СодержаниеУравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме. Граничные условия. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики. Пример. Приложение. Формула Остроградского-Гаусса. Формула Стокса. Список используемой литературы.

1. УравненияМаксвелла в дифференциальной и интегральной формах

Система уравнений, состоящая изуравнений Максвелла для электромагнитного поля и уравнений Ньютона для частиц,представляет собой единую систему уравнений, описывающую все явления,обусловленные электромагнитным взаимодействием (без учёта релятивистских иквантовых эффектов). Поэтому, строго говоря, их необходимо решать совместно взадачах электродинамики. Однако в такой наиболее общей постановке решать задачио взаимодействии электромагнитного поля с веществом чрезвычайно трудно.Сложность проблемы заключается в том, что вещество состоит из громадногоколичества частиц, движение которых каждой в отдельности невозможно описать. Стакой проблемой сталкиваются в классической механике при попытках описатьмеханическое движение газов, жидкостей и твёрдых тел. Чтобы обойти этутрудность физикам приходилось строить определённые модели механических систем:модель абсолютно твёрдого тела, модель сплошной среды и др. При изучениивзаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем также приходитсявводить некоторые модели. Одной из таких широко употребляемых, является модельсплошной среды, состоящая из электрических диполей (диэлектрик). Эта модель электрического диполя играет оченьважную роль в физике, так как атомы и молекулы представляют собой системызаряженных частиц, которые в целом нейтральны, но могут обладать отличным отнуля дипольным моментом и поэтому создавать электрическое поле.

Открытие тока смещения позволилоМаксвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теорияобъяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала рядновых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии. Основнымследствием теории Максвелла был вывод о существовании электромагнитных волн,распространяющихся со скоростью света.

Основу теории образуют уравненияМаксвелла. В учении об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль,как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике.Ниже приведена полная система уравнений Максвелла классической электродинамики в сплошнойсреде.

Первую пару уравнений Максвелла образуютуравнения:

<img src="/cache/referats/17407/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> (1)

<img src="/cache/referats/17407/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> (2)

Здесь вектор <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> — вектор напряжённостиэлектрического поля, <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> — вектор индукциимагнитного поля.

Первое из этих уравнений связываетзначение <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> с изменениями вектора <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> во времени и являетсяпо существу выражением закона электромагнитной индукции. Оно показывает, чтоисточником вихревого поля вектора <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> является меняющееся современем вихревое магнитное поле. Второе уравнение указывает на отсутствиеисточников магнитного поля, т.е. магнитных зарядов, как в вакууме, так и в намагниченномвеществе.

Вторую пару уравнений Максвеллаобразуют уравнения:

<img src="/cache/referats/17407/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> (3)

<img src="/cache/referats/17407/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> (4)

Где <img src="/cache/referats/17407/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1034"><img src="/cache/referats/17407/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1035"><img src="/cache/referats/17407/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1036"><img src="/cache/referats/17407/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> — поляризованность, <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1038"><img src="/cache/referats/17407/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> — объёмная плотностьзаряда.

Первое уравнение устанавливает связьмежду токами проводимости и токами смещения, и порождаемым ими магнитным полем.Второе показывает, что источниками вектора <img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> служат сторонниезаряды.

Вышеперечисленные уравненияпредставляют собой дифференциальную форму уравнений Максвелла. Можно отметить,что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля — <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> и <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1042"><img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> и <img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1044">

Можно отметить, что вид уравнений (2)и (4) не зависит от наличия среды, в то время как векторы <img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1045"> и <img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1046"><img src="/cache/referats/17407/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> и <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1048"><img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1049"><img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1050"><img src="/cache/referats/17407/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1051"> и <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1052"> следует определять,исходя из электрических и магнитных свойств вещества.

Выводя формулу (1), Максвеллпредположил, что изменяющегося со временем магнитное поле обусловливаетпоявление в пространстве поля <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1053">

Рассмотрим случай электромагнитнойиндукции, когда проволочный контур, в котором индуцируется ток, неподвижен, аизменения магнитного потока обусловлены изменениями магнитного поля.Возникновение индукционного тока свидетельствует о том, что изменения магнитногополя вызывают появление в контуре сторонних сил, действующих на носители тока.Эти сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами впроводе; они также не могут быть магнитными силами, потому что такие силы надзарядами работы не совершают. Остаётся заключить, что индукционный токобусловлен возникающим в проводе электрическим полем. Обозначим напряжённостьэтого поля <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> (это обозначениеявляется вспомогательным так же как и<img src="/cache/referats/17407/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1055"><img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1056">

<img src="/cache/referats/17407/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1057"> (1.1)

Подстановка в формулу <img src="/cache/referats/17407/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> выражения (1.1) для <img src="/cache/referats/17407/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1059"><img src="/cache/referats/17407/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> для <img src="/cache/referats/17407/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> приводит к соотношению

(интегралв правой части берётся по произвольной поверхности, опирающейся на контур).Поскольку контур и поверхность неподвижны, операции дифференцирования повремени и по поверхности можно поменять местами:

<img src="/cache/referats/17407/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1067"> (1.2)

В связи с тем, что вектор <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> зависит, вообщеговоря, как от времени, так и от координат, то можно написать под знакоминтеграла символ частной производной по времени (интеграл <img src="/cache/referats/17407/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1069"> является функциейтолько времени).

Левуючасть равенства (1.2) преобразуем по теореме Стокса. В результате получится:

Ввиду произвольности выбора поверхностиинтегрирования должно выполняться равенство

Ротор поля <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1072"><img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1073">

Это поле <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1074"><img src="/cache/referats/17407/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1075"> его линии начинаются и заканчиваютсяна зарядах. Ротор вектора <img src="/cache/referats/17407/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1076"> в любой

точке равен нулю:

Согласно (1.2) ротор вектора <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1078"> отличен от нуля.Следовательно, поле <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1079"> так же, как имагнитное является вихревым. Линии напряжённости <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1080"> замкнуты.

Таким образом, электрическое полеможет быть как потенциальным (<img src="/cache/referats/17407/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1081"><img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1063"> В общем случаеэлектрическое поле слагается из этих двух полей. Сложив вместе <img src="/cache/referats/17407/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> и <img src="/cache/referats/17407/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1065">

<img src="/cache/referats/17407/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> (1.3)

Существованиевзаимосвязи между электрическим и магнитным полями служит причиной того, чтораздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишьотносительный смысл. Действительно, электростатическое поле создаётся системойнеподвижных зарядов в одной системе координат, однако они могут двигатьсяотносительно другой инерциальной системы отсчёта и тогда они будут во второйсистеме подвижными, следовательно, будут создавать магнитное поле. Такимобразом, поле, которое относительно некоторой системы отсчёта оказывается«чисто» электрическим или «чисто» магнитным, относительно других систем отсчётабудет представлять собой совокупность электрического и магнитных полей,образующих единое электромагнитное поле.

Выводяформулу (3), Максвелл пересмотрел уравнения для ротора вектора <img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1082"> для случаястационарного (не изменяющегося со временем) электромагнитного поля, где роторвектора <img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1083"> равен в каждой точкеплотности тока проводимости:

<img src="/cache/referats/17407/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1084"> (3.1)

где вектор <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1090"> связан с плотностьюзаряда в той же точке уравнением непрерывности:

<img src="/cache/referats/17407/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1091"> (3.2)

Электромагнитное поле может бытьстационарным лишь при условии, что плотность заряда <img src="/cache/referats/17407/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1092"> и плотность тока <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1093"> не зависят от времени.В этом случае согласно (3.2) дивергенция <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1094"> равна нулю.

Поэтому можно выяснить, является лисправедливым уравнение (3.2) справедливым в случае изменяющихся со временемполей. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим при зарядкеконденсатора от источника постоянного напряжения U(рис. 1).

<img src="/cache/referats/17407/image073.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1070"> <img src="/cache/referats/17407/image075.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1071">U,ток прекращается). Линии тока проводимости терпят разрыв в промежутке междуобкладками конденсатора.

Возьмём круговой контур Г,охватывающий провод, по которому течёт ток к конденсатору, и проинтегрируемсоотношение (3.1) по пересекающеё провод поверхности S1, ограниченной контуром:

Преобразовав левую часть по теореме Стокса, получим циркуляциювектора <img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1096">

<img src="/cache/referats/17407/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1097"> (3.3)

(I– силатока заряжающего конденсатор). Проделав такие же вычисления для поверхности S2, придём кявно неверному соотношению:

<img src="/cache/referats/17407/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1098"> (3.4)

Полученный результат указывает на то, что в случаеизменяющихся со временем полей уравнение (3.1) перестаёт быть справедливым.Напрашивается вывод, что в этом уравнении отсутствует слагаемое, зависящее отпроизвольных полей во времени. Для стационарных полей это слагаемое обращаетсяв нуль.

На неправомерность уравнения (3.1) вслучае нестационарных полей указывает также, следующие соображения. Возьмёмдивергенцию от обеих частей соотношения (3.1):

Дивергенция ротора должна бытьобязательно равна нулю. Таки образом, можно прийти к выводу, что дивергенциявектора <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1100"> также должна бытьвсегда равной нулю. Однако этот вывод

противоречит уравнениюнепрерывности, где <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1101"> отлична от нуля.

Чтобы согласовать уравнения (3.1) и (3.2), Максвелл ввел в правую частьуравнения (3.1) дополнительное слагаемое. Естественно, что это слагаемое должноиметь размерность плотности тока. Максвелл назвал его плотностью токасмещения. Таким образом, согласно Максвеллу уравнение (3.1) должно иметьвид:

<img src="/cache/referats/17407/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1085"> (3.5)

Сумму токапроводимости и тока смещения принято называть полным током. Плотность полноготока равна:

<img src="/cache/referats/17407/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1086"> (3.6)

Если положитьдивергенцию тока смещения равной дивергенции тока проводимости, взятой собратным знаком,

<img src="/cache/referats/17407/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1087"> (3.7)

то дивергенция правой части уравнения (3.5), так же как идивергенция левой части, всегда будет равна нулю.

Заменив в (3.7) <img src="/cache/referats/17407/image093.gif" v:shapes="_x0000_i1088"> согласно (3.2) через <img src="/cache/referats/17407/image095.gif" v:shapes="_x0000_i1089">

<img src="/cache/referats/17407/image097.gif" v:shapes="_x0000_i1102"> (3.8)

Чтобысвязать ток смещения с величинами, характеризующими изменение электрическогополя со временем, воспользуемся соотношением:

Продифференцировав это соотношение по времени, получим:

Теперьпоменяем в левой части порядок дифференцирования по времени и по координа -там.В результате придём к следующему выражения для производной <img src="/cache/referats/17407/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1105"> по <img src="/cache/referats/17407/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1106">

Подстановкаэтого выражения в формулу (3.8) даёт:

Отсюда

<img src="/cache/referats/17407/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1109"> (3.9)

Подставиввыражение (3.9) в формулу (3.6), придём к уравнению

Каждое из векторных уравнений (1) и(3) эквивалентно трем скалярным уравнениям, связывающим компоненты векторов,стоящих в левой и правой частях равенств. Воспользовавшись правилом раскрытия дифференциальныхоператоров, можно записать их в следующем виде:

<img src="/cache/referats/17407/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1111"> <img src="/cache/referats/17407/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1112"> <img src="/cache/referats/17407/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1113"> (5)

<img src="/cache/referats/17407/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1114"> (6)

для первой пары уравнений, и:

<img src="/cache/referats/17407/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1115"> <img src="/cache/referats/17407/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1116"> <img src="/cache/referats/17407/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1117"> (7)

<img src="/cache/referats/17407/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1118"> (8)

для второй.

Всего получилось 8 уравнений, в которых входят12 функций (по три компоненты векторов <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1119"><img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1120"><img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1121"><img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1122"><img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1123"> и <img src="/cache/referats/17407/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1124"> с <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1125"><img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1126"> с <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1127">

<img src="/cache/referats/17407/image131.gif" v:shapes="_x0000_i1128"> (9)

<img src="/cache/referats/17407/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1129"> (10)

<img src="/cache/referats/17407/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1130"> (11)

Совокупность уравнений (1) – (11)образуют основу электродинамики покоящихся сред.

Уравнения:

<img src="/cache/referats/17407/image137.gif" v:shapes="_x0000_i1131"> (12)

<img src="/cache/referats/17407/image139.gif" v:shapes="_x0000_i1132"> (13) (первая пара) и

<img src="/cache/referats/17407/image141.gif" v:shapes="_x0000_i1133"> (14)

<img src="/cache/referats/17407/image143.gif" v:shapes="_x0000_i1134"> (15)

(вторая пара) представляют собой уравнения Максвелла винтегральной форме.

Уравнение (12) получается путёминтегрирования соотношения (1) по произвольной поверхности S с последующим преобразованиемлевой части по теореме Стокса в интеграл по контуру Г, ограничивающемуповерхность S.Уравнение (14) получается таким же способом из соотношения (3). Уравнения (13)и (15) получаются из соотношений (2) и (4) путём интегрирования попроизвольному объёму Vс последующим преобразованием левой части по теореме Остроградского-Гаусса винтеграл по замкнутой поверхности S, ограничивающей объём V.

2. Граничныеусловия

При решении задач электродинамики,учитывается, что все макроскопические тела ограничены поверхностями. Припереходе через эти поверхности физические свойства макроскопических телизменяются скачком и поэтому также скачком могут изменяться электромагнитныеполя, создаваемые этими телами. Другими словами векторные функции <img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1135"> и <img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1136"> являются кусочно-непрерывнымифункциями координат, т.е. они непрерывны вместе со своими производными внутрикаждой однородной области, но могут претерпевать разрывы на границах разделадвух сред. В связи с этим представляется удобным решать уравнения Максвелла (1)- (4) в каждой области, ограниченной некоторой поверхностью раздела отдельно, азатем полученные решения объединять с помощью граничных условий.

При нахождении граничных условийудобно исходить из интегральной формы уравнений аксвелла. Согласно уравнению(4) и теореме Остроградского-Гаусса:

<img src="/cache/referats/17407/image145.gif" v:shapes="_x0000_i1137"> (16)

где Q– полный заряд внутри объёма интегрирования.

Рассмотримбесконечно малый объём в виде цилиндра с высотой h и площадью основания S, расположенный в средах1 и 2 (рис. 2).

<img src="/cache/referats/17407/image147.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1072"> Соотношение (16) в этом случае можно записать виде:

<img src="/cache/referats/17407/image149.gif" v:shapes="_x0000_i1138"> (17)

здесь <img src="/cache/referats/17407/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1139"> — нормаль к границераздела двух сред, направленная из среды 2 в среду 1. Знак «минус» во втором слагаемом обусловлен тем, что внешняя нормаль <img src="/cache/referats/17407/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1140"> поверхностиинтегрирования в среде 2 направленапротивоположно нормали <img src="/cache/referats/17407/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1141"> в среде 1. Пусть основание цилиндра стремится к границе раздела двухсред. Так как площадь боковой стремится к нулю, то <img src="/cache/referats/17407/image153.gif" v:shapes="_x0000_i1142">

<img src="/cache/referats/17407/image155.gif" v:shapes="_x0000_i1143"> (18)

где <img src="/cache/referats/17407/image157.gif" v:shapes="_x0000_i1144"> и <img src="/cache/referats/17407/image159.gif" v:shapes="_x0000_i1145"> — значения нормальныхсоставляющих вектора <img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1146"> по разные стороныповерхности раздела; <img src="/cache/referats/17407/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1147"><img src="/cache/referats/17407/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1148">d, а полерассматривается на расстояниях отповерхности r>>d. Тогда из определенияобъёмной плотности заряда <img src="/cache/referats/17407/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1149"> следует:

Если учесть, что <img src="/cache/referats/17407/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1153"><img src="/cache/referats/17407/image169.gif" v:shapes="_x0000_i1154"> — поверхностнаяплотность поляризационных зарядов, то формулу (18) можно записать в виде:

где <img src="/cache/referats/17407/image173.gif" v:shapes="_x0000_i1156"><img src="/cache/referats/17407/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1157">

Используя уравнение (2) и проводяаналогичные рассуждения, получаем граничное условие для вектора <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1158">

<img src="/cache/referats/17407/image175.gif" v:shapes="_x0000_i1159"> (19)

Выражения (18) и (19) – граничныеусловия для нормальных составляющих векторов <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1160"> и <img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1161"> получить условия для тангенциальныхсоставляющих можно использовать уравнения (1) и (3). Умножим уравнение (3) скалярно на положительную нормаль <img src="/cache/referats/17407/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1162"> к поверхности S, ограниченной контуром L, имеющим видпрямоугольника (рис. 3).

Используя теорему Стокса, получим:

Перепишем это уравнение в виде:

<img src="/cache/referats/17407/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1165"> (20)

Здесь <img src="/cache/referats/17407/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1166"> и <img src="/cache/referats/17407/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1167"><img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1168"> соответственно всредах 1 и 2, <img src="/cache/referats/17407/image193.gif" v:shapes="_x0000_i1169"> — единичный вектор,касательный к поверхности раздела, <img src="/cache/referats/17407/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1170"> — нормаль кповерхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1.

Пусть теперь <img src="/cache/referats/17407/image196.gif" v:shapes="_x0000_i1171"> при малом, но фиксированномl. Тогда <img src="/cache/referats/17407/image198.gif" v:shapes="_x0000_i1172"><img src="/cache/referats/17407/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1173"> и соотношение (20)примет вид:

и после сокращения на l имеем:

здесь <img src="/cache/referats/17407/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1176"><img src="/cache/referats/17407/image193.gif" v:shapes="_x0000_i1177"><img src="/cache/referats/17407/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1178">

предыдущее выражение можнозаписать, как

Поскольку эта формуласправедлива для любой ориентации поверхности, а следовательно, и

вектора <img src="/cache/referats/17407/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1180">

<img src="/cache/referats/17407/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1181"> (21)

В граничном условии (21) присутствует поверхностная плотность тока,избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи отсутствуют, тоследует положить <img src="/cache/referats/17407/image215.gif" v:shapes="_x0000_i1182"><img src="/cache/referats/17407/image217.gif" v:shapes="_x0000_i1183"><img src="/cache/referats/17407/image219.gif" v:shapes="_x0000_i1184"> есть поверхностнаяплотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде:

где <img src="/cache/referats/17407/image223.gif" v:shapes="_x0000_i1186">

Используя уравнение (1) и проводяаналогичные рассуждения, получаем граничные условия для вектора <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1187">

<img src="/cache/referats/17407/image225.gif" v:shapes="_x0000_i1188"> (22)

Таким образом, уравнения Максвелла(1) — (4) должны быть дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22).Эти условия означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора <img src="/cache/referats/17407/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1189"> (22) и нормальнойсоставляющей вектора <img src="/cache/referats/17407/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1190"> (19) при переходечерез границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора <img src="/cache/referats/17407/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1191"> при переходе черезграницу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора <img src="/cache/referats/17407/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1192">

Ещё одно граничное условие можнополучить, используя уравнение непрерывности (<img src="/cache/referats/17407/image230.gif" v:shapes="_x0000_i1193">

Так как граничноеусловие (19) является следствием уравнения (2), то по аналогии находим:

<img src="/cache/referats/17407/image234.gif" v:shapes="_x0000_i1196"> (23)

Если же наповерхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых зависит отвремени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных составляющихплотности тока:

Итак, граничные условияна поверхности раздела двух сред имеют вид:

(24)

где <img src="/cache/referats/17407/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1202"> — нормаль к границераздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться в любой моментвремени и в каждой точке поверхности раздела.

3.Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики

Так как на практике почти всегдаприходится решать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах,то граничные условия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую частьуравнений Максвелла (1) – (4).

В случае стационарных электрических имагнитных полей (<img src="/cache/referats/17407/image247.gif" v:shapes="_x0000_i1203"> и<img src="/cache/referats/17407/image249.gif" v:shapes="_x0000_i1204"> система уравненийМаксвелла (1) – (4) распадается на систему

уравненийэлектр

www.ronl.ru

Реферат - Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия

Министерство науки и образования Украины

Днепропетровский Национальный Университет

Радиофизический факультет

Кафедра физики СВЧ

Рефератпо курсу

электродинамики:

“Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия”

Выполнил:

Студент

группыРЭ–01-1 А. Л. Бузмаков

Проверил:

Доцент

Кафедры оптоэлектроники

Физическогоф-та: В.Д. Гладуш

Днепропетровск2003

1. УравненияМаксвелла в дифференциальной и интегральной форме

Система уравнений,состоящая из уравнений Максвелла для электромагнитного поля и уравнений Ньютонадля частиц, представляет собой единую систему уравнений, описывающую всеявления, обусловленные электромагнитным взаимодействием (без учётарелятивистских и квантовых эффектов). Поэтому, строго говоря, их необходиморешать совместно в задачах электродинамики. Однако в такой наиболее общейпостановке решать задачи о взаимодействии электромагнитного поля с веществомчрезвычайно трудно. Сложность проблемы заключается в том, что вещество состоитиз громадного количества частиц, движение которых каждой в отдельностиневозможно описать. С такой проблемой сталкиваются в классической механике припопытках описать механическое движение газов, жидкостей и твёрдых тел. Чтобыобойти эту трудность физикам приходилось строить определённые моделимеханических систем: модель абсолютно твёрдого тела, модель сплошной среды идр. При изучении взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полемтакже приходится вводить некоторые модели. Одной из таких широко употребляемых,является модель сплошной среды, состоящая из электрических диполей (диэлектрик). Эта модель электрического диполя играет очень важную роль в физике, так какатомы и молекулы представляют собой системы заряженных частиц, которые в целомнейтральны, но могут обладать отличным от нуля дипольным моментом и поэтомусоздавать электрическое поле.

Открытие тока смещенияпозволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений.Эта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты ипредсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилосьвпоследствии. Основным следствием теории Максвелла был вывод о существованииэлектромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света.

Основу теории образуютуравнения Максвелла. В учении об электромагнетизме эти уравнения играют такуюже роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) втермодинамике. Ниже приведена полная система уравнений Максвелла классическойэлектродинамики в сплошной среде.

Первую пару уравненийМаксвелла образуют уравнения:

/> (1)

/> (2)

Здесь вектор /> - вектор напряжённостиэлектрического поля, /> - вектор индукциимагнитного поля.

Первое из этих уравнений связывает значение /> сизменениями вектора /> во времени иявляется по существу выражением закона электромагнитной индукции. Онопоказывает, что источником вихревого поля вектора /> являетсяменяющееся со временем вихревое магнитное поле. Второе уравнение указывает наотсутствие источников магнитного поля, т.е. магнитных зарядов,как в вакууме, так и в намагниченном веществе.

Вторую пару уравненийМаксвелла образуют уравнения:

/> (3)

/> (4)

Где /> — вектор электрическогосмещения, /> — напряжённость магнитногополя, /> — намагниченность вещества, /> - поляризованность, /> — вектор плотности тока, /> - объёмная плотностьзаряда.

Первое уравнениеустанавливает связь между токами проводимости и токами смещения, и порождаемымими магнитным полем. Второе показывает, что источниками вектора /> служат сторонние заряды.

Вышеперечисленныеуравнения представляют собой дифференциальную форму уравнений Максвелла. Можноотметить, что в первую пару уравнений входят только основные характеристикиполя — /> и />. Во второй паре фигурируюттолько вспомогательные величины /> и />.

Можно отметить, что видуравнений (2) и (4) не зависит от наличия среды, в то время как векторы /> и />, а также величины /> и />, входящие в уравнения (3) и(4), зависят от свойств вещества и условий, в которых оно находится. Любоемакроскопическое тело, рассматриваемое как сплошная среда, состоит иззаряженных частиц – электронов и ядер, обладающих также и магнитными моментами,и поэтому взаимодействующих с электромагнитным полем, являясь в то же время иего источниками. Таким образом, величины />,/>, /> и /> следует определять, исходяиз электрических и магнитных свойств вещества.

Выводя формулу (1),Максвелл предположил, что изменяющегося со временем магнитное поле обусловливаетпоявление в пространстве поля />,независимо от присутствия в пространстве проволочного контура. Наличие контуралишь позволяет обнаружить по возникновению в нем индукционного токасуществование в соответствующих точках пространства электрического поля.

Рассмотрим случайэлектромагнитной индукции, когда проволочный контур, в котором индуцируетсяток, неподвижен, а изменения магнитного потока обусловлены изменениямимагнитного поля. Возникновение индукционного тока свидетельствует о том, чтоизменения магнитного поля вызывают появление в контуре сторонних сил,действующих на носители тока. Эти сторонние силы не связаны ни с химическими,ни с тепловыми процессами в проводе; они также не могут быть магнитными силами,потому что такие силы над зарядами работы не совершают. Остаётся заключить, чтоиндукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем.Обозначим напряжённость этого поля /> (этообозначение является вспомогательным так же как и/>).Электродвижущая сила равна циркуляции вектора />поданному контуру:

/> (1.1)

Подстановка в формулу /> выражения (1.1) для />и выражения /> для /> приводит к соотношению

/> (1.2)

В связи с тем, что вектор /> зависит, вообще говоря, какот времени, так и от координат, то можно написать под знаком интеграла символчастной производной по времени (интеграл /> являетсяфункцией только времени).

Левую часть равенства (1.2) преобразуем по теоремеСтокса. В результате получится:

/>.

Ввиду произвольности выбораповерхности интегрирования должно выполняться равенство

/>.

Ротор поля />в каждой точке пространстваравен взятой с обратным знаком производной по времени от вектора />.

Это поле />, порождающееся изменениеммагнитного поля, существенно отличается от порождаемого электрическими зарядамиэлектрического поля />.Электростатическое поле потенциально, его линии начинаются и заканчиваютсяна зарядах. Ротор вектора /> в любой

точке равен нулю:

/>=0.

Согласно (1.2) ротор вектора /> отличен от нуля.Следовательно, поле /> так же, как имагнитное является вихревым. Линии напряжённости /> замкнуты.

Таким образом,электрическое поле может быть как потенциальным (/>)так и вихревым (/>). В общем случаеэлектрическое поле слагается из этих двух полей. Сложив вместе /> и />, получим следующееуравнение:

/>. (1.3)

Существование взаимосвязи между электрическим имагнитным полями служит причиной того, что раздельное рассмотрениеэлектрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл.Действительно, электростатическое поле создаётся системой неподвижных зарядов водной системе координат, однако они могут двигаться относительно другойинерциальной системы отсчёта и тогда они будут во второй системе подвижными,следовательно, будут создавать магнитное поле. Таким образом, поле, котороеотносительно некоторой системы отсчёта оказывается «чисто» электрическим или«чисто» магнитным, относительно других систем отсчёта будет представлять собойсовокупность электрического и магнитных полей, образующих единоеэлектромагнитное поле.

Выводя формулу (3), Максвелл пересмотрелуравнения для ротора вектора /> дляслучая стационарного (не изменяющегося со временем) электромагнитного поля, гдеротор вектора /> равен в каждойточке плотности тока проводимости:

/>, (3.1)

где вектор /> связан сплотностью заряда в той же точке уравнением непрерывности:

/> (3.2)

Электромагнитное полеможет быть стационарным лишь при условии, что плотность заряда /> и плотность тока /> не зависят от времени. Вэтом случае согласно (3.2) дивергенция /> равнанулю.

Поэтому можно выяснить, являетсяли справедливым уравнение (3.2) справедливым в случае изменяющихся со временемполей. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим при зарядкеконденсатора от источника постоянного напряжения U (рис. 1).

/> />Этот ток непостоянен во времени (в момент, когда напряжение наконденсаторе становится равным U, токпрекращается). Линии тока проводимости терпят разрыв в промежутке междуобкладками конденсатора.

Возьмём круговой контурГ, охватывающий провод, по которому течёт ток к конденсатору, и проинтегрируемсоотношение (3.1) по пересекающеё провод поверхности S1, ограниченной контуром:

/>.

Преобразовав левуючасть по теореме Стокса, получим циркуляцию вектора />по контуру Г:

/> (3.3)

(I – сила тока заряжающего конденсатор). Проделав такие жевычисления для поверхности S2, придёмк явно неверному соотношению:

/> (3.4)

Полученный результатуказывает на то, что в случае изменяющихся со временем полей уравнение (3.1)перестаёт быть справедливым. Напрашивается вывод, что в этом уравненииотсутствует слагаемое, зависящее от произвольных полей во времени. Длястационарных полей это слагаемое обращается в нуль.

На неправомерностьуравнения (3.1) в случае нестационарных полей указывает также, следующиесоображения. Возьмём дивергенцию от обеих частей соотношения (3.1):

Дивергенция ротора должна бытьобязательно равна нулю. Таки образом, можно прийти к выводу, что дивергенциявектора /> также должна быть всегдаравной нулю. Однако этот вывод

противоречит уравнениюнепрерывности, где /> отлична от нуля.

Чтобы согласоватьуравнения (3.1) и (3.2), Максвелл ввел в правую часть уравнения (3.1)дополнительное слагаемое. Естественно, что это слагаемое должно иметьразмерность плотности тока. Максвелл назвал его плотностью тока смещения.Таким образом, согласно Максвеллу уравнение (3.1) должно иметь вид:

/> (3.5)

Сумму тока проводимости и тока смещения принятоназывать полным током. Плотность полного тока равна:

/> (3.6)

Если положить дивергенцию тока смещения равнойдивергенции тока проводимости, взятой с обратным знаком,

/> (3.7)

то дивергенция правой части уравнения (3.5), так же как идивергенция левой части, всегда будет равна нулю.

Заменив в (3.7) /> согласно (3.2) через />, получим следующеевыражение для дивергенции тока смещения:

/>. (3.8)

Чтобы связать ток смещения с величинами,характеризующими изменение электрического поля со временем, воспользуемсясоотношением:

Продифференцировав это соотношение по времени,получим:

Теперь поменяем в левой части порядокдифференцирования по времени и по координа -там. В результате придём кследующему выражения для производной /> по />.

/>.

Подстановка этого выражения в формулу (3.8) даёт:

/>.

Отсюда

/> (3.9)

Подставив выражение (3.9) в формулу (3.6), придём куравнению

/>.

Каждое из векторныхуравнений (1) и (3) эквивалентно трем скалярным уравнениям, связывающимкомпоненты векторов, стоящих в левой и правой частях равенств.Воспользовавшись правилом раскрытия дифференциальных операторов, можнозаписать их в следующем виде:

/>; />; /> (5)

/> (6)

для первой пары уравнений, и:

/>; />; /> (7)

/> (8)

для второй.

Всего получилось 8уравнений, в которых входят 12 функций (по три компоненты векторов />, />, />, />.) Поскольку число уравненийменьше числа известных функций, уравнений (1) — (4) недостаточно для нахожденияполей по заданным распределениям зарядов и токов. Чтобы осуществить расчётполей, нужно дополнить уравнения Максвелла уравнениями, связывающими /> и /> с />, а также /> с />. Эти уравнения имеют вид.

/> (9)

/> (10)

/> (11)

Совокупностьуравнений (1) – (11) образуют основу электродинамики покоящихся сред.

Уравнения:

/> (12)

/> (13) (первая пара) и

/> (14)

/> (15)

(вторая пара) представляют собой уравнения Максвелла винтегральной форме.

Уравнение (12)получается путём интегрирования соотношения (1) по произвольной поверхности S с последующим преобразованием левой части по теоремеСтокса в интеграл по контуру Г, ограничивающему поверхность S. Уравнение (14) получается таким же способом изсоотношения (3). Уравнения (13) и (15) получаются из соотношений (2) и (4)путём интегрирования по произвольному объёму V споследующим преобразованием левой части по теореме Остроградского-Гаусса винтеграл по замкнутой поверхности S,ограничивающей объём V.

2. Граничныеусловия

При решении задачэлектродинамики, учитывается, что все макроскопические тела ограниченыповерхностями. При переходе через эти поверхности физические свойствамакроскопических тел изменяются скачком и поэтому также скачком могутизменяться электромагнитные поля, создаваемые этими телами. Другими словамивекторные функции /> и /> являются кусочно-непрерывнымифункциями координат, т.е. они непрерывны вместе со своими производными внутрикаждой однородной области, но могут претерпевать разрывы на границах разделадвух сред. В связи с этим представляется удобным решать уравнения Максвелла (1)- (4) в каждой области, ограниченной некоторой поверхностью раздела отдельно, азатем полученные решения объединять с помощью граничных условий.

При нахождении граничныхусловий удобно исходить из интегральной формы уравнений аксвелла. Согласноуравнению (4) и теореме Остроградского-Гаусса:

/>, (16)

где Q – полный заряд внутриобъёма интегрирования.

Рассмотрим бесконечно малый объём в виде цилиндрас высотой h и площадью основания S, расположенный в средах 1 и 2 (рис. 2).

/> Соотношение (16) в этом случае можно записать виде:

/> (17)

здесь /> - нормаль к границераздела двух сред, направленная из среды 2 в среду 1. Знак «минус» вовтором слагаемом обусловлен тем, что внешняя нормаль /> поверхности интегрирования в среде 2 направлена противоположно нормали /> всреде 1. Пусть основание цилиндра стремится к границе раздела двух сред. Таккак площадь боковой стремится к нулю, то />,и поэтому (17) приобретёт вид:

/> (18)

где /> и/> - значения нормальныхсоставляющих вектора /> по разные стороныповерхности раздела; /> — поверхностнаяплотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества.Если поверхность раздела не заряжена, то в формуле (18) необходимо положить />=0. Пользоваться понятиемповерхностной плотности удобно тогда, когда избыточные (сторонние) зарядырасположены в очень тонком слое вещества d, а полерассматривается на расстояниях от поверхности r>>d. Тогда из определения объёмной плотности заряда /> следует:

/> = />d = />.

Если учесть, что />, а /> - поверхностная плотностьполяризационных зарядов, то формулу (18) можно записать в виде:

где />,а величина />, которая входит вграничное условие (18), есть поверхностная плотность зарядов, избыточных поотношению к связанным зарядам самого вещества.

Используя уравнение(2) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничное условие для вектора />:

/> (19)

Выражения (18) и (19) –граничные условия для нормальных составляющих векторов /> и />. Чтобы получить условия для тангенциальных составляющих можно использовать уравнения (1) и (3).Умножим уравнение (3) скалярно на положительную нормаль /> к поверхности S, ограниченной контуром L,имеющим вид прямоугольника (рис. 3).

Используя теорему Стокса, получим:

Перепишем это уравнение в виде:

/> (20)

Здесь /> и /> — значения вектора /> соответственно в средах 1 и2, /> - единичный вектор,касательный к поверхности раздела, /> -нормаль к поверхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1.

Пусть теперь /> прималом, но фиксированном l. Тогда />, /> и соотношение (20) приметвид:

и после сокращения на lимеем:

здесь />. Вектор />, как следует из рисунка 2,можно записать как в виде />. Тогда

предыдущее выражение можно записать, как

/>.

Поскольку эта формула справедлива для любой ориентацииповерхности, а следовательно, и

вектора />, тоимеем

/> (21)

В граничном условии(21) присутствует поверхностная плотность тока, избыточная по отношению ктокам намагничивания. Если токи отсутствуют, то следует положить />=0. Учитывая, что />, а /> есть поверхностнаяплотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде:

где />.

Используя уравнение (1) и проводя аналогичныерассуждения, получаем граничные условия для вектора />:

/> (22)

Таким образом,уравнения Максвелла (1) — (4) должны быть дополнены граничными условиями (18),(19), (21) и (22). Эти условия означают непрерывность тангенциальныхсоставляющих вектора /> (22) и нормальнойсоставляющей вектора /> (19) при переходечерез границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора /> при переходе через границураздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора />, если имеются поверхностныетоки (21).

Ещё одно граничное условие можно получить,используя уравнение непрерывности (/>0) иуравнение (4), из которых следует:

Так как граничное условие (19) является следствием уравнения(2), то по аналогии находим:

/> (23)

Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностнаяплотность которых зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывностьнормальных составляющих плотности тока:

/>.

Итак, граничные условия на поверхности раздела двух средимеют вид:

/>; />

(24)

/>; />

где /> - нормаль кгранице раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться влюбой момент времени и в каждой точке поверхности раздела.

3. УравненияМаксвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики

Так как на практике почти всегда приходитсярешать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничныеусловия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла(1) – (4).

В случае стационарныхэлектрических и магнитных полей (/> и/>) система уравненийМаксвелла (1) – (4) распадается на систему

уравнений электростатики:

/>, />, /> (25)

и уравнений магнитостатики:

/>, />, />, (26)

а граничные условия остаются те же.

4. Пример

В качестве примерарешения электростатических задач можно вычислить электрическое поле,создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R,находящемся в однородном электрическом поле />.Уравнения электростатики в диэлектрике (25) при />=0имеют вид:

/>, />, /> (27)

Из этих уравнений следует, сто потенциалэлектростатического поля удовлетворяет уравнению

/> (28)

причём />= -/>, />-/>.В однородном диэлектрике />=const, поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнениеЛапласа />=0.

Граничное условия (24), выражающее непрерывностьвектора индукции, записывается следующим образом:

/> при r=R (29)

Здесь />– решениеуравнения вне сферы, а />– внутри сферы.Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных составляющихэлектрического поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывностипотенциала

/>=/> (30)

Это условие можно получить, рассматривая интеграл />по контуру, изображенномуна рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением />, находим

Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, тоэто значит, что функция /> непрерывна,откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же, что

где элемент /> направленкасательно к границе раздела. Из этого равенства следует, что тангенциальныекомпоненты вектора /> такженепрерывны.

Для решенияпоставленной задачи используем сферическую систему координат, полярная оськоторой (ось z) совпадает с направлениемнапряжённости однородного внешнего электрического поля />.

Поскольку на достаточно большом удалении отдиэлектрического шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, топотенциал /> долженудовлетворять условию

/> /> при />.

Из соображений симметрииясно, что потенциал не должен зависеть от азимутального угла, поэтому решениеуравнения Лапласа запишем в виде разложения по полиномам Лежандра />:

/> />,

/> />.

Здесь потенциал нормирован так, чтобы /> при />. Так как />, то из условия набесконечности находим />.

Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и(30):

Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра,получаем

/> />=0 при (l=0),

/> /> при (l=1),

/> /> при (l>1).

Из этих уравнений находим

/>, />.

Все остальные коэффициенты равны нуля, если />.

Таким образом, решение задачи имеет вид:

/> (30)

Используя формулу />,вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы

С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать ввиде:

/> (31)

/> (32)

где /> - объёмсферы.

Первые два слагаемых в(31) и (32) представляют собой потенциал однородного внешнего поля,создаваемого внешними источниками. Вторые – это потенциал электрического поля,создаваемого электрическим шаром, поляризованным внешним полем. Вне сферы – этопотенциал диполя с дипольным моментом />.Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное электрическое поле снапряжённостью

/> (33)

Полная напряжённость внутри шара

/> (34)

Таким образом, электрическое полевнутри шара не зависят от радиуса шара и ослаблено на значение поля />, которое называетсядеполяризующим полем. Возникновение деполяризующего поля есть частный случайявления экранировки внешнего поля связанными или свободными зарядами.

5. Приложение.

1. Формула Остроградского – Гаусса.

Пусть f (x, y, z)- некоторая функция, а S — замкнутаяповерхность, ограничивающая объём V. На отрезке 1-2 (рис. 4),параллельном оси X, f — является функцией одного аргумента x.Интегрируя вдоль этого отрезка получим:

где /> и/> - значения функции fна концах рассматриваемого промежутка.

Построим теперьбесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок 1 2.Пусть dσ — площадьпоперечного сечения его (величина положительная). Умножая предыдущеесоотношение на dσ. Так как dσdx есть элементарный объёмdV, заштрихованный на рисунке, то врезультате получится:

/>,

где dV – часть объёма V, вырезаемого из него поверхность цилиндра. Пусть dS1 и dS2 эле -ментарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром на поверхности S, а />1 и />2–

единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S. Тогда:

dσ = d/>2/>2х = — d/>1/>1х,

а поэтому: />

или короче: /> где поверхностный интегралраспространён на сумму площадок dS1 иdS2. Весь объём Vможно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать длякаждого из них такие же соотношения. Суммируя эти соотношения, получим:

/> (35)

Интеграл справараспространён по всему объёму V, справа – поповерхности S, ограничивающей этот объём.Аналогичные соотношения можно написать для осей Yи Z.

Возьмём теперь произвольный вектор /> и применим к егокомпонентам соотношение (35). Получим:

и аналогично для компонент Ay и Az. Складывая эти соотношения,найдём:

или:

Эту формулу Остроградского – Гаусса можно такжезаписать в виде:

Смысл её заключается втом, что полный поток вектора /> черезнекоторую поверхность S равен суммарнойалгебраической мощности источников, порождающих векторное поле.

Если объём V бесконечно мал, то величина div/> внутри него может считатьсяпостоянной. Вынося её за знак интеграла и переходя к пределу V→ 0, получим:

Предельный переход надопонимать в том смысле, что область V должнастягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны беспредельно уменьшатьсяпо всем направлениям. Эти рассуждения показывают, что величина, стоящая вправой части вышеуказанной формулы, не зависит от формы поверхности S, стягиваемой в точку. Поэтому это выражение можнопринять за исходную формулировку дивергенции. Такое определение обладаетпреимуществом, потому что оно инвариантно, т.е. никак не связано с выборомкоординат.

2. Формула Стокса.

По определению ротор (вихрь) некоторого вектора />:

/> (36)

Зная ротор вектора /> в каждой точке некоторой(не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислитьциркуляцию этого вектора по контуру />,ограничивающему S, (контур также может быть неплоским). Для этого разобъём поверхность на очень малые элементы />. Ввиду их малости этиэлементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (36) циркуляциявектора /> по контуру, ограничивающему/>, может быть представлена ввиде.

/> (37)

где /> - положительнаянормаль к элементу поверхности/>.

Зная, что циркуляцияпо некоторому контуру равна сумме циркуляций по контурам, содержащиеся вданном, можно просуммировать выражение (37) по всем />,и тогда получим циркуляцию вектора /> поконтуру />, ограничивающему S:

/> />.

Осуществив предельный переход,при котором все /> стремиться к нулю(число их при этом неограниченно растёт, придём к формуле:

/> (38)

Соотношение (38) носит названиетеоремы Стокса. Смысл её состоит в том, что циркуляция вектора /> по произвольному контуру /> равна потоку вектора /> через произвольнуюповерхность S, ограниченную данным контуром.

6. Списокиспользованной литературы

Федорченко А. М. Классическая электродинамика. – К.: Вища школа, 1988. – 280 с. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Электричество. – М.: Наука, 1983. – 688 с. Савельев И. В. Курс обшей физики. 3 том. – М.: Наука, 1988. – 496 с.

www.ronl.ru

Электродинамика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО

Самолюк Н.П.

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Учебно–методическое пособие для студентов

физико-математических и инженерных специальностей

ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД

2011

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО

Самолюк Н.П.

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Учебно–методическое пособие для студентов

физико-математических и инженерных специальностей

ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД

2011

УДК 53 (0765)

Рецензент: кандидат физико-математических наук, доцент Витов В.Ф.

Пособие содержит подробное изложение системы уравнений Максвелла в дифференциальном и интегральном виде. Материал пособия соответствует содержанию курса общей физики для студентов инженерных и физико-математических специальностей

Электродинамика. Уравнения Максвелла. Учебно–методическое пособие для студентов физико-математических и инженерных специальностей по теме: «Уравнения Максвелла». /Сост. Н.П. Самолюк. - НовГУ им. Ярослава Мудрого. – Новгород, 2011. – 26 с.

©Новгородский государственный

университет, 2011

составление, 2011

Содержание

1. Краткая история……………………………………………………………. 5

2. Каноническая форма ………………………………………………………. 6

2.1. Первое уравнение Максвелла……………………………………………. 6

2.2. Второе уравнение Максвелла……………………………………………. 8

2.3. Третье уравнение Максвелла…………………………………………….. 11

2.4. Четвертое уравнение Максвелла................................................................13

2.5 и 2.6. Пятое и шестое уравнения Максвелла……………………………..19

2.7. Седьмое уравнение Максвелла…..……………………………………….20

2.8. Восьмое уравнение Максвелла………..………………………………….23

3. Полная система уравнений Максвелла…………………………………….25

Уравнения Максвелла

1. Краткая история

Формулировке уравнений Максвелла предшествовали открытия законов взаимодействий заряженных тел, намагниченных тел и проводников с электрическим током. При этом были сформулированы закон Кулона, закон Ампера, закон Био Савара – Лапласа.

В 1831 M. Фарадей открыл явление электромагнитной индукции и сформулировал закон, описывающий это явление. Кроме того, примерно в то же время он ввёл понятие электрического и магнитного поля как самостоятельных физических субстанций.

Опираясь на представление Фарадея о поле, и введя ток смещения, равнозначный по своему магнитному действию обычному электрическому току, Дж. К. Максвелл сформулировал систему уравнений, названную впоследствии уравнениями Максвелла.

Уравнения Максвелла функционально связывают электрическое и магнитное поле с зарядами и токами и охватывают собой все известные закономерности электромагнетизма. Первоначально Максвелл прибегал к вспомогательным механическим моделям "эфира", но уже в "Трактате об электричестве и магнетизме" (1873) электромагнитное поле рассматривалось как самостоятельный физический объект.

Физической основой уравнений Максвелла является принцип близкодействия, утверждающий, что передача электромагнитных возмущений от точки к точке происходит с конечной скоростью (в вакууме со скоростью света с). Этот принцип противоположен классическому ньютоновскому принципу дальнодействия, сводящемуся к мгновенной передаче воздействий на любое расстояние .

Математическим аппаратом теории Максвелла является векторный анализ. Максвелл считал, что его заслуга состоит лишь в математическом оформлении идей Фарадея.

studfiles.net

Курсовая работа - Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия

Министерство науки и образования Украины

Днепропетровский Национальный Университет

Радиофизический факультет

Кафедра физики СВЧ

Рефератпо курсу

электродинамики:

“Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия”

Выполнил:

Студент

группыРЭ–01-1 А. Л. Бузмаков

Проверил:

Доцент

Кафедры оптоэлектроники

Физическогоф-та: В.Д. Гладуш

Днепропетровск2003

1. УравненияМаксвелла в дифференциальной и интегральной форме

Система уравнений,состоящая из уравнений Максвелла для электромагнитного поля и уравнений Ньютонадля частиц, представляет собой единую систему уравнений, описывающую всеявления, обусловленные электромагнитным взаимодействием (без учётарелятивистских и квантовых эффектов). Поэтому, строго говоря, их необходиморешать совместно в задачах электродинамики. Однако в такой наиболее общейпостановке решать задачи о взаимодействии электромагнитного поля с веществомчрезвычайно трудно. Сложность проблемы заключается в том, что вещество состоитиз громадного количества частиц, движение которых каждой в отдельностиневозможно описать. С такой проблемой сталкиваются в классической механике припопытках описать механическое движение газов, жидкостей и твёрдых тел. Чтобыобойти эту трудность физикам приходилось строить определённые моделимеханических систем: модель абсолютно твёрдого тела, модель сплошной среды идр. При изучении взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полемтакже приходится вводить некоторые модели. Одной из таких широко употребляемых,является модель сплошной среды, состоящая из электрических диполей (диэлектрик). Эта модель электрического диполя играет очень важную роль в физике, так какатомы и молекулы представляют собой системы заряженных частиц, которые в целомнейтральны, но могут обладать отличным от нуля дипольным моментом и поэтомусоздавать электрическое поле.

Открытие тока смещенияпозволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений.Эта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты ипредсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилосьвпоследствии. Основным следствием теории Максвелла был вывод о существованииэлектромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света.

Основу теории образуютуравнения Максвелла. В учении об электромагнетизме эти уравнения играют такуюже роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) втермодинамике. Ниже приведена полная система уравнений Максвелла классическойэлектродинамики в сплошной среде.

Первую пару уравненийМаксвелла образуют уравнения:

/> (1)

/> (2)

Здесь вектор /> - вектор напряжённостиэлектрического поля, /> - вектор индукциимагнитного поля.

Вторую пару уравненийМаксвелла образуют уравнения:

/> (3)

/> (4)

Вышеперечисленныеуравнения представляют собой дифференциальную форму уравнений Максвелла. Можноотметить, что в первую пару уравнений входят только основные характеристикиполя — /> и />. Во второй паре фигурируюттолько вспомогательные величины /> и />.

Рассмотрим случайэлектромагнитной индукции, когда проволочный контур, в котором индуцируетсяток, неподвижен, а изменения магнитного потока обусловлены изменениямимагнитного поля. Возникновение индукционного тока свидетельствует о том, чтоизменения магнитного поля вызывают появление в контуре сторонних сил,действующих на носители тока. Эти сторонние силы не связаны ни с химическими,ни с тепловыми процессами в проводе; они также не могут быть магнитными силами,потому что такие силы над зарядами работы не совершают. Остаётся заключить, чтоиндукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем.Обозначим напряжённость этого поля /> (этообозначение является вспомогательным так же как и/>).Электродвижущая сила равна циркуляции вектора />поданному контуру:

/> (1.1)

Подстановка в формулу /> выражения (1.1) для />и выражения /> для /> приводит к соотношению

/> (1.2)

Левую часть равенства (1.2) преобразуем по теоремеСтокса. В результате получится:

/>.

Ввиду произвольности выбораповерхности интегрирования должно выполняться равенство

/>.

Ротор поля />в каждой точке пространстваравен взятой с обратным знаком производной по времени от вектора />.

точке равен нулю:

/>=0.

/>. (1.3)

Существование взаимосвязи между электрическим имагнитным полями служит причиной того, что раздельное рассмотрениеэлектрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл.Действительно, электростатическое поле создаётся системой неподвижных зарядов водной системе координат, однако они могут двигаться относительно другойинерциальной системы отсчёта и тогда они будут во второй системе подвижными,следовательно, будут создавать магнитное поле. Таким образом, поле, котороеотносительно некоторой системы отсчёта оказывается «чисто» электрическим или«чисто» магнитным, относительно других систем отсчёта будет представлять собойсовокупность электрического и магнитных полей, образующих единоеэлектромагнитное поле.

/>, (3.1)

где вектор /> связан сплотностью заряда в той же точке уравнением непрерывности:

/> (3.2)

Поэтому можно выяснить, являетсяли справедливым уравнение (3.2) справедливым в случае изменяющихся со временемполей. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим при зарядкеконденсатора от источника постоянного напряжения U (рис. 1).

Возьмём круговой контурГ, охватывающий провод, по которому течёт ток к конденсатору, и проинтегрируемсоотношение (3.1) по пересекающеё провод поверхности S1, ограниченной контуром:

/>.

Преобразовав левуючасть по теореме Стокса, получим циркуляцию вектора />по контуру Г:

/> (3.3)

(I – сила тока заряжающего конденсатор). Проделав такие жевычисления для поверхности S2, придёмк явно неверному соотношению:

/> (3.4)

Полученный результатуказывает на то, что в случае изменяющихся со временем полей уравнение (3.1)перестаёт быть справедливым. Напрашивается вывод, что в этом уравненииотсутствует слагаемое, зависящее от произвольных полей во времени. Длястационарных полей это слагаемое обращается в нуль.

На неправомерностьуравнения (3.1) в случае нестационарных полей указывает также, следующиесоображения. Возьмём дивергенцию от обеих частей соотношения (3.1):

противоречит уравнениюнепрерывности, где /> отлична от нуля.

Чтобы согласоватьуравнения (3.1) и (3.2), Максвелл ввел в правую часть уравнения (3.1)дополнительное слагаемое. Естественно, что это слагаемое должно иметьразмерность плотности тока. Максвелл назвал его плотностью тока смещения.Таким образом, согласно Максвеллу уравнение (3.1) должно иметь вид:

/> (3.5)

Сумму тока проводимости и тока смещения принятоназывать полным током. Плотность полного тока равна:

/> (3.6)

Если положить дивергенцию тока смещения равнойдивергенции тока проводимости, взятой с обратным знаком,

/> (3.7)

то дивергенция правой части уравнения (3.5), так же как идивергенция левой части, всегда будет равна нулю.

Заменив в (3.7) /> согласно (3.2) через />, получим следующеевыражение для дивергенции тока смещения:

/>. (3.8)

Чтобы связать ток смещения с величинами,характеризующими изменение электрического поля со временем, воспользуемсясоотношением:

Продифференцировав это соотношение по времени,получим:

/>.

Подстановка этого выражения в формулу (3.8) даёт:

/>.

Отсюда

/> (3.9)

Подставив выражение (3.9) в формулу (3.6), придём куравнению

/>.

Каждое из векторныхуравнений (1) и (3) эквивалентно трем скалярным уравнениям, связывающимкомпоненты векторов, стоящих в левой и правой частях равенств.Воспользовавшись правилом раскрытия дифференциальных операторов, можнозаписать их в следующем виде:

/>; />; /> (5)

/> (6)

для первой пары уравнений, и:

/>; />; /> (7)

/> (8)

для второй.

/> (9)

/> (10)

/> (11)

Совокупностьуравнений (1) – (11) образуют основу электродинамики покоящихся сред.

Уравнения:

/> (12)

/> (13) (первая пара) и

/> (14)

/> (15)

(вторая пара) представляют собой уравнения Максвелла винтегральной форме.

Уравнение (12)получается путём интегрирования соотношения (1) по произвольной поверхности S с последующим преобразованием левой части по теоремеСтокса в интеграл по контуру Г, ограничивающему поверхность S. Уравнение (14) получается таким же способом изсоотношения (3). Уравнения (13) и (15) получаются из соотношений (2) и (4)путём интегрирования по произвольному объёму V споследующим преобразованием левой части по теореме Остроградского-Гаусса винтеграл по замкнутой поверхности S,ограничивающей объём V.

2. Граничныеусловия

При решении задачэлектродинамики, учитывается, что все макроскопические тела ограниченыповерхностями. При переходе через эти поверхности физические свойствамакроскопических тел изменяются скачком и поэтому также скачком могутизменяться электромагнитные поля, создаваемые этими телами. Другими словамивекторные функции /> и /> являются кусочно-непрерывнымифункциями координат, т.е. они непрерывны вместе со своими производными внутрикаждой однородной области, но могут претерпевать разрывы на границах разделадвух сред. В связи с этим представляется удобным решать уравнения Максвелла (1)- (4) в каждой области, ограниченной некоторой поверхностью раздела отдельно, азатем полученные решения объединять с помощью граничных условий.

При нахождении граничныхусловий удобно исходить из интегральной формы уравнений аксвелла. Согласноуравнению (4) и теореме Остроградского-Гаусса:

/>, (16)

где Q – полный заряд внутриобъёма интегрирования.

Рассмотрим бесконечно малый объём в виде цилиндрас высотой h и площадью основания S, расположенный в средах 1 и 2 (рис. 2).

/> Соотношение (16) в этом случае можно записать виде:

/> (17)

/> (18)

/> = />d = />.

Если учесть, что />, а /> - поверхностная плотностьполяризационных зарядов, то формулу (18) можно записать в виде:

Используя уравнение(2) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничное условие для вектора />:

/> (19)

Используя теорему Стокса, получим:

Перепишем это уравнение в виде:

/> (20)

Пусть теперь /> прималом, но фиксированном l. Тогда />, /> и соотношение (20) приметвид:

и после сокращения на lимеем:

здесь />. Вектор />, как следует из рисунка 2,можно записать как в виде />. Тогда

предыдущее выражение можно записать, как

/>.

Поскольку эта формула справедлива для любой ориентацииповерхности, а следовательно, и

вектора />, тоимеем

/> (21)

где />.

Используя уравнение (1) и проводя аналогичныерассуждения, получаем граничные условия для вектора />:

/> (22)

Таким образом,уравнения Максвелла (1) — (4) должны быть дополнены граничными условиями (18),(19), (21) и (22). Эти условия означают непрерывность тангенциальныхсоставляющих вектора /> (22) и нормальнойсоставляющей вектора /> (19) при переходечерез границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора /> при переходе через границураздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора />, если имеются поверхностныетоки (21).

Так как граничное условие (19) является следствием уравнения(2), то по аналогии находим:

/> (23)

Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностнаяплотность которых зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывностьнормальных составляющих плотности тока:

/>.

Итак, граничные условия на поверхности раздела двух средимеют вид:

/>; />

(24)

/>; />

3. УравненияМаксвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики

Так как на практике почти всегда приходитсярешать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничныеусловия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла(1) – (4).

уравнений электростатики:

/>, />, /> (25)

и уравнений магнитостатики:

/>, />, />, (26)

а граничные условия остаются те же.

4. Пример

/>, />, /> (27)

Из этих уравнений следует, сто потенциалэлектростатического поля удовлетворяет уравнению

/> (28)

причём />= -/>, />-/>.В однородном диэлектрике />=const, поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнениеЛапласа />=0.

Граничное условия (24), выражающее непрерывностьвектора индукции, записывается следующим образом:

/> при r=R (29)

/>=/> (30)

/> /> при />.

/> />,

/> />.

Здесь потенциал нормирован так, чтобы /> при />. Так как />, то из условия набесконечности находим />.

Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и(30):

Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра,получаем

/> />=0 при (l=0),

/> /> при (l=1),

/> /> при (l>1).

Из этих уравнений находим

/>, />.

Все остальные коэффициенты равны нуля, если />.

Таким образом, решение задачи имеет вид:

/> (30)

Используя формулу />,вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы

С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать ввиде:

/> (31)

/> (32)

где /> - объёмсферы.

/> (33)

Полная напряжённость внутри шара

/> (34)

5. Приложение.

1. Формула Остроградского – Гаусса.

где /> и/> - значения функции fна концах рассматриваемого промежутка.

/>,

единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S. Тогда:

dσ = d/>2/>2х = — d/>1/>1х,

а поэтому: />

/> (35)

Возьмём теперь произвольный вектор /> и применим к егокомпонентам соотношение (35). Получим:

и аналогично для компонент Ay и Az. Складывая эти соотношения,найдём:

или:

Эту формулу Остроградского – Гаусса можно такжезаписать в виде:

2. Формула Стокса.

По определению ротор (вихрь) некоторого вектора />:

/> (36)

/> (37)

где /> - положительнаянормаль к элементу поверхности/>.

/> />.

/> (38)

6. Списокиспользованной литературы

www.ronl.ru

Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия

Министерство науки и образования Украины

Днепропетровский Национальный Университет

Радиофизический факультет

Кафедра физики СВЧ

Реферат по курсу

электродинамики:

“Система уравнений Максвелла в сплошной среде.

Граничные условия”

Выполнил:

Студент

группы РЭ–01-1 А. Л. Бузмаков

Проверил:

Доцент

Кафедры оптоэлектроники

Физического ф-та: В. Д. Гладуш

Днепропетровск 2003

Содержание

Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме.
Граничные условия.
Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики.
Пример.
Приложение.
1. Формула Остроградского-Гаусса.
2. Формула Стокса.
Список используемой литературы.

1. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме

Система уравнений, состоящая из уравнений Максвелла для электромагнитного поля и уравнений Ньютона для частиц, представляет собой единую систему уравнений, описывающую все явления, обусловленные электромагнитным взаимодействием (без учёта релятивистских и квантовых эффектов). Поэтому, строго говоря, их необходимо решать совместно в задачах электродинамики. Однако в такой наиболее общей постановке решать задачи о взаимодействии электромагнитного поля с веществом чрезвычайно трудно. Сложность проблемы заключается в том, что вещество состоит из громадного количества частиц, движение которых каждой в отдельности невозможно описать. С такой проблемой сталкиваются в классической механике при попытках описать механическое движение газов, жидкостей и твёрдых тел. Чтобы обойти эту трудность физикам приходилось строить определённые модели механических систем: модель абсолютно твёрдого тела, модель сплошной среды и др. При изучении взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем также приходится вводить некоторые модели. Одной из таких широко употребляемых, является модель сплошной среды, состоящая из электрических диполей (диэлектрик). Эта модель электрического диполя играет очень важную роль в физике, так как атомы и молекулы представляют собой системы заряженных частиц, которые в целом нейтральны, но могут обладать отличным от нуля дипольным моментом и поэтому создавать электрическое поле.

Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии. Основным следствием теории Максвелла был вывод о существовании электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света.

Основу теории образуют уравнения Максвелла. В учении об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике. Ниже приведена полная система уравнений Максвелла классической электродинамики в сплошной среде.

Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения:

(1)

(2)

Здесь вектор - вектор напряжённости электрического поля, - вектор индукции магнитного поля.

Первое из этих уравнений связывает значение с изменениями вектора во времени и является по существу выражением закона электромагнитной индукции. Оно показывает, что источником вихревого поля вектора является меняющееся со временем вихревое магнитное поле. Второе уравнение указывает на отсутствие источников магнитного поля, т.е. магнитных зарядов, как в вакууме, так и в намагниченном веществе.

Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения:

(3)

(4)

Где - вектор электрического смещения, - напряжённость магнитного поля, - намагниченность вещества, - поляризованность, - вектор плотности тока, - объёмная плотность заряда.

Первое уравнение устанавливает связь между токами проводимости и токами смещения, и порождаемым ими магнитным полем. Второе показывает, что источниками вектора служат сторонние заряды.

Вышеперечисленные уравнения представляют собой дифференциальную форму уравнений Максвелла. Можно отметить, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля - и . Во второй паре фигурируют только вспомогательные величины и .

Можно отметить, что вид уравнений (2) и (4) не зависит от наличия среды, в то время как векторы и , а также величины и , входящие в уравнения (3) и (4), зависят от свойств вещества и условий, в которых оно находится. Любое макроскопическое тело, рассматриваемое как сплошная среда, состоит из заряженных частиц – электронов и ядер, обладающих также и магнитными моментами, и поэтому взаимодействующих с электромагнитным полем, являясь в то же время и его источниками. Таким образом, величины , , и следует определять, исходя из электрических и магнитных свойств вещества.

Выводя формулу (1), Максвелл предположил, что изменяющегося со временем магнитное поле обусловливает появление в пространстве поля , независимо от присутствия в пространстве проволочного контура. Наличие контура лишь позволяет обнаружить по возникновению в нем индукционного тока существование в соответствующих точках пространства электрического поля.

Рассмотрим случай электромагнитной индукции, когда проволочный контур, в котором индуцируется ток, неподвижен, а изменения магнитного потока обусловлены изменениями магнитного поля. Возникновение индукционного тока свидетельствует о том, что изменения магнитного поля вызывают появление в контуре сторонних сил, действующих на носители тока. Эти сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами в проводе; они также не могут быть магнитными силами, потому что такие силы над зарядами работы не совершают. Остаётся заключить, что индукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем. Обозначим напряжённость этого поля (это обозначение является вспомогательным так же как и). Электродвижущая сила равна циркуляции вектора по данному контуру:

(1.1)

Подстановка в формулу выражения (1.1) для и выражения для приводит к соотношению

(интеграл в правой части берётся по произвольной поверхности, опирающейся на контур). Поскольку контур и поверхность неподвижны, операции дифференцирования по времени и по поверхности можно поменять местами:

(1.2)

В связи с тем, что вектор зависит, вообще говоря, как от времени, так и от координат, то можно написать под знаком интеграла символ частной производной по времени (интеграл является функцией только времени).

Левую часть равенства (1.2) преобразуем по теореме Стокса. В результате получится:

Ввиду произвольности выбора поверхности интегрирования должно выполняться равенство

Ротор поля в каждой точке пространства равен взятой с обратным знаком производной по времени от вектора .

Это поле , порождающееся изменением магнитного поля, существенно отличается от порождаемого электрическими зарядами электрического поля . Электростатическое поле потенциально, его линии начинаются и заканчиваются на зарядах. Ротор вектора в любой

точке равен нулю:

=0.

Согласно (1.2) ротор вектора отличен от нуля. Следовательно, поле так же, как и магнитное является вихревым. Линии напряжённости замкнуты.

Таким образом, электрическое поле может быть как потенциальным () так и вихревым (). В общем случае электрическое поле слагается из этих двух полей. Сложив вместе и , получим следующее уравнение:

. (1.3)

Существование взаимосвязи между электрическим и магнитным полями служит причиной того, что раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл. Действительно, электростатическое поле создаётся системой неподвижных зарядов в одной системе координат, однако они могут двигаться относительно другой инерциальной системы отсчёта и тогда они будут во второй системе подвижными, следовательно, будут создавать магнитное поле. Таким образом, поле, которое относительно некоторой системы отсчёта оказывается «чисто» электрическим или «чисто» магнитным, относительно других систем отсчёта будет представлять собой совокупность электрического и магнитных полей, образующих единое электромагнитное поле.

Выводя формулу (3), Максвелл пересмотрел уравнения для ротора вектора для случая стационарного (не изменяющегося со временем) электромагнитного поля, где ротор вектора равен в каждой точке плотности тока проводимости:

, (3.1)

где вектор связан с плотностью заряда в той же точке уравнением непрерывности:

(3.2)

Электромагнитное поле может быть стационарным лишь при условии, что плотность заряда и плотность тока не зависят от времени. В этом случае согласно (3.2) дивергенция равна нулю.

Поэтому можно выяснить, является ли справедливым уравнение (3.2) справедливым в случае изменяющихся со временем полей. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим при зарядке конденсатора от источника постоянного напряжения U (рис. 1).

Этот ток непостоянен во времени (в момент, когда напряжение на конденсаторе становится равным U, ток прекращается). Линии тока проводимости терпят разрыв в промежутке между обкладками конденсатора.

Возьмём круговой контур Г, охватывающий провод, по которому течёт ток к конденсатору, и проинтегрируем соотношение (3.1) по пересекающеё провод поверхности S1, ограниченной контуром:

Преобразовав левую часть по теореме Стокса, получим циркуляцию вектора по контуру Г:

(3.3)

(I – сила тока заряжающего конденсатор). Проделав такие же вычисления для поверхности S2, придём к явно неверному соотношению:

(3.4)

Полученный результат указывает на то, что в случае изменяющихся со временем полей уравнение (3.1) перестаёт быть справедливым. Напрашивается вывод, что в этом уравнении отсутствует слагаемое, зависящее от произвольных полей во времени. Для стационарных полей это слагаемое обращается в нуль.

На неправомерность уравнения (3.1) в случае нестационарных полей указывает также, следующие соображения. Возьмём дивергенцию от обеих частей соотношения (3.1):

Дивергенция ротора должна быть обязательно равна нулю. Таки образом, можно прийти к выводу, что дивергенция вектора также должна быть всегда равной нулю. Однако этот вывод

противоречит уравнению непрерывности, где отлична от нуля.

Чтобы согласовать уравнения (3.1) и (3.2), Максвелл ввел в правую часть уравнения (3.1) дополнительное слагаемое. Естественно, что это слагаемое должно иметь размерность плотности тока. Максвелл назвал его плотностью тока смещения. Таким образом, согласно Максвеллу уравнение (3.1) должно иметь вид:

(3.5)

Сумму тока проводимости и тока смещения принято называть полным током. Плотность полного тока равна:

(3.6)

Если положить дивергенцию тока смещения равной дивергенции тока проводимости, взятой с обратным знаком,

(3.7)

то дивергенция правой части уравнения (3.5), так же как и дивергенция левой части, всегда будет равна нулю.

Заменив в (3.7) согласно (3.2) через , получим следующее выражение для дивергенции тока смещения:

. (3.8)

Чтобы связать ток смещения с величинами, характеризующими изменение электрического поля со временем, воспользуемся соотношением:

Продифференцировав это соотношение по времени, получим:

Теперь поменяем в левой части порядок дифференцирования по времени и по координа -там. В результате придём к следующему выражения для производной по .

Подстановка этого выражения в формулу (3.8) даёт:

Отсюда

(3.9)

Подставив выражение (3.9) в формулу (3.6), придём к уравнению

Каждое из векторных уравнений (1) и (3) эквивалентно трем скалярным уравнениям, связывающим компоненты векторов, стоящих в левой и правой частях равенств. Воспользовавшись правилом раскрытия дифференциальных операторов, можно записать их в следующем виде:

; ; (5)

(6)

для первой пары уравнений, и:

; ; (7)

(8)

для второй.

Всего получилось 8 уравнений, в которых входят 12 функций (по три компоненты векторов , , , .) Поскольку число уравнений меньше числа известных функций, уравнений (1) - (4) недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов. Чтобы осуществить расчёт полей, нужно дополнить уравнения Максвелла уравнениями, связывающими и с , а также с . Эти уравнения имеют вид.

(9)

(10)

(11)

Совокупность уравнений (1) – (11) образуют основу электродинамики покоящихся сред.

Уравнения:

(12)

(13)(первая пара) и

(14)

(15)

(вторая пара) представляют собой уравнения Максвелла в интегральной форме.

Уравнение (12) получается путём интегрирования соотношения (1) по произвольной поверхности S с последующим преобразованием левой части по теореме Стокса в интеграл по контуру Г, ограничивающему поверхность S. Уравнение (14) получается таким же способом из соотношения (3). Уравнения (13) и (15) получаются из соотношений (2) и (4) путём интегрирования по произвольному объёму V с последующим преобразованием левой части по теореме Остроградского-Гаусса в интеграл по замкнутой поверхности S, ограничивающей объём V.

2. Граничные условия

При решении задач электродинамики, учитывается, что все макроскопические тела ограничены поверхностями. При переходе через эти поверхности физические свойства макроскопических тел изменяются скачком и поэтому также скачком могут изменяться электромагнитные поля, создаваемые этими телами. Другими словами векторные функции и являются кусочно-непрерывными функциями координат, т.е. они непрерывны вместе со своими производными внутри каждой однородной области, но могут претерпевать разрывы на границах раздела двух сред. В связи с этим представляется удобным решать уравнения Максвелла (1) - (4) в каждой области, ограниченной некоторой поверхностью раздела отдельно, а затем полученные решения объединять с помощью граничных условий.

При нахождении граничных условий удобно исходить из интегральной формы уравнений аксвелла. Согласно уравнению (4) и теореме Остроградского-Гаусса:

, (16)

где Q – полный заряд внутри объёма интегрирования.

Рассмотрим бесконечно малый объём в виде цилиндра с высотой h и площадью основания S, расположенный в средах 1 и 2 (рис. 2).

Соотношение (16) в этом случае можно записать виде:

(17)

здесь - нормаль к границе раздела двух сред, направленная из среды 2 в среду 1. Знак «минус» во втором слагаемом обусловлен тем, что внешняя нормаль поверхности интегрирования в среде 2 направлена противоположно нормали в среде 1. Пусть основание цилиндра стремится к границе раздела двух сред. Так как площадь боковой стремится к нулю, то , и поэтому (17) приобретёт вид:

(18)

где и - значения нормальных составляющих вектора по разные стороны поверхности раздела; - поверхностная плотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества. Если поверхность раздела не заряжена, то в формуле (18) необходимо положить =0. Пользоваться понятием поверхностной плотности удобно тогда, когда избыточные (сторонние) заряды расположены в очень тонком слое вещества d, а поле рассматривается на расстояниях от поверхности r>>d. Тогда из определения объёмной плотности заряда следует:

= d = .

Если учесть, что , а - поверхностная плотность поляризационных зарядов, то формулу (18) можно записать в виде:

где , а величина , которая входит в граничное условие (18), есть поверхностная плотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества.

Используя уравнение (2) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничное условие для вектора :

(19)

Выражения (18) и (19) – граничные условия для нормальных составляющих векторов и . Чтобы получить условия для тангенциальных составляющих можно использовать уравнения (1) и (3). Умножим уравнение (3) скалярно на положительную нормаль к поверхности S, ограниченной контуром L, имеющим вид прямоугольника (рис. 3).

Используя теорему Стокса, получим:

Перепишем это уравнение в виде:

(20)

Здесь и - значения вектора соответственно в средах 1 и 2, - единичный вектор, касательный к поверхности раздела, - нормаль к поверхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1.

Пусть теперь при малом, но фиксированном l. Тогда , и соотношение (20) примет вид:

и после сокращения на l имеем:

здесь . Вектор , как следует из рисунка 2, можно записать как в виде . Тогда

предыдущее выражение можно записать, как

Поскольку эта формула справедлива для любой ориентации поверхности , а следовательно, и

вектора , то имеем

(21)

В граничном условии (21) присутствует поверхностная плотность тока, избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи отсутствуют, то следует положить =0. Учитывая, что , а есть поверхностная плотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде:

где .

Используя уравнение (1) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничные условия для вектора :

(22)

Таким образом, уравнения Максвелла (1) - (4) должны быть дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22). Эти условия означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора (22) и нормальной составляющей вектора (19) при переходе через границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора при переходе через границу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора , если имеются поверхностные токи (21).

Ещё одно граничное условие можно получить, используя уравнение непрерывности (0) и уравнение (4), из которых следует:

Так как граничное условие (19) является следствием уравнения (2), то по аналогии находим:

(23)

Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных составляющих плотности тока:

Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид:

;

(24)

;

где - нормаль к границе раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться в любой момент времени и в каждой точке поверхности раздела.

3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики

Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла (1) – (4).

В случае стационарных электрических и магнитных полей ( и) система уравнений Максвелла (1) – (4) распадается на систему

уравнений электростатики:

, , (25)

и уравнений магнитостатики:

, , , (26)

а граничные условия остаются те же.

4. Пример

В качестве примера решения электростатических задач можно вычислить электрическое поле, создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R, находящемся в однородном электрическом поле . Уравнения электростатики в диэлектрике (25) при =0 имеют вид:

, , (27)

Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению

(28)

причём = -, -. В однородном диэлектрике =const , поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнение Лапласа =0.

Граничное условия (24), выражающее непрерывность вектора индукции, записывается следующим образом:

при r=R (29)

Здесь – решение уравнения вне сферы, а – внутри сферы. Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывности потенциала

= (30)

Это условие можно получить, рассматривая интеграл по контуру, изображенному на рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением , находим

Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то это значит, что функция непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же, что

где элемент направлен касательно к границе раздела. Из этого равенства следует, что тангенциальные компоненты вектора также непрерывны.

Для решения поставленной задачи используем сферическую систему координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением напряжённости однородного внешнего электрического поля .

Поскольку на достаточно большом удалении от диэлектрического шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, то потенциал должен удовлетворять условию

при .

Из соображений симметрии ясно, что потенциал не должен зависеть от азимутального угла, поэтому решение уравнения Лапласа запишем в виде разложения по полиномам Лежандра :

Здесь потенциал нормирован так, чтобы при . Так как , то из условия на бесконечности находим .

Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):

Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем

=0 при (l=0),

при (l=1),

при (l>1).

Из этих уравнений находим

, .

Все остальные коэффициенты равны нуля, если .

Таким образом, решение задачи имеет вид:

(30)

Используя формулу , вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы

С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:

(31)

(32)

где - объём сферы.

Первые два слагаемых в (31) и (32) представляют собой потенциал однородного внешнего поля, создаваемого внешними источниками. Вторые – это потенциал электрического поля, создаваемого электрическим шаром, поляризованным внешним полем. Вне сферы – это потенциал диполя с дипольным моментом . Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное электрическое поле с напряжённостью

(33)

Полная напряжённость внутри шара

(34)

Таким образом, электрическое поле внутри шара не зависят от радиуса шара и ослаблено на значение поля , которое называется деполяризующим полем. Возникновение деполяризующего поля есть частный случай явления экранировки внешнего поля связанными или свободными зарядами.

5. Приложение.

1. Формула Остроградского – Гаусса.

Пусть f (x, y, z) - некоторая функция , а S - замкнутая поверхность, ограничивающая объём V. На отрезке 1-2 (рис. 4), параллельном оси X, f - является функцией одного аргумента x. Интегрируя вдоль этого отрезка получим:

где и - значения функции f на концах рассматриваемого промежутка.

Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок 1 2. Пусть dσ - площадь поперечного сечения его (величина положительная). Умножая предыдущее соотношение на dσ. Так как dσdx есть элементарный объём dV, заштрихованный на рисунке, то в результате получится:

где dV – часть объёма V, вырезаемого из него поверхность цилиндра. Пусть dS1 и dS2 эле -ментарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром на поверхности S, а 1 и 2 –

единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S. Тогда:

dσ = d22х = - d11х,

а поэтому:

или короче: где поверхностный интеграл распространён на сумму площадок dS1 и dS2. Весь объём V можно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения. Суммируя эти соотношения, получим:

(35)

Интеграл справа распространён по всему объёму V, справа – по поверхности S, ограничивающей этот объём. Аналогичные соотношения можно написать для осей Y и Z.

Возьмём теперь произвольный вектор и применим к его компонентам соотношение (35). Получим:

и аналогично для компонент Ay и Az. Складывая эти соотношения, найдём:

или:

Эту формулу Остроградского – Гаусса можно также записать в виде:

Смысл её заключается в том, что полный поток вектора через некоторую поверхность S равен суммарной алгебраической мощности источников, порождающих векторное поле.

Если объём V бесконечно мал, то величина div внутри него может считаться постоянной. Вынося её за знак интеграла и переходя к пределу V→ 0, получим:

Предельный переход надо понимать в том смысле, что область V должна стягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны беспредельно уменьшаться по всем направлениям. Эти рассуждения показывают, что величина, стоящая в правой части вышеуказанной формулы, не зависит от формы поверхности S, стягиваемой в точку. Поэтому это выражение можно принять за исходную формулировку дивергенции. Такое определение обладает преимуществом, потому что оно инвариантно, т.е. никак не связано с выбором координат.

2. Формула Стокса.

По определению ротор (вихрь) некоторого вектора :

(36)

Зная ротор вектора в каждой точке некоторой (не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру , ограничивающему S, (контур также может быть не плоским). Для этого разобъём поверхность на очень малые элементы . Ввиду их малости эти элементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (36) циркуляция вектора по контуру, ограничивающему , может быть представлена в виде.

(37)

где - положительная нормаль к элементу поверхности.

Зная, что циркуляция по некоторому контуру равна сумме циркуляций по контурам, содержащиеся в данном, можно просуммировать выражение (37) по всем , и тогда получим циркуляцию вектора по контуру , ограничивающему S:

Осуществив предельный переход, при котором все стремиться к нулю (число их при этом неограниченно растёт, придём к формуле:

(38)

Соотношение (38) носит название теоремы Стокса. Смысл её состоит в том, что циркуляция вектора по произвольному контуру равна потоку вектора через произвольную поверхность S , ограниченную данным контуром.

6. Список использованной литературы

Федорченко А. М. Классическая электродинамика. – К.: Вища школа, 1988. – 280 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Электричество. – М.: Наука, 1983. – 688 с.
Савельев И. В. Курс обшей физики. 3 том. – М.: Наука, 1988. – 496 с.

topref.ru

Курсовая работа - Уравнения Максвелла. Граничные условия