WinNavigator

Frigate

Norton Commander

WinNC

Dos Navigator

Servant Salamander

Turbo Browser

Winamp, Skins, Plugins

Необходимые Утилиты

Текстовые редакторы

Юмор

File managers and best utilites

Реферат: На тему: «Магические Квадраты». Магические квадраты 5 класс реферат

Доклад - Магические квадраты - Математика

Реферат по математике ученицы 8 г класса Бисеровой Алены

Муниципальное образовательное учреждение – Гимназия № 47

г. Екатеринбург, 2000г.

Введение

Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял… магические квадраты»- писал Бенджамин Франклин. Магический квадрат- это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же.

Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики.

Цель настоящего реферата – знакомство с различными магическими квадратами, латинскими квадратами и изучение областей их применения.

Магические квадраты.

Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов 2х2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3х3, так как остальные магические квадраты 3х3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.

Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3х3 можно 8 различными способами:

9+5+1

9+4+2

8+6+2

8+5+2

8+4+3

7+6+2

7+5+3

6+5+4

В магическом квадрате 3х3 магической постоянной 15 должны быть равны сумме трех чисел по 8 направлениям: по 3 строкам, 3 столбцам и 2 диагоналям. Так как число, стоящее в центре, принадлежит 1 строке, 1 столбцу и 2 диагоналям, оно входит в 4 из 8 троек, дающих в сумме магическую постоянную. Такое число только одно: это 5. Следовательно, число, стоящее в центре магического квадрата 3х3, уже известно: оно равно 5.

Рассмотрим число 9. Оно входит только в 2 тройки чисел. Мы не можем поместить его в угол, так как каждая угловая клетка принадлежит 3 тройкам: строке, столбцу и диагонали. Следовательно, число 9 должно стоять в какой–то клетке, примыкающей к стороне квадрата в ее середине. Из-за симметрии квадрата безразлично, какую из сторон мы выберем, поэтому пишем 9 над числом 5, стоящим в центральной клетке. По обе стороны от девятки в верхней строке мы можем вписать только числа 2 и 4. Какое из этих двух чисел окажется в правом верхнем углу и какое в левом, опять – таки не имеет значения, так как одно расположение чисел переходит в другое при зеркальном отражении. Остальные клетки заполняются автоматически. Проведенное нами простое построение магического квадрата 3х3 доказывает его единственность.

Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг нее в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6),

дерево (3 и 8), металл (4 и 9).

С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера. Существует 880 магических квадратов порядка 4 и 275 305 224 магических квадратов порядка 5. Причем, квадраты 5х5 были известны еще в средние века. Мусульмане, например, очень благоговейно относились к таким квадратом с цифрой 1 в середине, считая его символом единства Аллаха.

Магический квадрат Пифагора

Великий ученый Пифагор, основавший религиозно – философское учение, провозгласившее количественные отношения основой сущности вещей, считал, что сущность человека заключается тоже в числе – дате рождения. Поэтому с помощью магического квадрата Пифагора можно познать характер человека, степень отпущенного здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования.

Для того, чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаю его расчет на своем примере. А чтобы убедиться, что результаты подсчета действительно соответствуют реальному характеру той или иной личности, вначале я проверю его на себе. Для этого я буду делать расчет по своей дате рождения. Итак, моя дата рождения 20.08.1986. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без учета нулей): 2+8+1+9+8+6=34. Далее складываем цифры результата: 3+4=7. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 34-4=30. И вновь складываем цифры последнего числа:

3+0=3. Осталось сделать последние сложения – 1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм: 34+30=64, 7+3=10. Получили числа 20.08.1986,34,7,30, 64,10.

и составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т. д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате мой квадрат будет выглядеть следующим образом:

Ячейки квадрата означают следующее:

Ячейка 1 – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

1 – законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.

11 – характер, близкий к эгоистическому.

111 – «золотая середина». Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.

1111 – люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных – профессионалов, а женщины держат свою семью в кулаке.

11111 – диктатор, самодур.

111111 – человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой – то идеи.

Ячейка 2 – биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество двоек определяет уровень биоэнергетики.

Двоек нет – открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.

2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.

22 – относительно большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы.

222 – знак экстрасенса.

Ячейка 3 – точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к постоянному «восстановлению справедливости».

Нарастание троек усиливает все эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.

Ячейка 4 – здоровье. Это связано с экгрегором, то есть энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.

4 – здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуются плавание и бег.

44 – здоровье крепкое.

444 и более – люди с очень крепким здоровьем.

Ячейка 5 – интуиция, ясновидение, начинающееся проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.

Пятерок нет – канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто

ошибаются.

5 – канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную пользу.

55 – сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии – юрист, следователь.

555 – почти ясновидящие.

5555 – ясновидящие.

Ячейка 6 – заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка.

Шестерок нет – этим людям необходим физический труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.

6 – могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.

66 – люди очень заземлены, тянутся к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность либо занятия искусством.

666 – знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания.

6666 – эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть

девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.

Ячейка 7 – количество семерок определяет меру таланта.

7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.

77 – очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству.

777 – эти люди, как правило, приходят на Землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.

7777 – знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.

Ячейка 8 – карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

Восьмерок нет – у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.

8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.

88 – у этих людей развитое чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким.

888 – знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов.

8888 – эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам. Им открыты сверхъестественные пути.

Ячейка 9 – ум, мудрость. Отсутствие девяток — свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.

9 – эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.

99 – эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они наделены чувством юмора с ироничным оттенком, независимые.

999 – очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.

9999 – этим людям открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний. При всем этом они, как правило, довольно

приятны, так как острый ум делает их грубыми, немилосердными и жестокими.

Итак, составив магический квадрат Пифагора и зная значение всех комбинаций цифр, входящих в его ячейки, вы сможете в достаточной мере оценить те качества вашей натуры, которыми наделила матушка – природа.

Латинские квадраты.

Не смотря на то, что математиков интересовали в основном магические квадраты наибольшее применение в науке и технике нашли латинские квадраты.

Латинским квадратом называется квадрат nхn клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рис.3 изображены два таких квадрата 4х4. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными.

1	2	3	4
2	1	4	3
3	4	1	2
4	3	2	1

1	2	3	4
3	4	1	2
4	3	2	1
2	1	4	3

Задачу отыскания ортогональных латинских квадратов впервые поставил Л. Эйлер, причём в такой занимательной формулировке: “ Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и кроме того поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить всех офицеров в каре 6 х6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?”

Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не сушествует. В то же время Эйлер доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечетных значений n и для таких четных значений n, которые делятся на 4. Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений n, то есть если число n при делении на 4 даст в остатке 2, ортогональных квадратов не существует. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов 6 6 не существует, и это усиливало уверенность в справедливости гипотезы Эйлера. Однако в 1959 г. помощью ЭВМ были найдены сначала ортогональные квадраты 10х10, потом 14х14, 18х18, 22х22. А затем было показано, что для любого n, кроме 6, существуют ортогональные квадраты nхn.

Магические и латинские квадраты – близкие родственники. Пусть мы имеем два ортогональных квадрата. Заполним клетки нового квадрата тех же размеров следующим образом. Поставим туда число n(a – 1)+b, где а — число в такой клетке первого квадрата, а b — число в такой же клетке второго квадрата. Нетрудно понять, что в полученном квадрате суммы чисел в строках и столбцах (но не обязательно на диагоналях) будут одинаковы.

Теория латинских квадратов нашла многочисленные применения как в самой математике, так и в ее приложениях. Приведем такой пример. Пусть мы хотим испытать 4 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причем хотим учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для того разобьем квадратный участок земли на 16 делянок (рис.4). Первый сорт пшеницы посадим на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт – на четырех делянках, соответствующих следующей полосе, и т. д. (на рисунке сорт обозначен цветом). При этом максимальная густота посевов пусть будет на тех делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу рисунка, и уменьшается при переходе вправо (на рисунке этому соответствует уменьшение интенсивности цвета). Цифры же, стоящие в клетках рисунка, пусть означают:

первая – количество килограммов удобрения первого вида, вносимого на этот участок, а вторая – количество вносимого удобрения второго вида. Нетрудно понять, что при этом реализованы все возможные пары сочетаний как сорта и густоты посева, так и других компонентов: сорта и удобрений первого вида, удобрений первого и второго видов, густоты и удобрений второго вида.

11	22	33	44
23	14	41	32
34	43	23	32
42	31	24	13

Использование ортогональных латинских квадратов помогает учесть все возможные варианты в экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.

Заключение

В настоящем реферате рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, — магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т.д.).

Ближайшие родственники магических квадратов – латинские квадраты нашли многочисленные применения как в математике, так и в ее приложениях при постановке и обработке результатов экспериментов. В реферате приведен пример постановки такого эксперимента.

В реферате также рассмотрен вопрос о квадрате Пифагора, представляющем исторический интерес и, возможно, полезном для составления психологического портрета личности.

Список литературы

1. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика», 1989г.

2. М.Гарднер «Путешествие во времени», М., «Мир», 1990г.

3. Физкультура и спорт № 10, 1998г.

www.ronl.ru

«Магические квадраты магия или наука»

Министерство образования Республики Башкортостан

Отдел образования муниципального района

Янаульский район

МБОУ СОШ с. Максимово

Исследовательская работа:

«Магические квадраты – магия или наука».

Выполнили:

ученики 4 класса

Кашапов Алмаз

Магданова Роксана

Руководитель:

Кашапова И.Р.

учитель начальных классов

МБОУ СОШ с. Максимово

Содержание

1. Введение

2. История появления магических квадратов

3. Виды магических квадратов

4. Как составить магический квадрат

5. Выводы

6. Использованные материалы

1. Введение

На уроке математики мы часто выполняем задание на заполнение магических квадратов. А однажды учительница предложила нам самим составить подобное задание для второклассников. Но эта работа оказалась не такой простой, как нам показалось на первый взгляд. Нас заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора нам не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это вызвало у нас желание заняться исследовательской работой, чтобы раскрыть секреты и найти способы составления магических квадратов.

Тема исследования: составление магических квадратов.

Объект исследования: магический квадрат.

Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

Цель исследования: раскрыть «секреты» магического квадрата

Задачи исследования:

- познакомиться с историей появления магических квадратов

- изучить способы заполнения магических квадратов

Методы исследования: анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.

Этапы исследования:

1. Знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

2. Оформление работы

3. Выступление перед классом

2. История появления магических квадратов

Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица, заполненная числами так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбике и на обеих диагоналях одинакова. Согласно китайскому преданию, самый простой и древнейший известный человечеству магический квадрат был начертан на панцире священной черепахи. Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Существует такая легенда. Давным-давно более 4 000 лет тому назад из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, у которой на панцире были нарисованы таинственные иероглифы (рис. а), и эти знаки называют ло-шу.

Если посчитать количество кружочков в каждой фигуре, и поместить полученные числа в клетки квадрата, получится магический квадрат (рис. б)

В XI в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии. Европейцев с магическими квадратами познакомил в XV в. византийский писатель.

3. Виды магических квадратов

Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства, будто они могли даже вылечить человека от страшных болезней. Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.

А еще существуют квадраты, в которых два числа, расположенных симметрично относительно центра квадрата, дают одинаковую сумму.

Например, квадрат, составленный китайским математиком в XIII в. (рис. в). Он сумел построить магический квадрат из 36 клеток, в котором только две пары таких чисел не дают сумму 37. ( Мы проверяли)

27	29	2	4	13	36
9	11	20	22	31	18
32	25	7	3	21	23
14	16	34	30	12	5
28	6	15	17	26	19
1	24	33	35	8	10

4. Как составить магический квадрат

Изучив множество способов составления магического квадрата, мы решили составить алгоритм работы по наиболее доступным для нас способам

I. Алгоритм составления магического квадрата для последовательных чисел.

1) Записать цифры в том порядке, как показано на рисунке:

1 2 3

4 5 6

7 8 9

2) Поменять местами цифры, стоящие на противоположных концах диагоналей: 1 и 9, 3 и 7:

9 2 7

4 5 6

3 8 1

3) Сдвинуть на шаг по часовой стрелке каждое из чисел

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Таким образом, мы получим магический квадрат, магическая сумма которого (т.е. сумма чисел в любой строке, в любом столбце и на каждой из диагоналей) равна 15.

Проделав эксперимент по изменению направления движения чисел в обратную сторону, расположили числа так, как показано на рисунке:

2 7 6

9 5 1

4 3 8

Значит, направление значения не имеет, главное сохранить порядок следования чисел.

Мы сделали ещё одно наблюдение в ходе экспериментов. Если все стоящие в углу числа – чётные, то все стоящие на сторонах числа - нечетные. И как результат этого – магическая сумма в квадратах из последовательных чисел всегда нечетное число.

II. Алгоритм составления магического квадрата из произвольных чисел

Выбрать произвольных три числа.
Найти сумму этих трех чисел (МС– магическая сумма).

3. Найти (МС : 3), это число записывается в центре на пересечении диагоналей магического квадрата.

Изучив алгоритмы заполнения магических квадратов, нам захотелось экспериментировать: что произойдет, если мы поменяем местами числа, получится ли магическая сумма? Получится ли такой же квадрат или другой?

После долгих экспериментов мы пришли к открытию двух главных условий: - сумма трех произвольно взятых чисел должна делиться на 3 без остатка;

- если разность наибольшего и наименьшего из трех выбранных чисел больше магической суммы, то следует расположить их на соседних клетках квадрата.

Например, составить квадрат начиная с чисел 3, 9, 12. Первое условие соблюдено: (3+9+12):3=8. Необходимо выполнить и второе условие, т.к.

12-3>8. То есть, задание должно выглядеть так:

3	12	9	или так:	9	3	12	но не так:	3	9	12

5. Выводы

1. Магический квадрат - древнекитайского происхождения.

2. Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

3. С помощью подготовленных нами алгоритмов можно составить множество заданий на заполнение магических квадратов (см. приложение).

Мы изучили лишь небольшую часть способов составления магических квадратов, поэтому на этом мы не собираемся останавливаться. Есть еще много разных видов магических квадратов, которые мы хотели бы в дальнейшем изучать. Составление магических квадратов представляет собой отличную гимнастику для ума. Мы обязательно должны научить и других тому, что умеем сами. К тому же, теперь магические квадраты – это элементы нанотехнологии: фирма «Toshiba», разрабатывая качественные телевизионные экраны, пришла к выводу, что цветовые ячейки выгодно располагать по принципу магических квадратов. В этом случае резко повышаются качество и четкость изображений, цветовые переходы.

6. Использованные материалы

1) . Энциклопедия Кругосвет

2) ›. Википедия

3) Энциклопедический словарь юного математика. — М.: Педагогика, 1989

Приложение

Алгоритм работы №1

1. Выбрать произвольных три числа.

2. Найти сумму этих трех чисел (МС– магическая сумма).

3. Найти (МС : 3), это число записывается в центре на пересечении диагоналей магического квадрата.

Алгоритм работы №2

1. Записать цифры по порядку в квадрате.

2. Поменять местами цифры, стоящие на противоположных концах диагоналей.

3. Сдвинуть на шаг по часовой стрелке каждое из чисел

4 9 11

адание 1. Заполните магический квадрат.

Задание 2. Составить магический квадрат, начиная с чисел 8, 9 и 13.

Задание 3. Найдите и запишите остальные числа магического квадрата.

17 7 9

Задание 4*. Расположите числа 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 в магическом квадрате.

Задание 5*. Расположите числа 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 в магическом квадрате.

Задание 6*. Расположите числа 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51 в магическом квадрате.

refdb.ru

Реферат - На тему: «Магические Квадраты»

Моу Гимназия №5.

Реферат

На тему:

«Магические Квадраты»

Выполнил: Ондар Монге,

ученик 7Д класса

Учитель: Леонтьева Евгения Ивановна

Г. Кызыл 2012год.

Содержание

Введение 3-5 стр.

I.Теоретическая часть.

1.История появления магических квадратов 5-6 стр.

II.Практическая часть.

2.Способы заполнения магических квадратов:

2.1.Метод А.де ла Лубера 6-7 стр.

2.2.Метод Ф.де ла Ира 7 стр.

2.3.Достраивание до

симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры 7-9 стр.

3.Выводы 9-10 стр.

Литература 10 стр.

Введение

Однажды за 3 минуты до конца урока математики учитель предложил одному классу решить следующую задачу.

Задача: заполнить квадрат 3´3 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова.

Так как никто не справился с заданием за такое короткое время, решение задачи было предложено на дом. Из 25 учеников этого класса с ней справился только один. Он изобразил заполненный квадрат на доске, сказав, что на его заполнение у него ушло минут 10-15. Он перебирал различные варианты, пока не пришел к нужному.

Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это побудило меня заняться работой.

Тема: заполнение магических квадратов.

Объект: магический квадрат.

Цели: изучить способы заполнения магических квадратов и историю их появления

Задачи:

— Познакомиться с историей появления и названия магических квадратов

— изучить известные способы заполнения магических квадратов

Методы: Анализ литературы и Интернет-ресурсов.

Этапы:

1. знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

2. апробация найденных методов

3. оформление работы

Оборудование:

— компьютер

— проектор для демонстрации презентации

— сопроводительная презентация

1. История появления магических квадратов

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а ), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, в 15 в. О магических квадратах узнали европейцы. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат Дюрера ( рис.2 ) изображен на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

рис.1 рис.2

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.

2. Способы заполнения магических квадратов

Магические квадраты нечетного порядка

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера . Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца (по ломаной диагонали). Дойдя до правого края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки или угла, траектория спускается на одну клетку вниз.

рис.4

Метод Ф.де ла Ира (1640–1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б ). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5,в ) образует магический квадрат.

Достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры

Сначала исходный пустой квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на следующем рисунке.

255
24	20
23	19	15
22	18	14	10
21	17	13	9	5
16	12	8	4
11	7	3
6	2
25

Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам снизу-вверх-направо целыми числами от 1 до n2 последовательно.

Каждое число, расположенное в фигуре вне исходного квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного квадрата в самую удаленную клетку.

Выводы

1. Магический квадрат – древнекитайского происхождения.

2. Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

3. Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка.

4. Для квадратов нечетного порядка существует 3 способа: метод Ф.де ла Ира (на двух квадратах), метод А.де ла Лубера и достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры.

Литература:

1. cad.narod.ru/methods/cadsystems/software/kvadrat/html

2. ru.wikipedia.org/wiki

3. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. Учебник математики. Москва. Просвещение. 1989г.

4. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика»,

www.ronl.ru

Реферат на тему: «Магические квадраты»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ И НАУКИ КАЗАХСТАН

выполнила ученица 5 «б» кл.

г. Петропавловск, 2008

Введение…………………………………………………………………3

История возникновения магических квадратов……..………………..4

Магические квадраты..………………………………………………….6

Магический квадрат Пифагора…………………………………………8

Латинские квадраты…………………………………………………....15

Заключение…..…………………………………………………………16

История возникновения магических квадратов.

Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет с Сатурном, Юпитером, Марсом, Солнцем, Венерой, Меркурием, Луной.

Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

Составление магических квадратов было делом не только астрологов или бездельников, ищущих забавы. Теорию их разрабатывали многие выдающиеся математики. В 1654 году французский ученый Блез Паскаль написал трактат, полностью посвященный магическим квадратам. В дальнейшем к теории магических квадратов обращались многие выдающиеся математики. Она находит применение в ряде важных математических вопросов. Выводы теории магических квадратов используются в одном из методов решения систем уравнений со многими неизвестными и даже в современной квантовой механике.

А любителям математики составление квадратов служило хорошей гимнастикой ума и одно время столь же процветало, как увлечение кроссвордами в наши дни. Особо усердным хватало терпения, чтобы составить , например, квадрат 43-го порядка с числами от 1 до 1849. Один только факт: в 1838 году, когда о математических квадратах было известно намного меньше, чем теперь, во Франции был напечатан трактат на эту тему, состоящий из трех объемных томов. Однако полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени.

Магические квадраты.

Магический квадрат второго порядка не существует. В этом легко убедиться испытанием. Учитывая симметрию квадрата, абсолютно безразлично, в какой из четырех углов мы поставим 1, допустим в левый нижний угол. В расположении чисел по одной диагонали возможны три варианта:

Какое бы теперь число мы не поставили в левый верхний угол, суммы чисел в первой строке и первом столбце будут разными. Вывод: магический квадрат второго порядка не существует.

Существует единственный магический квадрат 3х3 ,так как остальные магические квадраты 3х3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.

Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3х3 можно 8 различными способами:

Мы уже доказали, что магического квадрата второго порядка не существует и можно составить единственный магический квадрат третьего порядка, если не считать его отражения и повороты. На очереди - квадрат четвертого порядка. Оказалось, что с возрастанием порядка, количество различных магических квадратов увеличивается очень резко. Несимметричных магических квадратов четвертого порядка существует 880, с учетом поворотов и отражений это число увеличивается до 7040.

По последним данным для магических квадратов пятого порядка существует 275 305 224 возможных вариантов.

Магический квадрат Пифагора.

Для выполнения расчета необходимо рассматривать каждую дату рождения как набор цифр, а не чисел. Запись даты рождения производится в строгой последовательности, однозначные числа записываются без нулей перед ними.

Я родилась 13 февраля 1996 года. Запись: число, месяц, год (порядок не нарушать): 1321996.

1. Вычислим первое число: для расчета первого числа необходимо сложить все цифры числового ряда даты рождения 1+3+2+1+9+9+6= 31, первое число – 31.

2. Вычислим второе число: для расчета второго числа необходимо сложить цифры, из которых состоит первое число 3+1=4, второе число – 4.

3. Вычислим третье число: для расчета третьего числа необходимо вычесть из первого числа первую цифру всего ряда (в моем примере цифра 1), умноженную на постоянный множитель – 2.

31 – 2 ∙ 1 = 29, третье число – 29.

4. Вычислим четвертое число. Для вычисления четвертого числа необходимо сложить цифры, из которых состоит третье число 2+9=11, четвертое число – 11. Запишем полученные числа под датой рождения:

Выпишем одинаковые цифры в математический квадрат Пифагора (кроме цифры 0). Для моей даты рождения.

11111	4	нет
22	нет	нет
33	6	999

Ячейки квадрата означают следующее:

Ячейка 1 – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

1 – законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.

11 – характер, близкий к эгоистическому.

111 – «золотая середина». Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.

11111 – диктатор, самодур.

111111 – человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой – то идеи.

Двоек нет – открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.

2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.

222 – знак экстрасенса.

4 – здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуются плавание и бег.

44 – здоровье крепкое.

444 и более – люди с очень крепким здоровьем.

Ячейка 5 – интуиция, ясновидение, начинающееся проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.

Пятерок нет – канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто

ошибаются.

5 – канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную пользу.

555 – почти ясновидящие.

5555 – ясновидящие.

Ячейка 7 – количество семерок определяет меру таланта.

7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.

Ячейка 8 – карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

Восьмерок нет – у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.

8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.

Ячейка 9 – ум, мудрость. Отсутствие девяток - свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.

9 – эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.

999 – очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.

9999 – этим людям открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний. При всем этом они, как правило, довольно приятны, так как острый ум делает их грубыми, немилосердными и жестокими.

Латинские квадраты.

Латинским квадратом называется квадрат n х n клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рисунке изображены два таких квадрата 4 х 4. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными.

1	2	3	4
2	1	4	3
3	4	1	2
4	3	2	1

1	2	3	4
3	4	1	2
4	3	2	1
2	1	4	3

Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не существует. В то же время Эйлер доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечетных значений n и для таких четных значений n, которые делятся на 4. Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений n, то есть если число n при делении на 4 даст в остатке 2, ортогональных квадратов не существует. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов 6 х 6 не существует, и это усиливало уверенность в справедливости гипотезы Эйлера. Однако в 1959 г. помощью ЭВМ были найдены сначала ортогональные квадраты 10 х 10, потом 14 х 14, 18 х 18, 22 х 22. А затем было показано, что для любого n , кроме 6, существуют ортогональные квадраты n х n.

Магические и латинские квадраты – близкие родственники. Пусть мы имеем два ортогональных квадрата. Заполним клетки нового квадрата тех же размеров следующим образом. Поставим туда число n(a – 1)+b, где а - число в такой клетке первого квадрата, а b - число в такой же клетке второго квадрата. Нетрудно понять, что в полученном квадрате суммы чисел в строках и столбцах (но не обязательно на диагоналях) будут одинаковы.

Теория латинских квадратов нашла многочисленные применения как в самой математике, так и в ее приложениях. Использование ортогональных латинских квадратов помогает учесть все возможные варианты в экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.

Заключение

В настоящем реферате рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т.д.).

Список используемой литературы:

1. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика», 1985г.

2. М. Гарднер «Путешествие во времени», М., «Мир», 1990г.

3. В.В.Трошин «Магия чисел и фигур», Москва «Глобус», 2007 г.

referat.znate.ru

Исследовательская работа по теме «Магические квадраты»

МБОУ лицей №7

Исследовательская работа по теме «Магические квадраты».

Выполнила: Антонов Артем, ученик 5 класса Г

Преподаватель: Ольховая Татьяна Николаевна

СОДЕРЖАНИЕ.

Введение…………………………………………………………………...3
Что такое «магический квадрат» …………….…………………..……....3

3. История появления магических квадратов….…………………………….3

4. Магический квадрат 3*3………………………………………………..…..4

5.Виды магических квадратов………………………………………..………4

6. Количество решений магических квадратов………………………….…..5

7. Методы заполнения магических квадратов…………………..…………..5

8. Применение магических квадратов………………………………….……6

9. Вывод по теме………………………………………………………………6

10. Приложени1…………………………………...…………………………..7

11. Приложение 2……………………………….…………………………….8

12. Приложение 3……………………………………………………….…….9

13. Список литературы и Интернет-ресурсов……………………….……..10

Введение.

Магические квадраты.… От этого словосочетания сразу веет волшебством. Великие учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира. Они увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, свои тайны. Позже выяснилось, что располагая числа правильными рядам, в случае «магии» можно, складываю слева направо и сверху вниз, каждый раз получаются равные числа. Так в ходе времени образовался магический квадрат, который мы встречаем по сей день.

Проблема: заполнение магических квадратов.

Цель: изучение магических квадратов: их видов, способов заполнения и применения на практике.

Задачи:

познакомиться с историей появления магических квадратов;
выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения;
выявить области применения магических квадратов.

Актуальность выдвинутой мной проблемы заключается в привлечении учащихся к решению нестандартных задач, которые часто можно встретить в современных учебниках по математике. Я считаю, что магический квадрат является одной из наиболее интересных головоломок.

Что такое «магический квадрат»?

Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n х n, заполненная натуральными числами от 1 до n2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости oт четности n), Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной. (рис. 1)

”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими - магическими»” - писал о них Пьер де Ферма.

История появления магических квадратов.

По легенде магический квадрат появился около 2200 лет до нашей эры в Древнем Китае, когда на берег из реки Ло вылезла большая черепаха, на панцире которой был странный узор из точек, упорядочив который обнаружили 9 секторов с цифрами, расположенными в определенной последовательности. Причем при последовательном соединение линиями цифр от 1 до 9 получается символ "печать планеты Сатурн", который использовался в древнекитайской магии. Этот символ также называется символом Девяти императоров, считается, что он обладает очень мощной защитной силой и в качестве талисмана способен защитить хозяина от преждевременной смерти. (рис. 2)

Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

Название «магические» квадраты получили от арабов, Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях.

В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

Магический квадрат 3*3.

Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени.

Магических квадратов 2*2 не существует, т.к. квадрат с таким количеством клеток должен был бы состоять и чисел 1,2,3,4. Значит постоянная такого квадрата должна равняться 5. Что бы квадрат был магическим, нужно составить 6 комбинаций( слева направо(начиная от верхнего левого квадратика, сверху вниз, справа на лево, снизу вверх и о двум диагоналям). Для числа 5 существует только 2 комбинации (1+4 и 2+3)из этого следует, что такой квадрат составить нереально. Поэтому считается, что квадрат 3-го порядка самый простой. Он единственный, т.к. другой квадрат будет образован перемещением строк или столбцов, поворотом на 90 или 180.

Виды магических квадратов.

Нормальный МК - магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2. (рис. 3)

Полумагический квадрат - квадрат, заполненный числами от 1 до n2, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна магической постоянной, а по диагоналям это условие не выполняется. (рис.4)

Aссоциативный, или симметричный МК, такой магический квадрат, у которого сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу: 1+n2. (рис. 5)

Пандиагональный (дьявольский) МК - такой магический квадрат, в котором сумма чисел по разломанным диагоналям также равна константе квадрата. Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений, но только 3 существенно различных квадрата. (рис. 6)

Идеальный МК - магический квадрат, который одновременно пандиагональный и ассоциативный. (рис.7)

Совершенный МК - магический пандиагональный квадрат порядка 4k, обладающий дополнительными свойствами.Бимагический квадрат - такой магический квадрат, который остаётся магическим при замене всех его элементов на их квадраты. Бимагических квадратов3,4,5порядканесуществует.Мультимагический квадарат –обобщение бимагических квадратов на произвольную степень n.

Нетрадиционный - если в таблицу заносится не строго натуральный ряд чисел. (рис. 8)

Латинским квадратом называется квадрат n х n клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. (рис. 9)

Количество решений магических квадратов.

Изучая литературу по теме, мы установили, что с увеличением размеров квадрата

быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например,

для 3 порядка – единственный

для 4 - 880

для 5 – приближается к четверти миллиона.

Методы заполнения магических квадратов.

Магические квадраты нечетного порядка.

Метод достроения, на примере МГ 5*5.

Построим квадрат с 25 клетками и временно построим его до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры. Достроенные клеточки обозначим символом * (рис. 10)
В полученной фигуре расположим по порядку косыми рядами сверху-вниз-направо 25 целых чисел от 1 до 25. (рис. 11)
Каждое число, расположенное вне исходного (выделенного) квадрата следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядов квадрата, в нашем примере – на пять.

1 - вниз под 13 5 - влево

2 - вниз под 14 4 – влево

6 - вниз под 18 10 - влево

21 - вправо за 13 25 - вверх

22 - вправо за 14 24 - вверх

16 - вправо за 8 20 – вверх

Таким образом, все ячейки квадрата заполнены. Сумма чисел в столбцах, строках и диагоналях равна 65. (рис 12)

Магические квадраты четно-четного порядка.

Порядок 2n. Этот метод удобно рассматривать на примере магического квадрата 8*8.

Исходный квадрат разделю на соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате отмечу диагональные элементы символом. Остальные элементы построчно заполню порядковыми целыми числами в направлении слева-направо и сверху-вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы, должны быть пропущены. (рис. 13)
Отмеченные * диагональные элементы квадрата заполняю пропущенными целыми числами в порядке возрастания в направлении справа-налево и снизу-вверх, причем числа, приходящиеся на недиагональные элементы, должны быть пропущены. Сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям равна 260. (рис. 14)

Метод Раус – Бола. Для примера возьму квадрат 8-го порядка.

Квадрат заполняется слева направо и сверху вниз числами от 1 до n2 в их естественном порядке. Разделить заполненный числами от 1 до 64 квадрат на четыре равных квадрата порядка 4. (рис. 15)
В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата порядка 4 отметить2 (8=2*2*2) клетки ( всего 8 клеток). Это можно сделать, применив "шахматный" порядок. (рис. 16)
Для каждой из отмеченных клеток отметить симметричную ей относительно вертикальной оси клетку. (рис. 17)
Содержимое каждой из отмеченных клеток переставить с содержимым соответствующей центрально-симметричной ей клетки. После этих перестановок получится магический квадрат. Сумма его элементов равна 260. (рис. 18)

Магические квадраты четно-нечетного порядка.

Диагональный метод. Для примера возьмем квадрат 10*10.

Разделить заполненный числами от 1 до 100 квадрат на четыре квадрата порядка 5 осями симметрии. (рис. 19)
В левом верхнем квадрате закрашу разным цветом три группы клеток, при этом в каждой строке и в каждом столбце отмечу по две клетки из первой группы и по одной — из второй и третьей групп. Одинаковым цветом выделю клетки, расположенные вдоль диагонали квадрата и прямых, ей параллельных. (рис. 20)
Клетки, симметричные клеткам первой группы относительно вертикальной оси, закрашу таким же цветом. (рис. 21)
Число, стоящее в каждой из отмеченных в пункте 2 клеток, переставлю с числом из соответствующей центрально-симметричной клетки. (рис. 22)
Содержимое каждой клетки второй группы обменяю с содержимым симметричной ей относительно горизонтальной оси клетки. (рис. 23)
Содержимое каждой клетки третьей группы обменяю с содержимым симметричной ей относительно вертикальной оси клетки. Получится четно-нечетный магический квадрат с суммой, равной 505. (рис. 24)

Применение магических квадратов.

1)Защита информации.

Сегодня очень актуальна проблема защиты информации. С помощью магического квадрата можно закодировать информацию. Например, (рис. 25) получится : «буду в семь».

2)Судоку – Мудрость Востока. Считается, что популярная игра «судоку» берет свое начало именно из магического квадрата. (рис. 26)

3)Магические квадраты находят своё применение и в агротехнике.

9. Вывод по теме.

Магический квадрат – древнекитайского происхождения.
Универсального способа заполнения магических квадратов нет.
Способ заполнения магического квадрата зависит от его порядка
МГ является популярной головоломкой, часто встречается в олимпиадных заданиях.
С помощью МГ можно кодировать информацию.
Существует много видом МГ.
Для каждого МГ определенного порядка существуют различные способы заполнения.

Приложение 1.

Рис. 1 рис. 2 рис. 3

Рис.4 рис. 5

Рис. 6 рис. 7

Рис.8 рис. 9

Приложение 2.

Рис . 10 рис. 11 рис. 12

Рис. 13 рис. 14 рис. 15

Рис. 16 рис. 17 рис. 18

Рис. 19 рис. 20 рис. 21

Приложение 3.

Рис. 22 рис. 23 рис. 24

Рис. 25 рис. 26

Список литературы и Интернет-ресурсов:

http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E0%E3%E8%F7%E5%F1%EA%E8%E9_%EA%E2%E0%E4%F0%E0%F2
http://xreferat.ru/54/540-1-magicheskie-kvadraty.html
Энциклопедический словарь юного математика. М., Педагогика, 1999г.
http://www.informio.ru/publications/id192
http://www.coolreferat.com/Магические_квадраты_часть=3

kopilkaurokov.ru

Реферат - Магические квадраты - Математика

Реферат по математике ученицы 8 г класса Бисеровой Алены

Муниципальное образовательное учреждение – Гимназия № 47

г. Екатеринбург, 2000г.

Введение

Магические квадраты.

Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3х3 можно 8 различными способами:

9+5+1

9+4+2

8+6+2

8+5+2

8+4+3

7+6+2

7+5+3

6+5+4

дерево (3 и 8), металл (4 и 9).

Магический квадрат Пифагора

3+0=3. Осталось сделать последние сложения – 1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм: 34+30=64, 7+3=10. Получили числа 20.08.1986,34,7,30, 64,10.

Ячейки квадрата означают следующее:

Ячейка 1 – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

1 – законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.

11 – характер, близкий к эгоистическому.

111 – «золотая середина». Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.

11111 – диктатор, самодур.

111111 – человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой – то идеи.

Двоек нет – открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.

2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.

222 – знак экстрасенса.

4 – здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуются плавание и бег.

44 – здоровье крепкое.

444 и более – люди с очень крепким здоровьем.

Ячейка 5 – интуиция, ясновидение, начинающееся проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.

Пятерок нет – канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто

ошибаются.

5 – канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную пользу.

555 – почти ясновидящие.

5555 – ясновидящие.

Ячейка 7 – количество семерок определяет меру таланта.

7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.

Ячейка 8 – карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

Восьмерок нет – у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.

8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.

9 – эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.

999 – очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.

приятны, так как острый ум делает их грубыми, немилосердными и жестокими.

Латинские квадраты.

1	2	3	4
2	1	4	3
3	4	1	2
4	3	2	1

1	2	3	4
3	4	1	2
4	3	2	1
2	1	4	3

11	22	33	44
23	14	41	32
34	43	23	32
42	31	24	13

Заключение

Список литературы

1. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика», 1989г.

2. М.Гарднер «Путешествие во времени», М., «Мир», 1990г.

3. Физкультура и спорт № 10, 1998г.

www.ronl.ru

Магия магических квадратов - Математика

Магия магических квадратов

Работу выполнила

Сажина Наталья, ученица 5 «г» класса

Руководитель

Кукушкина Анна Владимировна

учитель математики МОУ лицея № 86

Цель работы:

Выяснить, может ли квадрат быть магическим

Задачи:

Познакомиться с историей появления магических квадратов
Выяснить их связь с жизнью
Вывести алгоритм построения магического квадрата

Магические квадраты — квадратные (т.е. с одинаковым количеством столбцов и строк) таблицы натуральных чисел, имеющие одинаковые суммы чисел по всем строкам, столбцам и двум диагоналям .

Определение.

Магические квадраты свое название магических или волшебных получили от арабов , которые усматривали в подобных сочетаниях чисел нечто мистическое и смотрели на них как на талисманы.

Придуманы магические квадраты впервые китайцами , так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской книге, написанной за 4000 - 5000 лет до нашей эры

(Б. А. Кордемский, «Математическая смекалка»)

Легенда о китайском магическом квадрате

М агический квадрат девятки, Ло-шу, был обнаружен на спине священной черепахи, которая жила у реки Ло, протекавшей через древнюю столицу Лоян.

Согласно преданию, Фу Си (мифический прародитель китайской цивилизации) получил панцирь черепахи с начертанным на нем магическим квадратом и знание его символов от Великого императора (божества) в знак признания за профессионально выполненные технические работы на реке Ло.

В чём же магия квадрата ло- шу?

Четные инь-числа располагались во внешних углах квадрата, а нечетные ян-числа - в углах внутреннего квадрата .

Сумма чисел любого горизонтального, вертикального ряда или диагонали

равна пятнадцати .

Как составить магический квадрат?

Определим сумму в каждой строке, столбце, диагонали.

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;

45:3=15.

2. Представим число 15 в виде суммы трех слагаемых от 1 до 9

9+5+1

9+4+2

8+6+1

8+5+2

8+4+3

7+6+2

7+5+3

6+5+4

9+ 5 +1 9+4+2

8+ 5 +2 8+6+1

7+ 5 +2 8+4+3

6+ 5 +4 7+6+2

9+ 4 + 2 8 + 4 +3 6 +5+4

8 +5+ 2

7+ 6 + 2 8 + 6 +1 7+5+3

А сколько таких квадратов существует?

Ответ: 8 квадратов

Всего таких квадратов 8:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

Задачи с магическими квадратами:

1. Впишите в клетки квадрата такие числа, чтобы квадрат стал магическим.

Задачи с магическими квадратами:

2. Расставьте числа 1, 7, 13, 31, 37, 43, 61, 67 и 73 в клетки квадрата 3*3 так, чтобы он был магическим.

«Дьявольский» квадрат

Древнейший из дошедших до нас квадратов четвёртого порядка был обнаружен в надписи XI или XII века, найденной в Кхаджурахо (Индия).

В Европу магические квадраты проникли лишь в начале XV века.

А в начале XVI века один из них был увековечен выдающимся немецким художником, гравёром и немного математиком А. Дюрером

Магический квадрат А. Дюрера

А. Дюрер « Меланхолия»(1514)

В начале XVI в. магический квадрат был увековечен в искусстве. Знаменитый немецкий художник и гравёр Альбрехт Дюрер выпустил в 1514 г. гравюру, названную им «Меланхолия». На заднем плане гравюры, над фигурой крылатой женщины в одежде горожанки, помещен магический квадрат 4×4 клетки

Магия квадрата А. Дюрера

Заслуга Дюрера заключается в том, что он сумел так вписать в расчерченный квадрат числа от 1 до 16, что сумма 34 получалась не только при сложении чисел по вертикали, горизонтали и диагонали, но и во всех четырех четвертях, в центральном четырехугольнике и даже при сложении четырех угловых клеток. Также Дюрер сумел заключить в таблицу год создания гравюры «Меланхолия»(1514)

Магический квадрат Б. Франклина

Долгое время составление магических квадратов было весьма популярным занятием математиков и любителей математики. Магический квадрат 8х8 Бенджамина Франклина

Магический квадрат М. Штифеля

Создавались магические квадраты больших размеров. Известный немецкий математик М. Штифель в книге «Arithmetica integra», вышедшей в 1544 году, приводит магический квадрат размерами 16X16. Известны магические квадраты размерами 43 X 43. Изготовление большого магического квадрата не составляет труда, поскольку имеются алгоритмы, позволяющие строить магические квадраты любых размеров. Следует, правда, отметить, что магического квадрата 2X2 не существует.

Магические квадраты существуют, и каково бы ни было их значение, или назначение, каким бы ни было отношение к ним со стороны математиков, или мистиков, одного у них не отнять — бессмертной красоты числовых сочетаний!