Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО Тульский государственный университет
Реферат
на тему:«Поверхности»
Дисциплина: «ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА»
Выполнил
студент группы 120691
Юдин А.С.
Проверил
Казимиров А.Н.
Поверхность - название для двумерного многообразия в пространстве.
Поверхности определяются как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений. Это неявный способ указания поверхности. Существуют еще два: явный способ (возможно, выразить одну переменную из уравнения поверхности через другие) и параметрический способ задания. При параметрическом указании задается система уравнений, которая и определяет поверхность.
Простая поверхность - поверхность, которую можно представить как часть плоскости, подвергнутую непрерывным искажениям.
Поверхности классифицируются по многим признакам. Некоторые из них:
1) Кривизна: каждому направлению поверхности от заданной точки соответствует своя форма сечения, которая и определяет кривизну;
2) Наличие касательной к поверхности: обычно касательная к поверхности – это плоскость. В некоторых случая через одну точку поверхности можно провести сколь угодно много касательных. Наличие касательной у какой-либо поверхности влияет на ее гладкость;
3) Метрика и внутренняя геометрия;
4) Нормаль: за нормаль к поверхности принимают единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке. Существует так же нормальное сечение;
5) Геодезические линии: кривая на поверхности называется геодезической линией, если во всех её точках главная нормаль к кривой совпадает с нормалью к поверхности;
6) Площадь: площадь в общем смысле – это числовая характеристика. Существуют поверхности с бесконечной площадью, например параболоид;
7) Ориентация: ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.
Приведем примеры некоторых поверхностей, опишем их основные характеристики, укажем применение и обозначение.
Эллипсоид. Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид
где a, b и c - положительные числа.
Данная поверхность обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Существует так же эллипсоид вращения. Применяется в геодезии.
Сфера– частный случай эллипсоида - замкнутая поверхность, следовательно, она имеет конечную площадь. Площадь сферы находят по формуле S=4πR^2.
Поверхность обозначается формулой:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = R^2.
Применяется во многих отраслях (например, шарики для подшипников)
Рис. 1
На рисунке 1 представлентор. Тор получается при вращении окружности радиуса b по окружности радиуса a. Существует возможность проведения такой касательной плоскости, которая будет иметь с тором только одну единственную точку. Обозначается параметрическими уравнениями:
Применяется в хлебопекарной промышленности.
Рисунок 1 содержиткатеноид. Параметрическое уравнение:
Эта поверхность применяется в медицинской технике, для создания излучателя ультразвуковых волн. Имеет бесконечную площадь, причем это поверхность вращения.
Псевдосфера имеет следующее параметрическое уравнение:
Существование псевдосферы выявлено из работ Лобачевского.
Рис. 2
На рисунке 2 изображенгеликоид. Прямой геликоид - поверхность, образованная движением прямой, вращающейся вокруг оси и перпендикулярной к ней и одновременно поступательно движущейся в направлении этой оси, причем скорости этих движений пропорциональны.
Задается параметрическими уравнениями:
Применяется при создании винтовых поверхностей, например лестниц или валов мясорубок.
Параболоид– поверхность вращения. Описывается уравнениями:
z = ax^2 + by^2
Одна из наиболее известных поверхностей –цилиндр. Имеет параметрические уравнения вида:
x=cos2Ps;
y=2t-1;
z=sin2Ps.
Цилиндры имеют широчайшее применение во всех сферах жизни (например, колесо автомобиля, кружка, ручка).
Существует еще много поверхностей в пространстве, которые имеют необычную для нас форму и размер. Мы рассмотрели лишь простейшие из них.
superbotanik.net
Виды поверхностей
В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому целесообразно поверхность рассматривать как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии...
Геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Если две точки А и В (см. рисунок) связаны кривой y = f(x) и вся эта фигура вращается около оси x, то кривая образует при этом поверхность вращения. Площадь этой поверхности зависит от формы кривой, т. е. от формы функции f(x). Существует кривая...
Графическое отображение объектов и процессов при их проектировании в промышленности и строительстве
При решении метрических задач связанных с определением истинных размеров изображенных на эпюре (комплексном чертеже) фигур, могут встретиться значительные трудности, если заданные проекции не подвергнуть специальным преобразованиям...
Кривые Евклидова пространства
Рассмотрим регулярную (u,v) в окрестности точки Р. . Отсюда получаем . Дифференцируем это неравенство по x и по y Главные направления в касательной плоскости определяются этой системой уравнений, если она имеет ненулевые решения, т.е...
Метод геометрических преобразований при решении геометрических задач на построение
Поворотом вокруг точки O на угол называется преобразование плоскости, переводящее каждую точку A в такую точку A?, что OA = OA? и угол между лучами OA и OA? (т. е. угол, отсчитываемый против часовой стрелки от луча OA к лучу OA?) равен . [5, стр...
Некоторые замечательные кривые
вышеупомянутой полосы около асимптоты UV равен объему V? тела вращения круга C около той же оси (Слюз): . При вращении той же полосы около оси симметрии получается тело бесконечного объема...
Объем фигур вращения правильных многогранников
Образующими поверхностей вращения в задачах представленных в данной работе служат ребра многогранника, т.е. общие стороны двух граней многогранника. При вращении любого многогранника вокруг произвольной оси получается тело вращения...
Объем фигур вращения правильных многогранников
Правильные многогранники можно вписать в сферу, поэтому все задачи на вращение правильных многогранников, содержащие пересекающиеся поверхности вращения, удовлетворяют следующей теореме. Теорема Монжа Две поверхности второго порядка...
Определенный интеграл
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке функции , осью , прямыми и , вращается вокруг оси (рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле . (9) Пример 13. Вычислить объем тела...
Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания
Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ? 0, где х [а;b], а функция у = f(х) и ее производная у = f(х) непрерывны на этом отрезке. Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис 8)...
Применение интегралов к решению прикладных задач
Рассмотрим вопрос о вычислении площади поверхности вращения. Вычислим площадь поверхности вращения, считая её существующей и обладающей свойством аддитивности. Пусть имеем на плоскости xy (именно в верхней полуплоскости) некоторую кривую AB...
Продольное и поперечное обтекание тел вращения
Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения (см. Приложение 1) возьмем в меридианальных плоскостях (r, x) эллиптическую систему координат (, ), связанную с (r, x) соотношениями х = с ch cos , 0 , r = с sh sin , 0 2...
Продольное и поперечное обтекание тел вращения
Наряду с продольным обтеканием тел вращения представляет интерес и поперечное обтекание, перпендикулярное (Приложение 1, б) к оси симметрии тела. Из сложения этих двух потоков можно получить обтекание тела вращения под любым углом...
Продольное и поперечное обтекание тел вращения
В большинстве практических приложений приходится иметь дело с телами вращения, удлинение которых, т.е. отношение длины к максимальной толщине, довольно велико (порядка 8-12)...
Численные методы решения математических задач
A = Пошаговое выполнение программы (преобразование...
math.bobrodobro.ru
МПС РФОмский Государственный Университет Путей Сообщения
Р Е Ф Е Р А Т
«Определение площади тела вращения с помощью определенного интеграла.»
выполнила: студентка группы 29 Г Митрохина Анна
Проверил : Гателюк О.В.
Омск 2000г.
ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.
В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.
Самое важное из истории интегрального исчисления!
Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).
Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.
Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести .
| |
| |
На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).
Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).
В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y =, где N - целое (т. е. вывел формулу
), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.
| |
дифференциальное и интегральное исчисление создано.
Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).
Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.
| |
ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг оси Ох.
Применяя теорему Лагранжа получим:,где
Следовательно
Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме
, или сумме, (1)
распространенной на все звенья ломаной.Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ΔSiстремится к нулю, называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции(2), так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi-1, xi], фигурирует несколько точек этого отрезка xi-1, xi ,ξi.. Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т.е.
или
(3)Формула (3) определяет площадь Р поверхности теля вращения возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке а ≤ x ≤ b неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией f(x).
Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=φ(t), y=ψ(t) (t0 ≤ t ≤ t1) то формула (3) имеет вид,
(3/)
bukvasha.ru
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО Тульский государственный университет
Реферат
на тему: «Поверхности»
Дисциплина: «ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА»
Выполнил
студент группы 120691
Юдин А.С.
Проверил
Казимиров А.Н.
Поверхность - название для двумерного многообразия в пространстве.
Поверхности определяются как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений. Это неявный способ указания поверхности. Существуют еще два: явный способ (возможно, выразить одну переменную из уравнения поверхности через другие) и параметрический способ задания. При параметрическом указании задается система уравнений, которая и определяет поверхность.
Простая поверхность - поверхность, которую можно представить как часть плоскости, подвергнутую непрерывным искажениям.
Поверхности классифицируются по многим признакам. Некоторые из них:
1) Кривизна: каждому направлению поверхности от заданной точки соответствует своя форма сечения, которая и определяет кривизну;
2) Наличие касательной к поверхности: обычно касательная к поверхности – это плоскость. В некоторых случая через одну точку поверхности можно провести сколь угодно много касательных. Наличие касательной у какой-либо поверхности влияет на ее гладкость;
3) Метрика и внутренняя геометрия;
4) Нормаль: за нормаль к поверхности принимают единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке. Существует так же нормальное сечение;
5) Геодезические линии: кривая на поверхности называется геодезической линией, если во всех её точках главная нормаль к кривой совпадает с нормалью к поверхности;
6) Площадь: площадь в общем смысле – это числовая характеристика. Существуют поверхности с бесконечной площадью, например параболоид;
7) Ориентация: ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.
Приведем примеры некоторых поверхностей, опишем их основные характеристики, укажем применение и обозначение.
Эллипсоид. Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид
где a, b и c - положительные числа.
Данная поверхность обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Существует так же эллипсоид вращения. Применяется в геодезии.
Сфера – частный случай эллипсоида - замкнутая поверхность, следовательно, она имеет конечную площадь. Площадь сферы находят по формуле S=4πR^2.
Поверхность обозначается формулой:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = R^2.
Применяется во многих отраслях (например, шарики для подшипников)
Рис. 1
На рисунке 1 представлен тор. Тор получается при вращении окружности радиуса b по окружности радиуса a. Существует возможность проведения такой касательной плоскости, которая будет иметь с тором только одну единственную точку. Обозначается параметрическими уравнениями:
Применяется в хлебопекарной промышленности.
Рисунок 1 содержит катеноид. Параметрическое уравнение:
Эта поверхность применяется в медицинской технике, для создания излучателя ультразвуковых волн. Имеет бесконечную площадь, причем это поверхность вращения.
Псевдосфера имеет следующее параметрическое уравнение:
Существование псевдосферы выявлено из работ Лобачевского.
Рис. 2
На рисунке 2 изображен геликоид. Прямой геликоид - поверхность, образованная движением прямой, вращающейся вокруг оси и перпендикулярной к ней и одновременно поступательно движущейся в направлении этой оси, причем скорости этих движений пропорциональны.
Задается параметрическими уравнениями:
Применяется при создании винтовых поверхностей, например лестниц или валов мясорубок.
Параболоид – поверхность вращения. Описывается уравнениями:
z = ax^2 + by^2
Одна из наиболее известных поверхностей – цилиндр. Имеет параметрические уравнения вида:
x=cos2Ps;
y=2t-1;
z=sin2Ps.
Цилиндры имеют широчайшее применение во всех сферах жизни (например, колесо автомобиля, кружка, ручка).
Существует еще много поверхностей в пространстве, которые имеют необычную для нас форму и размер. Мы рассмотрели лишь простейшие из них.
www.neuch.ru
