Показательные уравнения и неравенства. Показательные уравнения реферат

Показательные уравнения | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

Показательными принято называть уравнения, в которых неизвестное входит только в показатели степеней при постоянных основаниях. Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

. (1)

Его решением при , является .

Некоторые показательные уравнения приводятся к виду (1) с помощью равенств:

Многие показательные уравнения решаются методом приведения обеих частей к одному основанию.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Поскольку , то

Ответ: .

…

При решении простейших показательных уравнений используется преобразование, состоящее в вынесении общего множителя за скобки.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Вынося в левой части уравнения выражение за скобки, получаем

Ответ:

Уравнение вида

(2)

может быть решено при помощи логарифмирования обеих частей (это возможно, так как обе части уравнения положительны).

Логарифмируя, получаем уравнение , равносильное уравнению (2).

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Обе части положительны, поэтому можно прологарифмировать его по основанию 5. Получим уравнение

,

равносильное исходному. Таким образом,

.

Ответ: .

Если показательное уравнение имеет вид

(3)

то его решение заменой сводится к решению уравнения вида

,

где – корни уравнения .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Обозначая , получаем квадратное уравнение

,

корнями которого будут .

Таким образом, решение данного уравнения свелось к решению уравнений .

Второе уравнение решений не имеет, так как при всех допустимых значениях . Из одного уравнения следует другое

Проверкой убеждаемся, что эти корни удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ:

Показательные уравнения, основания степеней которых являются последовательными членами геометрической прогрессии, а показатели степеней одинаковы, делением на любой из крайних членов приводятся к уравнениям вида (3).

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Разделим обе части уравнения на . Имеем

.

Обозначая , получаем уравнение , корнями которого будут .

Таким образом, решение уравнения сводится к решению двух простейших показательных уравнений .

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.Область допустимых значений данного уравнения состоит из всех натуральных чисел, больших 1.

Разделив обе части уравнения на и положив , получим уравнение , корни которого .

Таким образом, решение уравнения сводится к решению двух уравнений , которые решений не имеют.

Ответ: нет решений.

Уравнения вида

(4)

с множеством допустимых значений, определяемых условием , логарифмированием обеих частей приводятся к эквивалентному уравнению

. (5)

Последнее уравнение эквивалентно двум уравнениям:

. (6)

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Множество допустимых значений неизвестного данного уравнения . Логарифмируя обе части уравнения по основанию 3 и приводя подобные члены, получаем , которое эквивалентно двум уравнениям:

.

Ответ: .

refac.ru

Показательно-степенные уравнения и неравенства - Дипломная работа

белгородский государственный университет

КАФЕДРА алгебры, теории чисел и геометрии

Тема работы: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Дипломная работа студента физико-математического факультета

Научный руководитель:

______________________________

Рецензент : _______________________________

________________________

Белгород. 2006 г.

Содержание.

Введение 3Тема I.Анализ литературы по теме исследования.Тема II.Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.I.1.Степенная функция и ее свойства.I.2.Показательная функция и ее свойства.Тема III.Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.Тема IV.Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.Тема V.Опыт проведения занятий со школьниками по теме: Решение показательно-степенных уравнений и неравенств.V.1.Обучающий материал.V.2.Задачи для самостоятельного решения.Заключение. Выводы и предложения.Список используемой литературы.Приложения Введение.

…радость видеть и понимать…

А.Эйнштейн.

В этой работе я попыталась передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия.

Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто состоял на учете у психиатра и кто действительно интересовался математикой

Мне довелось решать множество методических задач. Я попытаюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появляются новые вопросы.

Но еще важнее самого опыта учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт?

И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. Под юпитерами нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения всех и всему, а сам ребенок. Но тогда с необходимостью и учитель.

В школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени это показательно-степенные уравнения и неравенства.

В школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.

Работать над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Он заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1), рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1.

Анализ письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению следствию или неравенству следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных неравенств.

Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.

Таким образом тема, моей дипломной работы определена следующим образом: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Целями настоящей работы являются:

1. Проанализировать литературу по данной теме.
2. Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
3. Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов.
4. Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие рекомендации к изучению этой темы.

Предметом нашего исследования является разр

www.studsell.com

Показательные уравнения и неравенства — Курсовая

Введение 3Γлава 1. Функции и их свойства, используемые при решении показательных уравнений и неравенств 51.1. Показательные функции, уравнения 51.2. Показательные неравенства 7Γлава 2. Решение показательных уравнений и неравенств 82.1. Решение показательных уравнений, алгоритм и примеры 82.2. Решение показательных неравенств, план решения и примеры 12Γлава 3. Занятие со школьниками по теме: «Решение показательных уравнений и неравенств». 16Заключение 24Список литературы 25

1. Авербух Б.Г., Рубинштейн А.И. Об определении степени и решении уравнений и неравенств, содержащих показательно степенную функцию.//Математика в школе. – 1996. -№2. - с.29-33.2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений: Колмагоров А.Н., Абрамов А.М., Дудинцын Ю.П. и др.; Под редакцией Колмагорова А.Н. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2002.3. Белоненко Т.В., Васильев А.Е., Васильева Н.И., Крымская .Д. Сборник конкурсных задач по математике. – СПб.: Спецлитература, 2008.4. Василенко Ю.К. Тождества, уравнения, неравенства: Пособие для повышения квалификации учителей математики. – Белаидит. Белгород, 2003.5. Василюк Л.И., Куваева Л.А. Математика для абитуриентов: Справочник в экзаменационных вопросах и ответах. – Мн. Амалфея, 2009.6. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Математика для поступающих в ВУЗы. – М.: Дрофа, 2000.7. Дудинцын Ю.П., Смирнова В.К. Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по алгебре и началам анализа: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 2005.8. Единый государственный экзамен: Математика: Контрольно-измерительные материалы./ Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков6 под редакцией Ковалевой Г.С; М-во образования Российской Федерацию – М.: Просвещение, 2003.9. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – 2-е изд. - М.: Просвещение, 2008.10. Математика. Методические указания по подготовке к вступительным экзаменам./ СПбГИТМО. – СПб., 2000.11. Нараленков М.И. Вступительные экзамены по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие. – М.: Экзамен, 2008.12. Норин А.В. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. – Спб.: Питер, 2003.13. Потапов М.К., Олейник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. – 2-е изд. – М.: Физмалит, 2005.14. Потапов М.К., Александров А.В., Пасиченко П.И. Алгебра и начала анализа. Современный курс для поступающих в ВУЗы. – М.: Экзамен, 1998.15. Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Элельман А.Г. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991.16. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. - М.: Просвещение, 1988.17. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник пособие по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука. ГРФМЛ, 2005.18. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзаменам. – М.: Рольф, 2007.19. Шарыгин И.Ф. Математика. Для поступающих в ВУЗы: Учебное пособие. – 4-е изд. –М.: Дрофа, 2002.20. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2005.21. Якушева Е.В., Попов А.В., Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начало анализа 9 и 11 выпускные классы: Учебное пособие.- М.: АСТ-Пресс, 2000.

a-center.ru

Показательные уравнения | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

Функция вида , где а – положительное число, не равное единице, называется показательной. Свойства показательной функции:

1)область определения – множество всех действительных чисел,

2) область значений – множество всех положительных чисел,

3) если

4) если

5) тогда и только тогда, когда

6) , если

График показательной функции приведен на рис. 4.1.

Рис. 4.1. График показательной функции.

Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными.

Уравнения вида где

равносильны уравнению Если то решением являются все значения х, принадлежащие одновременно областям определения функций f (x) и g (x). Аналогично в случае а = 0,

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. поэтому урав­нение можно записать в виде:

Ответ: x = 6.

Уравнения вида можно, заменив свести к квадратному (или линейному при А = 0) уравнению:

Пример 2. Решить уравнение :

Решение.

Обозначим тогда

По теореме Виета

не удовлетворяет условию поэтому у = 25.

откуда х = 2.

Ответ: х = 2.

Пример 3. Решить уравнение:

Решение.

Обозначим тогда

По теореме Виета

Если то

если то

Ответ: или

Уравнения вида делением на b2х приводят к виду:

а затем заменой сводят к квадратному уравнению

Пример 4. Решить уравнение :

Решение .

Разделим почленно уравнение на 92х:

Обозначим тогда

,

Если y = 1, то если

то

Ответ: или

Пример 5. Решить уравнение:

Решение. Поскольку то . Следовательно, если обозначить то исходное уравнение примет вид .

Уравнение имеет два корня

и .

При , получим уравнение,

или , откуда , х = 4.

Если ,то получим уравнение,

Ответ: х = 4, х = –4.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Примеры аналогичного типа предлагаются в вариантах ЕГЭ в разделе С. Поэтому решение должно быть достаточно подробным с указанием всех переходных моментов. Перепишем уравнение в виде

преобразуем и введем замену и Теперь уравнение примет вид

Такие уравнения называются однородными и всегда имеют нулевые решения причём если то и .

В силу замены, которую мы произвели, и поэтому можно почленно разделить уравнение либо на а2, либо на b2. Разделим на b2 и получим: .

Пусть , тогда , , .

Если , то , и ,

откуда , , , .

Если ,то , и

или , откуда

Ответ:

Замечание. В вариантах ЕГЭ иногда требуют пояснить переход от равенства к равенству непрерывностью и монотонностью показательной функции.

Пример 7. Решить уравнение:

Решение. Выражение в правой части может принимать значения либо 1, либо (–1). Левая часть уравнения представляет собой квадрат некоторого действительного числа, поэтому не может принимать отрицательных значений. Следовательно, и правая часть уравнения неотрицательна.

В силу этих рассуждений откуда Обозначим тогда или

Значение не удовлетворяет условию поэтому

Заменив получим квадратное уравнение

Если то

Если , то

Ответ:

refac.ru

Смотрите также

• 
  Кун томас реферат
• 
  Культура досуга реферат
• 
  Инфузория туфелька реферат
• 
  Египет культурология реферат
• 
  Достопримечательности россии реферат
• 
  Горький биография реферат
• 
  Гамзат цадаса реферат
• 
  Экономика великобритании реферат
• 
  Рефераты по игпзс
• 
  Реферат современные гаджеты
• 
  Реферат обязательный аудит