.2.9. Если прямая пересекающаяся плоскость перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения, она перпендикулярна плоскости.

Эта теорема называется признаком перпендикулярности прямого и плоского или теоремой о двух перпендикулярах.

На рисунке 132 показана прямая A, перпендикулярная прямой с прямой, проходящая через точку пересечения плоскости A и прямой A и лежащая в плоскости.Можно утверждать, что.

Следующие две теоремы относятся к взаимосвязи между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей.

Т.2.10. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна другой.

Т. 2.11. Два прямых, перпендикулярных одной плоскости, параллельных.

На рисунке 133 показана такая прямая A, а также плоскость A, которые упоминаются в теоремах 2.10 и 2.11.

Угол между прямой и плоскостью называется углом между этой прямой и ее проекцией на плоскость.

На рисунке 134 показаны плоскость A и прямая a, которые

пересекает. Direct A есть прямая проекция A на плоскость a. Тогда угол — это угол между прямой А и плоскостью а. Угол между параллельной прямой и плоскостью считается равным дуулу, а угол между перпендикулярной прямой и плоскостью составляет 90 °. Поскольку прямая А, ее проекция А на плоскость А и перпендикуляр к плоскости А в точке ее пересечения с прямой А лежат в одной плоскости, угол между прямой и плоскостью дополняет до 90 ° угла между этой прямой и прямой. перпендикулярно плоскости.

Пример. Длина 10 см пересекает плоскость, а его концы находятся на расстоянии 3 и 2 см от плоскости. Найдите угол между этим отрезком и плоскостью.

М .: 2014. — 80 с.

Пособие оформлено в виде таблиц и содержит более 350 заданий. Задания каждой таблицы соответствуют определенной теме учебного года по геометрии 10-11 классов и расположены внутри таблицы в порядке возрастания сложности.

Учитель математики, работающий в старшей школе, знает, как сложно научить учеников наглядно и правильно рисовать стереометрические задания.

Из-за отсутствия пространственного воображения задача стереометра, к которой рисунок нужно выполнить самостоятельно, часто становится для школьника невыносимой.

Именно поэтому использование готовых чертежей в стереометрических задачах значительно увеличивает количество рассматриваемого материала, повышает его эффективность.

Предлагаемое пособие является дополнительным сборником заданий по геометрии для учащихся классов общеобразовательной школы и ориентировано на учебник А.В.Погорелова «Геометрия 7-11». Это продолжение аналогичного пособия для учеников 7-9 классов.

Формат: PDF. (2014, 80с.)

Размер: 1,2 МБ

Watch, скачать: drive.google ; РГОСТ.

Формат: djvu. (2006, 80с.)

Размер: 1,3 МБ

Загрузить: drive.google

Содержание
Предисловие 3.
Повторение планиметрии 5
Таблица 1.Решение треугольников 5
Таблица 2. Треугольник Квадрат 6
Таблица 3. Площадь четырехугольника 7
Таблица 4. Квадрат четырехугольника 8
Стереометрия. Сорт 9.
Таблица 10.1. Аксиомы стереометрии и их простейшее исследование … 9
Таблица 10.2. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия. 10
Таблица 10.3. Параллельность прямых в пространстве. Пересечение прямых 11.
Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей 12
Таблица 10.5. Признак параллельности плоскостей 13
Таблица 10.6. Свойства параллельных плоскостей 14
Таблица 10.7. Изображение пространственных фигур на плоскости 15
Таблица 10.8. Изображение пространственных фигур на плоскости 16
Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости 17
Таблица 10.10. Перпендикулярность прямой и плоскости 18
Таблица 10.11. Перпендикулярно и наклонно 19
Таблица 10.12. Перпендикулярно и наклонно 20
Таблица 10.13. Теорема о трех перпендикулярах 21
Таблица 10.14. Теорема о трех перпендикулярах 22
Таблица 10.15. Теорема о трех перпендикулярах 23
Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскостей 24.
Таблица 10.17. Перпендикулярность плоскостей 25.
Таблица 10.18. Расстояние между пересеченными трассами
Таблица 10.19. Декартовы координаты в пространстве 27
Таблица 10.20. Угол между пересекающимися прямыми 28
Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью 29
Таблица 10.22. Угол между плоскостями 30
Таблица 10.23. Площадь ортогональной проекции многоугольника 31
Таблица 10.24. Векторы в пространстве 32
Стереометрия. 11 класс 33.
Таблица 11.1. Двугранный угол. Уголок трехмонтажный 33.
Таблица 11.2. Прямая призма 34.
Таблица 11.3. Правильная призма 35.
Таблица 11.4. Правильная призма 36.
Таблица 11.5. Наклонная призма 37.
Таблица 11.6. Параллелепипед 38.
Таблица 11.7. Построение призмы сечения 39
Таблица 11.8. Собственная пирамида 40.
Таблица 11.9. Пирамида 41.
Таблица 11.10. Пирамида 42.
Таблица 11.11. Пирамида. Усеченная пирамида 43.
Таблица 11.12. Построение секций пирамиды 44
Таблица 11.13. Цилиндр 45.
Таблица 11.14. Конус 46.
Таблица 11.15. Конус. Усеченный конус 47.
Таблица 11.16. Ball 48.
Таблица 11.17. Вписанный и описанный шар 49
Таблица 11.18. Объем параллелепипеда 50.
Таблица 11.19. Объем призмы 51.
Таблица 11.20. Объем пирамиды 52.
Таблица 11.21. Объем пирамиды 53.
Таблица 11.22. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды 54
Таблица 11.23. Объем и сторона боковой поверхности цилиндра..55
Таблица 11.24. Объем и площадь боковой поверхности конуса 56
Таблица 11.25. Объем конуса. Объем усеченного конуса. Площадь боковой поверхности конуса. Боковая поверхность усеченного конуса 57
Таблица 11.26. Чаша. Поверхность Поверхность 58
Ответы, инструкции, решения 59

6.1 Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Идея прямого, а точнее, о отрезках, перпендикулярных плоскостях, дает вертикально стоящие полюса (они перпендикулярны поверхности земли), натянутый шнур на на которых висит светильник (перпендикулярно потолку), ножки стола (они перпендикулярны полу).Вертикальная дверь двери перпендикулярна полу, а нижний край двери, прилегающий к полу, перпендикулярен джаматику во всех положениях двери (рис. 73, а). Это свойство определяется перпендикулярностью прямой и плоскости.

Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскостью, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения (рис. 73, б).

Рис. 73.

Также говорят, что плоскости перпендикулярны прямым или что они взаимно перпендикулярны.Для взаимно перпендикулярных прямой A и плоскости применяется обозначение A ⊥ α или α ⊥ a.

Вырез или балка перпендикулярна плоскости, если она лежит на прямой линии, перпендикулярной этой плоскости. Если отрезок перпендикулярен плоскости и его конец лежит в этой плоскости, то он называется перпендикулярным к этой плоскости.

6.2 Перпендикулярно и наклонно

Сегмент, имеющий одну общую точку плоскости, является концом сегмента, но не перпендикулярно этой плоскости, называется наклонной плоскостью.

Пусть из одной точки A, не лежащей в плоскости A, проведен перпендикуляр AB и наклонный динамик (рис. 74). Отрезок самолета называется проекцией наклонного динамика на плоскость α.

Рис. 74.

Короче перпендикуляр av наклонным динамиком, т.е. av

Это можно сказать так: перпендикуляр AB из точки A на плоскости α является самым коротким из отрезков, соединяющих точку A с точки плоскости α.

Свойство перпендикуляра быть самым коротким отрезком является характерным свойством.Это означает, что верно и обратное утверждение: если AV — кратчайший отрезок от точки A до плоскости α, то AB перпендикулярна плоскости α.

Доказательства. Докажем это методом от скверны. Предположим, что av перпендикулярно α. Затем через точку на плоскости α проходит прямая A, не перпендикулярная AB (рис. 75). Спускаемся с перпендикуляра am на прямой a. В прямоугольном треугольнике AVM Carthew AM без гипотенузы AV: am

Рис.75.

Длина перпендикуляра, опущенная от самой высокой точки объекта на его основании, измеряет высоту объекта. Таким образом, высотой пирамиды называется длина перпендикуляра, опущенного от вершины пирамиды к плоскости ее основания, а также самого перпендикуляра (на рисунке 76, A, B — разрез РО) .

Рис. 76.

6.3 О величине перпендикуляра

Перпендикуляр к плоскости играет очень важную роль и, кроме того, он самый короткий среди всех отрезков от этой точки до точек плоскости.Поясним его значение. Положение плоскости в пространстве можно задать, указав непосредственно обновленную и точку, в которой она пересекает эту прямую.

Самым важным свойством перпендикуляра является то, что плоскость расположена симметрично относительно него. Что это значит? Все лучи, лежащие в этой плоскости, образуют с ней равные углы — прямые, а для наклонных это не так (рис. 77, а). При вращении вокруг перпендикуляра плоскость совмещается сама с собой: колесо необходимо прибить к оси так, чтобы его плоскость была перпендикулярна оси.Прямоугольник со стороной, перпендикулярной плоскости, вы можете вращать вокруг этой стороны, а другая сторона будет скользить по плоскости. Это хорошо видно на правой двери. Если ее край не вертикальный, дверь не открывается свободно и ушибает пол.

Рис. 77.

На примерах из физики можно отметить, что давление жидкости или газа на стенку сосуда направлено перпендикулярно стенке, а также давление груза на стенку. опора направлена ​​перпендикулярно ей (рис.77, б и 78, а).

Рис. 78.

Перпендикуляр к поверхности проявляется в законах отражения и преломления света. Таким образом, закон отражения гласит: «Луч падает и луч отражается в одной плоскости с перпендикуляром к поверхности зеркала в точке падения и образуют с ним равные углы». «Угол падения» и «угол отражения» — это углы между указанным перпендикуляром и падающим и отраженным лучом (рис.78, б).

Но главная ценность перпендикуляра — это его роль в технике и во всей нашей жизни.

Можно сказать, в окружении перпендикуляров: ножки стола перпендикулярны полу, край шкафа перпендикулярен стене и т. Д.

Вертикаль перпендикулярна горизонтальной плоскости. Вертикаль проверяется отвесом (см. Фото). Перпендикулярность играет важную роль в строительстве: межслойные перекрытия укладываются перпендикулярно колоннам каркаса здания.

Как мы видим далее, параллельность плоскостей связана с наличием общего перпендикуляра. Перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей — существенный элемент в строительстве, поэтому учение о перпендикулярах и параллелях можно назвать основами «строительной геометрии».

Вопросы для самоконтроля

1. В чем разница между перпендикуляром к плоскости и наклонным к четности?
2. Какое определение перпендикуляра к плоскости вы знаете?
3. Какое значение перпендикуляра к плоскости?

Назад вперед

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в информационных целях и может не дать представление обо всех возможностях презентации.Если вам интересна эта работа, пожалуйста, скачайте полную версию.

Класс: 10.

Базовый учебник: Геометрия 10-11: Базовый и профильный уровни / Л.С. Атанасян, Дт.- М .: Просвещение, 2009.

К уроку прилагается презентация, тест, сделанный в Microsoft Excel для компьютерной проверки знаний студентов ( Приложение 1, ), образовательный модуль Федерального центра информационных и образовательных ресурсов ( Приложение 2.), состоящий из 5 заданий разного уровня сложности. Все задачи этого модуля параметризованы, что позволяет формировать индивидуальные задачи. Задачи предназначены для проверки решения задач по признаку прямой и плоской перпендикулярности. Для работы с обучающим модулем необходимо установить специальную программу, она находится в Приложении 3. . В презентации к уроку идет самостоятельная работа по изучаемой теме. Таким образом, количество предлагаемого материала является избыточным, что позволяет его дозировать, варьируя в зависимости от уровня подготовки класса.

Тип урока: урок творческого использования знаний.

Форма проведения: Мастерская решения ключевых задач.

Затраченное время: 45 минут.

Расположение в разделе : 4 урок.

Цели:

Обучение:

• «Раскройте» понятия перпендикулярно и наклонно к плоскости;
• для формирования навыков:
  см. Конфигурации, удовлетворяющие заданным условиям;
  применять определение прямого перпендикуляра к плоскости, признака перпендикулярности прямого и плоского к задачам доказательства;
• развивают навыки решения основных задач по перпендикулярности прямой и плоскости.

Разработка:

• развивать пространственное воображение, логическое мышление;
• развивать самостоятельность студентов и творческое отношение к выполнению заданий;
• организовать понимание результатов изучения темы и способов их достижения.

Образовательный:

• Поднять
  волю и упорство для достижения конечного результата при решении задач;
  Информационная культура и культура общения.

Методы: частичный поиск, исследование.

Формы организации: фронтальная, групповая, индивидуальная, самостоятельная работа.

Оборудование: компьютерный класс, мультимедийный проектор, экран, компьютерная презентация по теме, тест (Приложение 1), карточки для самостоятельной работы (слайд 9), карточки с вопросами теории, EOR с практическим параметризованным заданием (Приложение 2) .

Организационный момент — проверка готовности класса к уроку.

I. Мотивационно-оценочная часть.

1. Актуализация знаний.

— Сегодня мы продолжаем работу над темой «Перпендикулярность прямого и плоского». На последних уроках мы «открыли» определение прямого, перпендикулярного к плоскости признака перпендикулярности прямого и плоского, разобрали простейшие задачи. В качестве домашнего задания каждый из вас получил лист с вопросами теории, вам было предложено подготовить ответы на эти вопросы.

Проверьте, как вы справились с этой задачей.

Есть фронтальный осмотр. (слайды 6-8).

Подведены итоги устной работы, оценены отзывы студентов.

2. Формирование учебного задания.

Сегодня мы продолжим формировать умение применять известные утверждения в задачах для доказательства и при решении типовых задач.

1. Следующий этап работы — вызывают к доске двух учеников для самостоятельной работы над карточками, с остальными учениками идет фасадная работа по готовым рисункам. Карточки для индивидуальной работы:

Заданий для устной работы над готовыми рисунками:

— Ребята, в задачах 4-6 речь идет о наклонной плоскости.Как вы думаете, что я имею в виду?

Есть ли аналогия с концепциями перпендикуляра и наклона прямой, изучаемыми в планиметрии?

Студентам предлагается изучить презентации на слайде 10 и решить эти задачи.

2. Работа в паре — задачи решаются по готовым чертежам.

Решения обсуждаются. Ответы оцениваются отдельными студентами.

Следующий этап занятия — выполнение практического задания на компьютере, работающем с EOR.

III. Светоотражающая оценочная часть.

1. Итоговая работа Урок представляет собой контрольную работу в тестовой форме.

Подведены итоги занятия, выставлены сметы.

2. Домашнее задание: № 130, 131, 145, 148. (Примечание: используйте знак перпендикулярности прямой и плоскости).

Задания и упражнения по готовым рисункам, 10-11 классы, геометрия, Рабинович Э. М., 2006.

Оглавление
Предисловие.
Повторение плановой нормы.
Таблица 1. Решение треугольников.
Таблица 2. Треугольник квадрат.
Таблица 3. Четырехугольник квадрат.
Таблица 4. Квадрат четырехугольника. Стереометрия. Оценка 10.
Таблица 10.1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.
Таблица 10.2. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.
Таблица 10.3. Параллельность прямых в пространстве. Переход прямо.
Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей.
Таблица 10.5. Признак параллельности плоскостей.
Таблица 10.6. Свойства параллельных плоскостей.
Таблица 10.7. Изображение пространственных фигур на плоскости
Таблица 10.8. Изображение пространственных фигур на плоскости
Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Таблица 10.10. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Таблица 10.11. Перпендикулярно и наклонно.
Таблица 10.12. Перпендикулярно и наклонно.
Таблица 10.13. Теорема о трех перпендикулярах.
Таблица 10.14. Теорема о трех перпендикулярах.
Таблица 10.15. Теорема о трех перпендикулярах.
Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскостей.
Таблица 10.17. Перпендикулярность плоскостей.
Таблица 10.18. Расстояние между переездами по прямой.
Таблица 10.19. Декартовы координаты в пространстве.
Таблица 10.20. Угол между крестовинами прямой.
Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью.
Таблица 10.22. Угол между плоскостями.
Таблица 10.23. Площадь ортогональной проекции многоугольника
Таблица 10.24. Векторы в космосе. Системометрия. 11 класс.
Таблица 11.1. Двугранный угол. Три угловых.
Таблица 11.2. Прямая призма.
Таблица 11.3. Правильная призма.
Таблица 11.4. Правильная призма.
Таблица 11.5. Наклонная призма.
Таблица 11.6. Параллелепипед.
Таблица 11.7. Построение поперечных сечений призмы.
Таблица 11.8. Правильная пирамида.
Таблица 11.9. Пирамида.
Таблица 11.10. Пирамида.
Таблица 11.11. Пирамида. Усеченная пирамида.
Таблица 11.12. Построение секции пирамиды.
Таблица 11.13. Цилиндр.
Таблица 11.14. Конус.
Таблица 11.15. Кохук. Усеченный коук.
Таблица 11.16. Мяч.
Таблица 11.17. Вставленный и описанный мяч.
Таблица 11.18. Объем параллелепипеда.
Таблица 11.19. Объем призмы.
Таблица 11.20. Объем пирамиды.
Таблица 11.21. Объем пирамиды.
Таблица 11.22. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды.
Таблица 11.23. Объем и площадь боковой поверхности цилиндра.
Таблица 11.24. Объем и площадь боковой поверхности конуса.
Таблица 11.25. Объем конуса. Объем усеченного конуса. Площадь боковой поверхности конуса. Квадратная боковая поверхность усеченного конуса.
Таблица 11.26. Чаша. Поверхностный шар. Ответы, инструкции, решения

Скачайте бесплатно электронную книгу в удобном формате, смотрите и читайте:
Скачать книгу заданий и упражнений по готовым чертежам, 10-11 классы, геометрия, Рабинович Е.М., 2006 — ФайлыКачат.com, быстрая и бесплатная загрузка.

Скачать PDF.
Ниже вы можете купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по России.

МЕТОДОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ «ТРИГОНОМЕТРИИ» НА АНГЛИЙСКОМ языке мақаласы

Сагындык В ВИДЕ.

МЕТОДОЛОГИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ «ТРИГОНОМЕТРИЯ»

В АНГЛИЙСКИЙ

Новая эра дает нам много возможностей. процветание науки и Информация; каждый человек сможет достичь вершины познания.Чтобы соответствовать требованиям времени, мы должны стремиться вперед. И, конечно, это продвижение не может без новых знаний. В свою очередь, мы получаем знания от книга. Поскольку из 10 миллионов книг которые издаются в мире, 85% публикуются на английском языке и 80% связей между компьютером и человеком на английском языке мы будем необходимо знать международный язык, который откроет все двери для мир знаний.

Теперь все доступно. Например, человек может все заказать дома; даже ты можешь сделать покупки за покупками не выходя из дома.Все равно не будем уметь перечислить все возможности Интернета, которые подлежат современный человек.

Обучение выгодно сторона Интернета. Сегодня дистанционное обучение может позволить себе каждый через Интернет. Новые технологии позволяют людям объединяться и делиться их опыт, находясь на большом расстоянии друг от друга. Из этого можно понять, что современный мир мужчине, стремясь к новым навыкам, знаниям, везде есть возможности учиться.Если у вас есть доступ в Интернет, то вы можете самостоятельно выучить язык Мир.

В нашей стране с 2016-2017 учебного года предмет английского изучается с первого класса. А также в в будущем планируется введение трехъязычного обучение в школах Казахстана. В свою очередь, возникает вопрос: насколько сложно детям будет изучать математику на английском языке, который является одним из сложных предметов для учеников в школа.

Математика в Английский для школьников — это только сложная задача на первых порах взгляд, но с этим справится каждый ребенок! Математика на английском языке развивает не только логическое мышление школьников, расширяет словарный запас, учит думать по-английски, но также дает детям умение анализировать различные жизненные ситуации.Знание математики — это важно и полезно, но научить этому вдвойне эффективнее на английском.

Секция «Тригонометрия» школьного курса математики — самый сложно для студентов. Одна из причин этого — недостаточное количество программных часов, посвященных изучению этого раздел, а также поверхностное изложение некоторых важных вопросы, связанные с решением тригонометрических уравнений, подбор и изучение корней, решение тригонометрических неравенства.Учитывая все это, мы предлагаем электронные образовательные и методическое проектирование школы по теме «Тригонометрия».

Мы создали электронный учебник, ориентированный на расширение базового уровня знания школьников по математике; это предметно-ориентированный и дает студентам возможность познакомиться с интересные, нестандартные вопросы тригонометрии, с очень общие методы решения тригонометрических задач, чтобы проверить их способности по математике на английском языке.Вопросы, рассмотренные в курс выходит за рамки обязательного содержания. На В то же время они вплотную примыкают к основному блюду. Следовательно, это учебник будет способствовать совершенствованию и оформлению наиболее важные математические знания и навыки, предоставляемые школой учебный план, поможет оценить ваши способности в математика.

Мы рассмотрели четыре основных разделы:

І. Тригонометрический функции.

ІІ.Тригонометрический выражения.

ІІІ.Тригонометрические уравнения и системы уравнений.

ІV. Тригонометрический неравенства.

С помощью из нашего электронный дизайн студенты могут самостоятельно изучите лекции по этим разделам и изучите примеры для решения задания для самостоятельной работы. Помимо основных разделов в учебник, студенты могут познакомиться с терминологией на курс «Тригонометрия», пройти итоговое тестирование по материалам а также у каждого студента есть возможность изучить история тригонометрии и применения тригонометрии в человеческая жизнь.

Слово «тригонометрия» означает от древнегреческого τρίγωνον — «треугольник» и μετρέω «мера», то есть измерение треугольников.

Работа с другими предметные дисциплины, использование ИКТ и понимание математики Вот некоторые из новаторских подходов, применяемых школами для улучшения изучение математики. В частности, ряд мероприятия, представленные в тематических исследованиях, включают идеи о том, как студенты могут применить свои знания по тригонометрии в 3-х измерениях.Руководство содержит рекомендации о том, как спланировать увлекательное обучение. опыта и некоторые стратегии для разработки и работы с богатыми математическая деятельность.

Электронный учебные аспекты тригонометрии, часто используемые в области инженерное дело. Они включают использование тригонометрических соотношений, Теорема Пифагора и правила синусов и косинусов. Всесторонний примечания с четкими описаниями для каждого ресурса, вместе с соответствующими диаграммами и примерами. Студенты, желающие проанализировать и закрепить свои знания и понимание тригонометрия найдет их полезными, поскольку каждая тема включает отбор вопросов для заполнения, на которые даются ответы при условии.

Логика и организация математического мозга помогает решать задачи и каждая страница электронного учебника посвящена тригонометрия, показывающая, почему это полезно и что вы можете сделать с Это.

Вы обнаружите, что использование тригонометрии в следующие области, которые обычно преподаются на вводных курсах наук о Земле классы и многие другие:

• Масса трата — Расчет уклона крутизна, уклоны и силы на склоне холма, определяющие уклон стабильность

• Топографический карты — определяющий компас направление и ориентирование, расчет склонов, определение местоположения объектов и ориентиры, вычисление расстояния до далеких объектов прочь

• Структурный геология — измерение наклона горных пород, определяющих расположение горных пород в недрах, составление геологических карт.

• Океанография — Описание океана волны, расчет ветра и течения направление

• Плита tectonics — Измерение крутизна зон соблазнения

• Сейсмология — измерительная сейсмические волны, определяющие природу недр Земли через преломление

Номер ссылки

1. Атанасян Л.С. Геометрия, 10–11: Учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Кадомцев и др. — Издательство Просвещение. 2010 г.

2. Энциклопедия юного математик, 1987 г.

3. Ю. В. Пухначев, Ю.П. Попов. — «Научитесь применить математику »