Действительные числа. Иррациональные и тригонометрический уравнения. Реферат на тему тригонометрические функции числового аргумента

Основное тригонометрическое тождество | Высшая математика

Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций.

Тригонометрические функции числового аргумента

Какое бы действительное число ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число $\sin\; t$ . Правда, правило соответствия довольно сложное и заключается в следующем.

Чтобы по числу найти значение $\sin\; t$ , нужно:

расположить числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка окружности попала в точку ;
на окружности найти точку, соответствующую числу ;
найти ординату этой точки.

Эта ордината и есть искомое $\sin\; t$ .

Фактически речь идет о функции $s = \sin\; t$ , где — любое действительное число. Мы умеем вычислять некоторые значения этой функции (например, $\sin\; 0 = 0$ , $\sin\; \frac {\pi}{6} = \frac{1}{2}$ и т.д.), знаем некоторые ее свойства.

Точно так же мы можем считать, что уже получили некоторые представления еще о трех функциях: $s=\cos\; t$ , $s = \tan\; t$ , $s=\cot\; t$ . Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента .

Связь тригонометрических функций

Как вы, надеюсь, догадываетесь все тригонометрические функции связаны между собой и даже не зная значение одной, ее можно найти через другое.

К примеру, самая главная формула, из все тригонометрии — это основное тригонометрическое тождество:

$\boxed {\sin^2\; t + \cos^2 \; t = 1}$

Как видите, зная значение синуса можно найти значение косинуса, и также наоборот. Также очень распространенные формулы, связывающие синус и косинус с тангенсом и котангенсом:

$\boxed {\tan\; t=\frac{\sin\; t}{\cos\; t}, \qquad t \not= \frac{\pi}{2}+ \pi k}$

$\boxed {\cot\; t=\frac{\cos\; }{\sin\; }, \qquad t \not= \pi k}$

Из двух последних формул можно вывести еще одно тригометрическое тождество, связывающее на этот раз тангенс и котангенс:

$\boxed {\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \not= \frac{\pi k}{2}}$

Теперь давайте посмотрим, как эти формулы действуют на практике.

ПРИМЕР 1. Упростить выражение: а) $1+ \tan^2 \; t$ , б) $1+ \cot^2 \; t$

а) В первую очередь распишем тангенс, сохраняя квадрат:

$1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}$

Далее нам нужно избавиться от единицы, а это по основному тригонометрическому тождеству:

$1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}$

Теперь введем все под общий знаменатель, и получаем:

$\sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} = \frac{\cos^2 \; t + \sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}$

Ну и наконец, как мы видим числитель можно по основному тригонометрическому тождеству сократить до единицы, в итоге получаем: $1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t}$

б) С котангенсом выполняем все те же самые действия, только в знаменателе будет уже не косинус, а синус и ответ получится таким:

$1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t}$

Выполнив данное задание мы вывели еще две очень важные формулы, связывающие наши функции, которые тоже нужно знать, как свои пять пальцев:

$\boxed {1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t}, \qquad t \not= \frac{\pi}{2}+ \pi k}$

$\boxed {1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t}, \qquad t \not= \pi k}$

Все представленные в рамках формулы вы должны знать наизусть, иначе дальнейшее изучение тригонометрии без них просто невозможно. В дальнейшем будут еще формулы и их будет очень много и уверяю все их вы точно будете запоминать долго, а может и не запомните, но эти шесть штук должны знать ВСЕ!

mathcentr.ru

Тригонометрические функции углового аргумента

Цели урока:

обучающая: рассмотреть тригонометрические функции углового аргумента; показать связь между тригонометрическими функциями углового и числового аргумента; повторить связи между элементами прямоугольного треугольника; ввести понятие «угловая мера угла», «радианная мера угла»; показать формулы перехода от радианной меры угла к угловой и обратно.

развивающая: развитие умения применять полученные знания на практике, развитие умения быстро переходить от радианной меры угла к угловой и обратно.

воспитывающая: воспитание дисциплины и норм поведения, творческого отношения к изучаемому предмету; стимулировать активность учащихся, повышать мотивацию к изучению математики.

Методы:

словесный — беседа;

наглядный — видеоурок, записи на доске;

контролирующий — тестирование или устный (письменный) опрос, решение задач).

Ход урока:

1. Организационный этап.

Добрый день. Прежде чем мы приступим к уроку, хотелось бы, чтобы каждый из вас настроился на рабочий лад.

2. Актуализация знаний.

На предыдущих уроках, мы с вами познакомились с тригонометрическими функциями числового аргумента тэ. Напомним их:

Тригонометрические функции углового аргумента

3. Объяснение нового материала.

Скачать видеоурок «Тригонометрические функции углового аргумента»

Сегодня мы будем рассматривать тригонометрические функции углового аргумента. Прежде чем перейти к рассмотрению новой темы, давайте вспомним как и зачем появились понятия синус, косинус, тангенс и котангенс.

Появились эти понятия тогда, когда стало необходимым вычислить высоту дерева, не залезая на него.

Тригонометрические функции углового аргумента

С понятиями синус, косинус, тангенс, котангенс мы знакомились в прямоугольном треугольнике. Давайте вспомним основные правила, связанные с этими величинами.

Тригонометрические функции углового аргумента

Возьмем угол α и разместим его на числовой окружности так, чтобы вершина угла совпала с началом координат.

Тригонометрические функции углового аргумента

Рассмотрим пример.

Тригонометрические функции углового аргумента

Рассмотрим несколько примеров.

Тригонометрические функции углового аргумента

Изобразим числовую окружность и проведем угол величиной в один градус.

Тригонометрические функции углового аргумента

Покажем, что изученные нами ранее тригонометрические функции числового аргумента и тригонометрические функции углового аргумента — это одно и тоже.

Изобразим числовую окружность и разместим в ней треугольник АВС так, чтобы вершина, а совпала с началом координат.

Тригонометрические функции углового аргумента

Выполните упражнения:

Тригонометрические функции углового аргумента

4. Решение задач.

5. Рефлексия

Хотелось бы услышать ваши отзывы о сегодняшнем уроке: что вам понравилось, что не понравилось, чем бы хотелось узнать еще.

6. Домашнее задание.

videouroki.net

Действительные числа. Иррациональные и тригонометрический уравнения

1 радиану, что обозначается: = 1 рад. Таким образом, мы имеем следующее определение радианной меры измерения:

Радиан есть центральный угол, у которого длина дуги и радиус равны (AmB = AO, рис.1). Итак, радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

Тригонометрические функции острых углов можно определить как отношение длин сторон прямоугольного треугольника.

Синус:

Косинус:

Тангенс:

Котангенс:

Тригонометрические функции числового аргумента

Определение.

.,">Синусом числа х называется число, равное синусу угла в х радианов . Косинусом числа х называется число, равное косинусу угла в х радианов.

Аналогично определяются и другие тригонометрические функции числового аргумента х.

Формулы привидения.

Формулы сложения. Формулы двойного и половинного аргумента.

Двойного.

;

(; .

Тригонометрические функции и их графики. Основные свойства тригонометрических функций.

Тригонометрические функции."> - вид элементарных функций .

Функция y sinx ее свойства и график

Свойства:

1. D (y) =R.

2. Е (у) = [-1; 1].

3. Функция у = sinx - нечетная, так как по определению синуса тригонометрического угла sin (-x) = - y/R = - sinx, где R - радиус окружности, у - ордината точки (рис).

4. Т = 2л - наименьший положительный период. Действительно,

sin (x+p) = sinx.

5. Точки пересечения с осями координат:

с осью Ох: sinx = 0; х = pn, nZ;

с осью Oy: если х = 0, то у = 0,6. Промежутки знакопостоянства:

sinx > 0, если x (2pn; p + 2pn), nZ;

sinx < 0, если х (p + 2pn; 2p+pn), nZ.

Знаки синуса в четвертях

у > 0 для углов а первой и второй четвертей.

у < 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Промежутки монотонноти:

y = sinx возрастает на каждом из промежутков [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nz и убывает на каждом из промежутков [p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn], nz.

8. Точки экстремума и экстремумы функции:

xmax = p/2 + 2pn, nz; ymax = 1;

ymax = - p/2 + 2pn, nz; ymin = - 1.

Свойства функции у = cosx и ее график:

Свойства:

1. D (y) = R.

2. Е (у) = [-1; 1].

3. Функция у = cosx - четная, так как по определению косинуса тригонометрического угла cos (-a) = x/R = cosa на тригонометрическом круге (рис)

4. Т = 2p - наименьший положительный период. Действительно,

cos (x+2pn) = cosx.

5. Точки пересечения с осями координат:

с осью Ох: cosx = 0;

х = p/2 + pn, nZ;

с осью Оу: если х = 0,то у = 1.

6. Промежутки знакопостоянства:

cosx > 0, если х (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nZ;

cosx < 0, если х (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nZ.

Доказывается это на тригонометрическом круге (рис). Знаки косинуса в четвертях:

x > 0 для углов a первой и четвертой четвертей.

x < 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Промежутки монотонноти:

y = cosx возрастает на каждом из промежутков [-p + 2pn; 2pn],

nz и убывает на каждом из промежутков [2pn; p + 2pn], nz.

Свойства функции у = tgx и ее график: свойства -

1. D (y) = (xR, x p/2 + pn, nZ).

2. E (y) =R.

3. Функция y = tgx - нечетная

4. Т = p - наименьший положительный период.

5. Промежутки знакопостоянства:

tgx > 0 при х (pn; p/2 + pn;), nZ;

tgx < 0 при x (-p/2 + pn; pn), nZ.

Знаки тангенса по четвертям смотри на рисунке.

6. Промежутки монотонности:

y = tgx возрастает на каждом из промежутков

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

nz.

7. Точки экстремума и экстремумы функции:

нет.

8. x = p/2 + pn, n

www.studsell.com

Урок-игра "Математическое ралли" по теме "Тригонометрические функции числового аргумента"

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (341 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Выработка умений и навыков применения тригонометрических формул для упрощения тригонометрических выражений.
Реализация принципа деятельностного подхода в обучении учащихся, развитие коммуникабельности и толерантности учащихся, умения слушать и слышать других и высказывать своё мнение.
Повышение интереса учащихся к математике.

Тип урока: тренировочный.

Вид урока: урок отработки навыков и умений.

Форма обучения: групповая.

Тип групп: группа, сидящая вместе. Ученики разного уровня обученности, информированности по данному предмету, совместимые учащиеся, что позволяет им взаимно дополнять и обогащать друг друга.

Оборудование: доска; мел; таблица «Тригонометр»; маршрутные листы; карточки с буквами (А, В, С.) для выполнения теста; таблички с названиями экипажей; оценочные листы; таблицы с названиями этапов пути; магниты, мультимедийный комплекс.

Ход урока

Ученики сидят по группам: 4 группы по 5-6 человек. Каждая группа – это экипаж машины с названиями, соответствующими названиям тригонометрических функций, во главе с рулевым. Каждому экипажу выдаётся маршрутный лист и определяется цель: пройти заданный маршрут успешно, без ошибок. Урок сопровождается презентацией.

I. Организационный момент.

Учитель сообщает тему урока, цель урока, ход урока, план работы групп, роль рулевых.

Вступительное слово учителя:

– Ребята! Запишите число и тему урока: «Тригонометрические функции числового аргумента».

Сегодня на уроке мы буде учиться:

Вычислять значения тригонометрических функций;
Упрощать тригонометрические выражения.

Для этого нужно знать:

Определения тригонометрических функций
Тригонометрические соотношения (формулы).

Известно давно, что одна голова хорошо, а две лучше, поэтому вы сегодня работаете в группах. Известно также, что дорогу осилит идущий. Но мы живём в век скоростей и время дорого, а значит можно сказать так: «Дорогу осилит едущий», поэтому сегодня урок у нас пройдёт в виде игры «Математическое ралли». Каждая группа – это экипаж машины, во главе с рулевым.

Цель игры:

успешно пройти маршрут каждому экипажу;
выявить чемпионов ралли.

Название экипажей соответствует марке машины, на которой вы совершаете пробег.

Представляются экипажи и их рулевые:

Экипаж – «синус»
Экипаж – «косинус»
Экипаж – «тангенс»
Экипаж – «котангенс»

Девиз гонки: «Торопись медленно!»

Вам предстоит совершить пробег по «математической местности» со множеством препятствий.

Маршрутные листы каждому экипажу выданы. Преодолеть препятствия смогут экипажи, которые знают определения и тригонометрические формулы.

Во время пробега каждый рулевой руководит экипажем, помогая, и оценивая вклад каждого члена экипажа в преодоление маршрута в виде «плюсов» и «минусов» в оценочном листе. За каждый правильный ответ группа получает «+», неправильный «-».

Вам предстоит преодолеть следующие этапы пути:

I этап. ПДД (правила дорожного движения). II этап. Техосмотр. III этап. Гонка по пересечённой местности. IV этап. Внезапная остановка – авария. V этап. Привал. VI этап. Финиш. VII этап. Итоги.

И так в путь!

I этап. ПДД (правила дорожного движения).

1) В каждом экипаже рулевые раздают каждому члену экипажа билеты с теоретическими вопросами:

Расскажите определение синуса числа t и его знаки по четвертям.
Расскажите определение косинуса числа t и его знаки по четвертям.
Назовите наименьшее и наибольшее значения sin t и cos t.
Расскажите определение тангенса числа t и его знаки по четвертям.
Расскажите определение котангенса числа t и его знаки по четвертям.
Расскажите, как найти значение функции sin t по известному числу t.

2) Соберите «рассыпавшиеся» формулы. На тайной доске таблица (см. ниже). Экипажи должны привести в соответствие формулы. Ответ каждая команда записывает на доске в виде строки соответствующих букв (парами).

а	tg2t + 1	е	1
в	tg t	ж	cos t / sin t, t ≠ к, кZ.
д	sin2t + cos2t	и	1/ sin2t, t ≠ к, кZ.
ё	ctg t	к	1, t ≠ к / 2, кZ.
з	1 + ctg2t	г	sin t /cos t, t ≠ /2 + к, кZ.
й	tg t ∙ctg t	б	1/ cos2t, t ≠ /2 + к, кZ.

Ответ: аб, вг, де, ёж, зи, йк.

II этап. Техосмотр.

Устная работа: тест.

На тайной доске написано: задание: упростить выражение.

Рядом записаны варианты ответов. Экипажи определяют правильные ответы за 1 мин. и поднимают соответствующий набор букв.

№	Выражение	Варианты ответов
№	Выражение	А	В	С
1.	1 – cos2t	cos2t	- sin2t	sin2t
2.	sin2t – 1	cos2t	- cos2t	2 cos2t
3.	(cos t – 1)(1+ cos t)	-sin2t	(1+ cos t)2	(cos t – 1)2

Ответ: С В А.

III этап. Гонка по пересечённой местности.

3 минуты экипажам на совещание по решению задания, а далее представители экипажей пишут решение на доске. Когда представители экипажей закончат записывать решение первого задания, все ученики (вместе с учителем) проверяют правильность и рациональность решений и записывают в тетрадь. Рулевые оценивают вклад каждого члена экипажа знаками « + » и « – » в оценочных листах.

Задания из учебника:

Экипаж – «синус»: № 118 г;
Экипаж – «косинус»: № 122 а;
Экипаж – «тангенс»: № 123 г;
Экипаж – «котангенс»: № 125 г.

IV этап. Внезапная остановка – авария.

– Ваш автомобиль сломался. Необходимо устранить неисправность вашего автомобиля.

Для каждого экипажа приведены высказывания, но в них допущены ошибки. Найдите эти ошибки и объясните, почему они были допущены. В высказываниях используются тригонометрические функции, соответствующие маркам ваших машин.

V этап. Привал.

Вы устали и должны отдохнуть. Пока экипаж отдыхает рулевые подводят предварительные итоги: считают «плюсы» и «минусы» у членов экипажа и в целом у экипажа.

Для учеников:

3 и более «+» – оценка «5»; 2 «+» – оценка «4»; 1 «+» – оценка «3».

Для экипажей: «+» и «-» взаимно уничтожаются. Считаются только оставшиеся знаки.

Отгадайте шараду.

Из чисел вы мой первый слог возьмите, Второй – из слова «гордецы». А третьим лошадей вы погоните, Четвёртым будет блеянье овцы. Мой пятый слог такой же, как и первый, Последней буквой в алфавите является шестой, А если отгадаешь ты всё верно, То в математике раздел получишь ты такой. (Три-го-но-ме-три-я)

Слово «тригонометрия» (от греческих слов «тригонон» – треугольник и «метрео» – измеряю) означает «измерение треугольников». Возникновение тригонометрии связано с развитием географии и астрономии – науки о движении небесных тел, о строении и развитии Вселенной.

В результате произведённых астрономических наблюдений возникла необходимость определения положения светил, вычисления расстояний и углов. Так как некоторые расстояния, например, от Земли до других планет, нельзя было измерить непосредственно, то учёные стали разрабатывать приёмы нахождения взаимосвязей между сторонами и углами треугольника, у которого две вершины расположены на земле, а третью представляет планета или звезда. Такие соотношения можно вывести, изучая различные треугольники и их свойства. Вот почему астрономические вычисления привели к решению (т. е. нахождению элементов) треугольника. Этим и занимается тригонометрия.

Зачатки тригонометрии были обнаружены в древнем Вавилоне. Вавилонские учёные умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Некоторые сведения тригонометрического характера встречаются в старинных памятниках других народов древности.

VI этап. Финиш.

Чтобы успешно пересечь линию финиша осталось поднапрячься и совершить «рывок». Очень важно в тригонометрии уметь быстро определять значения sin t, cost, tgt, ctg t, где 0 ≤ t ≤ . Учебники закрыть.

Экипажи поочерёдно называют значения функций sin t, cost, tgt, ctg t , если:

VII этап. Итоги.

Итоги игры.

Рулевые сдают оценочные листы. Определяется экипаж, ставший чемпионом «Математического ралли» и характеризуется работа остальных групп. Далее называются фамилии тех, кто получил оценки «5» и «4».

Итоги урока.

– Ребята! Чему вы сегодня научились на уроке? (упрощать тригонометрические выражения; находить значения тригонометрических функций). А что для этого нужно знать?

определения и свойства sin t, cos t, tg t, ctg t;
соотношения, связывающие значения различных тригонометрических функций;
знаки тригонометрических функций по четвертям числовой окружности.
значения тригонометрических функций первой четверти числовой окружности.

– Я думаю, что вы поняли, что формулы нужно хорошо знать, чтобы их правильно применять. Вы также поняли, что тригонометрия очень важная часть математики, так как она применяется в других науках: астрономии, географии, физике и др.

Домашнее задание:

для учеников получивших «5» и «4»: §6, №128а, 130а, 134а.
для остальных учеников: §6, №119г, №120г, №121г.

Приложение.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Тригонометрические функции углового и числового аргументов.

Количество просмотров публикации Тригонометрические функции углового и числового аргументов. - 80

5°. . 6°. .

Теория.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Основные свойства и графики.

Степенная, показательная, логарифмическая функции.

Свойства операции возведения в степень:

1°. . 2°..

3°. . 4°. .

Свойства операции нахождения логарифма:

0°.Основное логарифмическое тождество: . Свойство является, по сути дела, оп-

ределением операции логарифмирования.

1°. . 2°. .

3°. . 4°. .

5°. . 6°. .

Показательной функцией принято называть функция .Ее свойства:

1. Область определения .

2. Область значений .

3. .

4. ,

На приведенных рисунках видим графики показательных функций с различными основаниями: слева – с основаниями , справа – с основаниями .

При этом, сплошной линией изображены графики показательной функции с основаниями , а крестиками – с основаниями .

Показательная функция определена для любых вещественных значениях показателя степени и принимает только положительные значения, что и указано в свойствах 1 и 2 показательной функции. Графики всех показательных функций проходят через точку с координатами (свойство 3).

Свойство 4 показательной функции говорит о том, что при основаниях больших единицы показательная функция есть функция возрастающая, а при основаниях меньших единицы – убывающая.

Логарифмической функцией принято называть функция вида

, являющаяся функцией обратной показательной функции с тем же основанием.

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения .

2. Область значений .

3. .

4. ,

Свойства 1 и 2 показывают, что область определения и область значений показательной функции для логарифмической функции поменялись местами, что и естественно ибо это взаимно обратные функции.

Графики всех логарифмических функций проходят через точку с координатами (свойство 3).

Свойство 4 показательной функции указывает на то, что при основаниях больших единицы логарифмическая функция есть функция возрастающая, а при основаниях меньших единицы – убывающая.

На приведенных рисунках видим графики логарифмических функций с различными основаниями: сверху – с основаниями , снизу – с основаниями .

При этом, сплошной линией изображены графики логарифмической функции с основаниями , а крестиками – с основаниями .

И, наконец:

Общая схема решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

1. Переход к одному и тому же основанию во всех показательных (логарифмических)функциях, входящих в данное уравнение.

2. Переход к одному и тому же показателю степени ( выражению под знаком логарифма).

3. Замена показательной (логарифмической) функции новой переменной.

4. Решение получившегося уравнения или неравенства относительно новой переменной.

5. Обратная замена и возврат к показательным (логарифмическим) функциям.

6. Решение простейших показательных (логарифмических)уравнений или неравенств.

Задачи для решения :1*, 2*, …, 24*

Решить следующие показательные неравенства:

1*. 25–х + 5–х+1 ³ 50; 2*. ;

3*. ; 4*. 98 – ;

5*. ; 6*. ;

7*. ; 8*. ;

9*. ; 10*. ;

11*. ; 12*. ;

13*. ;

Решить следующие логарифмические неравенства:

14*. ; 15*. ;

16*. ; 17*. ;

18*. ;

19*. ; 20*. ;

21*. ; 22*. ;

23*. ; 24*. .

referatwork.ru

Действительные числа. Иррациональные и тригонометрический уравнения. Реферат на тему тригонометрические функции числового аргумента

Основное тригонометрическое тождество | Высшая математика

Тригонометрические функции числового аргумента

Связь тригонометрических функций

Тригонометрические функции углового аргумента

Действительные числа. Иррациональные и тригонометрический уравнения

Урок-игра "Математическое ралли" по теме "Тригонометрические функции числового аргумента"

Презентация к уроку

Ход урока

I. Организационный момент.

I этап. ПДД (правила дорожного движения).

II этап. Техосмотр.

III этап. Гонка по пересечённой местности.

IV этап. Внезапная остановка – авария.

V этап. Привал.

VI этап. Финиш.

VII этап. Итоги.

Тригонометрические функции углового и числового аргументов.

Смотрите также