Контрольная работа по геометрии, 8 класс. Тема: "Подобие фигур. Решение прямоугольных треугольников.". Подобие фигур контрольная работа

Контрольная работа по геометрии на тему Подобие фигур 9 класс

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА .Подобие фигур.1 ВАРИАНТ.№ 1. У подобных треугольников АВС и А1В1С1 13 EMBED Equation.3 1415А = 270, АВ = 3м, ВС = 4м, В1С1 = 20м. Чему равны 13 EMBED Equation.3 1415А1 и сторона А1В1?

№ 2. У треугольников АВС и А1В1С1, 13 EMBED Equation.3 1415А = 13 EMBED Equation.3 1415А1, 13 EMBED Equation.3 1415В = 13 EMBED Equation.3 1415В1 АВ=20см, ВС=3см, А1В1=4см, А1С1 = 10см. Найдите остальные стороны треугольников.

№ 3. Длина тени фабричной трубы равна 80м; в это же время вертикально воткнутый в землю столб высотой 7м дает тень длиной 4м. Найдите высоту трубы.

№ 4. Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке Е. Найдите длины диагоналей, если основания АD = 12 дм и ВС = 4дм, а отрезки DЕ = 9дм и ЕС = 2дм.

№ 5. Углы В и В1 треугольников АВС и А1В1С1 равны. Стороны треугольника АВС, прилежащие к углу В в 4 раза больше сторон треугольника А1В1С1, прилежащих к углу В1. Найдите А1С1, если АС = 30 м._____________________________________________________________________________

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА .Подобие фигур.2 ВАРИАНТ.№ 1. У подобных треугольников АВС и А1В1С1 13 EMBED Equation.3 1415А = 350, АВ = 4м, ВС = 5м, В1С1 = 25м. Чему равны 13 EMBED Equation.3 1415А1 и сторона А1В1?

№ 2. У треугольников АВС и А1В1С1, 13 EMBED Equation.3 1415А = 13 EMBED Equation.3 1415А1, 13 EMBED Equation.3 1415В = 13 EMBED Equation.3 1415В1 АВ=18см, ВС=5см, А1В1=3см, А1С1 = 12см. Найдите остальные стороны треугольников.

№ 3. Длина тени фабричной трубы равна 100м; в это же время вертикально воткнутый в землю столб высотой 6м дает тень длиной 3м. Найдите высоту трубы.

№ 4. Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке Е. Найдите длины диагоналей, если основания АD = 15 дм и ВС = 3дм, а отрезки DЕ = 10дм и ЕС = 4дм.

№ 5. Углы В и В1 треугольников АВС и А1В1С1 равны. Стороны треугольника АВС, прилежащие к углу В в 2 раза больше сторон треугольника А1В1С1, прилежащих к углу В1. Найдите А1С1, если АС = 15 м._____________________________________________________________________________

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА .Подобие фигу·р.3 ВАРИАНТ.№ 1. У подобных треугольников АВС и А1В1С1 13 EMBED Equation.3 1415А = 430, АВ = 5м, ВС = 8м, В1С1 = 32м. Чему равны 13 EMBED Equation.3 1415А1 и сторона А1В1?

№ 2. У треугольников АВС и А1В1С1, 13 EMBED Equation.3 1415А = 13 EMBED Equation.3 1415А1, 13 EMBED Equation.3 1415В = 13 EMBED Equation.3 1415В1 АВ=15см, ВС=4см, А1В1=5см, А1С1 = 9см. Найдите остальные стороны треугольников.

№ 3. Длина тени фабричной трубы равна 48м; в это же время вертикально воткнутый в землю столб высотой 12м дает тень длиной 6м. Найдите высоту трубы.

№ 4. Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке Е. Найдите длины диагоналей, если основания АD = 16 дм и ВС = 8дм, а отрезки DЕ = 12дм и ЕС = 3дм.

№ 5. Углы В и В1 треугольников АВС и А1В1С1 равны. Стороны треугольника АВС, прилежащие к углу В в 5 раза больше сторон треугольника А1В1С1, прилежащих к углу В1. Найдите А1С1, если АС = 42м.КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА .Подобие фигур.4 ВАРИАНТ.№ 1. У подобных треугольников АВС и А1В1С1 13 EMBED Equation.3 1415А = 560, АВ = 6м, ВС = 20м, В1С1 = 60м. Чему равны 13 EMBED Equation.3 1415А1 и сторона А1В1?

№ 2. У треугольников АВС и А1В1С1, 13 EMBED Equation.3 1415А = 13 EMBED Equation.3 1415А1, 13 EMBED Equation.3 1415В = 13 EMBED Equation.3 1415В1 АВ=21см, ВС=6см, А1В1=3см, А1С1 = 14см. Найдите остальные стороны треугольников.

№ 3. Длина тени фабричной трубы равна 69м; в это же время вертикально воткнутый в землю столб высотой 8м дает тень длиной 3м. Найдите высоту трубы.

№ 4. Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке Е. Найдите длины диагоналей, если основания АD = 18 дм и ВС = 6дм, а отрезки DЕ = 15дм и ЕС = 5дм.

№ 5. Углы В и В1 треугольников АВС и А1В1С1 равны. Стороны треугольника АВС, прилежащие к углу В в 3 раза больше сторон треугольника А1В1С1, прилежащих к углу В1. Найдите А1С1, если АС = 18 м._____________________________________________________________________________

weburok.com

Контрольная работа по геометрии на тему 'Подобие фигур' 9 класс

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА .

Подобие фигур.

1 ВАРИАНТ.

№ 1. У подобных треугольников АВС и А1В1С1 А = 270, АВ = 3м, ВС = 4м, В1С1 = 20м. Чему равны А1 и сторона А1В1?

№ 2. У треугольников АВС и А1В1С1, А = А1, В = В1 АВ=20см, ВС=3см, А1В1=4см, А1С1 = 10см. Найдите остальные стороны треугольников.

_____________________________________________________________________________

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА .

Подобие фигур.

2 ВАРИАНТ.

№ 1. У подобных треугольников АВС и А1В1С1 А = 350, АВ = 4м, ВС = 5м, В1С1 = 25м. Чему равны А1 и сторона А1В1?

№ 2. У треугольников АВС и А1В1С1, А = А1, В = В1 АВ=18см, ВС=5см, А1В1=3см, А1С1 = 12см. Найдите остальные стороны треугольников.

_____________________________________________________________________________

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА .

Подобие фигур.

3 ВАРИАНТ.

№ 1. У подобных треугольников АВС и А1В1С1 А = 430, АВ = 5м, ВС = 8м, В1С1 = 32м. Чему равны А1 и сторона А1В1?

№ 2. У треугольников АВС и А1В1С1, А = А1, В = В1 АВ=15см, ВС=4см, А1В1=5см, А1С1 = 9см. Найдите остальные стороны треугольников.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА .

Подобие фигур.

4 ВАРИАНТ.

№ 1. У подобных треугольников АВС и А1В1С1 А = 560, АВ = 6м, ВС = 20м, В1С1 = 60м. Чему равны А1 и сторона А1В1?

№ 2. У треугольников АВС и А1В1С1, А = А1, В = В1 АВ=21см, ВС=6см, А1В1=3см, А1С1 = 14см. Найдите остальные стороны треугольников.

_____________________________________________________________________________

botana.cc

"Подобие фигур. Решение прямоугольных треугольников."

Контрольная работа по геометрии, 8 класс.

Тема: "Подобие фигур. Решение прямоугольных треугольников"

1 уровень.

ВАРИАНТ 1.

Средние линии треугольника относятся как 3 : 2 : 4, а периметр треугольника равен 45 см. Найдите стороны треугольника.

Медианы треугольника АВС пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая стороны АВ и ВС в точках Е и F соответственно. Найдите EF, если сторона АС равна 15 см.

В прямоугольном треугольнике АВС (∠С = 900) АС = 5 см, ВС = см. Найдите угол В и гипотенузу АВ.

В треугольнике АВС , ВН - высота. Найдите АН.

В трапеции АВСД продолжения боковых сторон пересекаются в точке К, причем точка В - середина отрезка АК. Найдите сумму оснований трапеции, если АД = 12 см.

ВАРИАНТ 2.

Стороны треугольника относятся как 4 : 5 : 6, а периметр треугольника, образованного его средними линиями, равен 30 см. Найдите средние линии треугольника.

Медианы треугольника MNK пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне MK и пересекающая стороны MN и NK в точках A и B соответственно. Найдите MK, если длина отрезка АВ равна 12 см.

В прямоугольном треугольнике РКТ (∠Т = 900) КТ = 7 см, РТ = см. Найдите угол К и гипотенузу КР.

В треугольнике АВС , ВН - высота, ВН = 4 см. Найдите АС.

В трапеции MNKP продолжения боковых сторон пересекаются в точке E, причем EK = KP. Найдите разность оснований трапеции, если NK = 7 см.

II уровень.

ВАРИАНТ 1.

На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка Д так, что ВД : ДС = 3 : 2, точка К - середина отрезка АВ, точка F - середина отрезка АД, KF = 6 см, ∠АДС = 1000. Найдите ВС и ∠АFК.

В прямоугольном треугольнике АВС (∠С = 900) АС = 4 см, ВС = см. СМ - медиана. Найдите угол ВСМ.

В равнобедренной трапеции основания равны 8 см и 12 см, меньший угол равен . Найдите периметр и площадь трапеции.

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медианы пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если ОА = 13 см, ОВ = 10 см.

В трапеции АВСД (ВС ǁ АД) АВ⏊ВД, ВД = , АД = , СЕ - высота треугольника ВСД, а tg ∠ЕСД = 3. Найдите ВЕ.

ВАРИАНТ 2.

На стороне АМ треугольника АВМ отмечена точка Н так, что АН : НМ = 4 : 7, точка С - середина стороны АВ, точка О - середина отрезка ВН, АМ = 22 см, ∠ВОС = 1050. Найдите СО и ∠ВНМ.

В прямоугольном треугольнике MNK (∠K = 900) KM = 6 см, NK = см. KД - медиана. Найдите угол КДN.

В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 6 см, меньшее основание 10 см, а меньший угол . Найдите периметр и площадь трапеции.

В прямоугольном треугольнике АВС (∠С = 900) медианы пересекаются в точке О, ОВ = 10 см, ВС = 12 см. Найдите гипотенузу треугольника.

В трапеции АВСД ∠А = 900, АС = , ВС = 6, ДЕ - высота треугольника АСД, а tg ∠АСД = 2. Найдите СЕ.

III уровень.

ВАРИАНТ 1.

В прямоугольном треугольнике АВС (∠С = 900) ВС = 1 м, ∠В = . В каком отношении делит гипотенузу высота, проведенная к ней?

В прямоугольном треугольнике АВС (∠С = 900) медианы СК и ВМ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О. Найдите гипотенузу АВ, если ОМ = см.

Диагональ АС равнобедренной трапеции АВСД перпендикулярна к боковой стороне СД, ВЕ ⏊ АС (Е АС), основания трапеции равны 10 см и 8 см. Найти АЕ : ЕС.

В равнобедренном треугольнике АВС угол при основании ВС равен β. Найдите отношение высот ВК и АМ.

В прямоугольнике АВСД на сторонах АВ и СД отмечены точки М и N так, что АМ : МВ = 1: 3, CN : NД = 2 : 5. Найдите отношение площадей четырехугольников AMNД и МВСN.

ВАРИАНТ 2.

В прямоугольном треугольнике MNK (∠K = 900) KN = 1 дм, ∠М = . В каком отношении делит гипотенузу высота, проведенная к ней?

В прямоугольном треугольнике АВС (∠С = 900) медианы ВМ и СК пересекаются в точке О. Из точки С на ВМ опущен перпендикуляр СЕ так, что МЕ = 20 см. Найдите гипотенузу АВ, если МС = 30 см, точка О лежит на отрезке МЕ.

В равнобедренной трапеции АВСД основания равны 5 см и 13 см. Диагональ ВД перпендикулярна к боковой стороне АВ, СК ⏊ ВД (К ВД). Найти ВК : КД.

В равнобедренном треугольнике MNK угол при основании MK равен . Найдите отношение высот ME и NH.

В прямоугольнике MNKP на сторонах NK и MP отмечены точки E и F так, что NE : EK = 3 : 4, MF : FP = 2 : 3. Найдите отношение площадей четырехугольников MNEF и PKEF.

multiurok.ru

9 класс Контрольная работа по геометрии №2. Тема: «Подобие фигур»

Просмотр содержимого документа «9 класс Контрольная работа по геометрии №2. Тема: «Подобие фигур»»

9 класс

Контрольная работа по геометрии №2. Тема: «Подобие фигур»

разработана учителем МОУ «Туровская ООШ» Резник И.В.

к учебнику для общеобразоват. учреждений - Геометрия 7-9. Погорелов А.В.- М. : Просвещение, 2011. – 224с.

1 вариант.

А. Анализ геометрических высказываний.

Выберите верные утверждения.

Параллельный перенос не является: а) гомотетией; б) преобразованием подобия; в) осевой симметрией.
Гомотетия есть: а) движение; б) преобразование подобия; в) центральная симметрия.
Масштаб можно назвать: а) гомотетией; б) коэффициентом подобия; в) коэффициентом гомотетии.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники: а) равны; б) подобны; в) прямоугольные.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное: а) для отрезков, на которые она делит гипотенузу; б) между двумя другими сторонами; в) между гипотенузой и проекцией высоты на гипотенузу.
Центральный угол в окружности – это: а) острый угол; б) плоский угол с вершиной на окружности, стороны которого не пересекают окружность; в) плоский угол с вершиной в центре окружности.
Дугой окружности называется: а) отрезок, соединяющий точки пересечения сторон угла с окружностью; б) часть окружности, расположенная внутри плоского угла; в) часть плоскости, расположенная внутри плоского угла.
Плоский угол – это: а) геометрическая фигура, образованная двумя полупрямыми, исходящими из одной точки; б) часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки.
Хордой является: а) диаметр; б) радиус; в)прямая, перпендикулярная диаметру окружности.
Градусная мера дуги окружности – это: а)градусная мера центрального угла; б) градусная мера плоского угла; в) градусная мера вписанного угла.
Соответствующим данному вписанному углу называется угол: а)центральный угол; б) центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный; в) равный плоский угол.

Б. Решите задачу: 1. Определите какой из плоских углов на рис.1 ( α или β) является частью полуплоскости, а какой содержит полуплоскость?

α рис.1

2.Определите градусную меру плоского угла, дополнительного к углу А равного 480.

3.Дуга окружности составляет 800. Чему равны центральный и вписанный углы, опирающиеся на эту дугу окружности?

4.Проектор полностью освещает экран А высотой 80 см, расположенный на расстоянии 100см от проектора. Найдите наименьшее расстояние от проектора на котором нужно расположить экран высотой 240 см, что бы он был полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными.

2 вариант.

А. Анализ геометрических высказываний.

Выберите верные утверждения.

Плоский угол – это: а) геометрическая фигура, образованная двумя полупрямыми, исходящими из одной точки; б) часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки.
Хордой является: а) диаметр; б) радиус; в)прямая, перпендикулярная диаметру окружности.
Гомотетия есть: а) движение; б) преобразование подобия; в) центральная симметрия.
Масштаб можно назвать: а) гомотетией; б) коэффициентом подобия; в) коэффициентом гомотетии.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники: а) равны; б) подобны; в) прямоугольные.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное: а) для отрезков, на которые она делит гипотенузу; б) между двумя другими сторонами; в) между гипотенузой и проекцией высоты на гипотенузу.
Центральный угол в окружности – это: а) острый угол; б) плоский угол с вершиной на окружности, стороны которого не пересекают окружность; в) плоский угол с вершиной в центре окружности.
Дугой окружности называется: а) отрезок, соединяющий точки пересечения сторон угла с окружностью; б) часть окружности, расположенная внутри плоского угла; в) часть плоскости, расположенная внутри плоского угла.
Градусная мера дуги окружности – это: а)градусная мера центрального угла; б) градусная мера плоского угла; в) градусная мера вписанного угла.
Параллельный перенос не является: а) гомотетией; б) преобразованием подобия; в) осевой симметрией.
Соответствующим данному вписанному углу называется угол: а)центральный угол; б) центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный; в) равный плоский угол.

β рис.1

2.Определите градусную меру плоского угла, дополнительного к углу А равного 750.

3.Дуга окружности составляет 400. Чему равны центральный и вписанный углы, опирающиеся на эту дугу окружности?

4.В окружности проведена хорда АВ, длинной 6 см, и диаметр АС, длиной 10 см. Какова длина отрезка ВС?

multiurok.ru

Контрольная работа - Подобие фигур

РЕФЕРАТ

На тему: «Подобие фигур»

Выполнила:

ученица

Проверила:

Содержание

Преобразование подобия

Свойства преобразования подобия

Подобие фигур

Признак подобия треугольников по двум углам

5. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

6. Признак подобия треугольников по трем сторонам

7. Подобие прямоугольных треугольников

8. Углы, вписанные в окружность

9. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

10. Задачи на тему «Подобие фигур»

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ

Преобразование фигуры Fв фигуру F' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Yфигуры Fпри преобразовании подобия переходят в точки X', Y' фигуры F', то X'Y' = k-XY, причем число k— одно и то же для всех точек X, Y. Число kназывается коэффициентом подобия. При k= lпреобразование подобия, очевидно, является движением.

Рис.1

Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 2). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный k·OX, где k — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X', построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F' называются гомотетичными.

--PAGE_BREAK--

Теорема 1. Гомотетия есть преобразование подобия

Доказательство. Пусть О — центр гомотетии, k — коэффициент гомотетии, X и Y— две произвольные точки фигуры (рис.3)

Рис.3 Рис.4

/>/>/>/>При гомотетии точки X и Yпереходят в точки X' и Y'на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX' = k·OX, OY' = k·OY. Отсюда следуют векторные равенства ОХ' = kOX, OY' = kOY.

/>/>/>/>Вычитая эти равенства почленно, получим: OY'-OX' = k(OY— OX).

/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>Так как OY' — OX'= X'Y', OY -OX=XY, то Х'Y'= kХY. Значит, /X'Y'/=k /XY/, т.e. X'Y' = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.

Задача. На рисунке 4 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).

Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны — 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.

2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ

Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А1, В1, С1, также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В1 лежит между точками А1 и С1. Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Рис. 5

Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А1В1С1(рис. 5). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А2и С2. Треугольники А2ВС2и А1В1С1равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А2ВС2и А1В1С1. Значит, углы ABC и А1В1С1 равны, что и требовалось доказать.

продолжение --PAGE_BREAK--

3. ПОДОБИЕ ФИГУР

Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: ∞. Запись F∞F' читается так: «Фигура F подобна фигуре F'».

Докажем, что если фигура F1подобна фигуре F2, а фигура F2подобна фигуре F3, то фигуры F1и F3подобны.

Пусть Х1и Y1— две произвольные точки фигуры F1. Преобразование подобия, переводящее фигуру F1в F2, переводит эти точки в точки Х2, Y2, для которых X2Y2= k1X1Y1.

Преобразование подобия, переводящее фигуру F2в F3, переводит точки Х2, Y2в точки Х3, Y3, для которых X3Y3= — k2X2Y2.

Из равенств

X2Y2=kX1Y1, X3Y3= k2X2Y2

следует, что X3Y3— k1k2X1Y1. А это значит, что преобразование фигуры F1в F3, получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры F1и F3подобны, что и требовалось доказать.

В записи подобия треугольников: ΔABC∞ΔA1B1C1— предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в А1, В — в B1и С — в С1.

продолжение --PAGE_BREAK--

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников ABC и А1В1С1

A=/>А1, />В=/>В1, />С=/>С1

4. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ УГЛАМ

Теорема 2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 />А=/>А1, />B=/>B1. Докажем, что ΔАВС~ΔА1В1С1.

Пусть />. Подвергнем треугольник А1В1С1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 6). При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику ABC. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то />A2=/>А1, />B2= />B1. А значит, у треугольников ABC и А2В2С2/>A = />A2, />B=/>B2. Далее, A2B2= kA1B1=AB. Следовательно, треугольники ABC и А2В2С2равны по второму признаку (по стороне и прилежащим к ней углам).

продолжение --PAGE_BREAK--

Так как треугольники А1В1С1и А2В2С2гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2В2С2и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А1В1С1и ABC подобны. Теорема доказана.

Рис. 7

Задача. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ABC, пересекает его сторону АС в точке А1, а сторону ВС в точке В1. Докажите, что ΔABC ~ ΔА1В1С.

Решение (рис. 7). У треугольников ABC и А1В1С угол при вершине С общий, а углы СА1В1и CAB равны как соответствующие углы параллельных АВ и А1В1с секущей АС. Следовательно, ΔАВС~ΔА1В1С по двум углам.

5. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ

Теорема 3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

продолжение --PAGE_BREAK--

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 2). Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 />C=/>C1 и АС=kА1С1, ВС=kВ1С1. Докажем, что ΔАВС~ΔА1В1С1.

Подвергнем треугольник A1B1C1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 8).

При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику ABC. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то />С2= =/>С1. А значит, у треугольников ABC и А2В2С2/>C=/>C2. Далее, A2C2= kA1C1=AC, B2C2= kB1C1=BC. Следовательно, треугольники ABC и А2В2С2равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

продолжение --PAGE_BREAK--

Так как треугольники A1B1C1и А2В2С2гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2В2С2и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А1В1С1и ABC подобны. Теорема доказана.

Рис. 9

Задача. В треугольнике ABC с острым углом С проведены высоты АЕ и BD (рис. 9). Докажите, что ΔABC~ΔEDC.

Решение. У треугольников ABC и EDC угол при вершине С общий. Докажем пропорциональность сторон треугольников, прилежащих к этому углу. Имеем ЕС=AC cosγ, DC = ВС соsγ. То есть стороны, прилежащие к углу С, у треугольников пропорциональны. Значит, ΔАВС~ΔEDC по двум сторонам и углу между ними.

6. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ТРЕМ СТОРОНАМ

Теорема 4. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 2). Пусть у треугольников ABC и А1В1С1 AB = kA1B1, AC = kA1C1, BC = kB1C1. Докажем, что ΔАВС~ΔА1В1С1.

продолжение --PAGE_BREAK--

Подвергнем треугольник А1В1С1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 10). При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику ABC. Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны:

A2В2= kA1В1= АВ, A2C2= kA1C1=AC, B2C2= kB1C1=BC.

Следовательно, треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Так как треугольники А1В1С1и А2В2С2гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники A2В2C2и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А1В1С1и ABC подобны. Теорема доказана.

Рис. 10

Задача. Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.

Решение. Пусть ABC и А1В1С1 — подобные треугольники. Тогда стороны треугольника А1В1С1пропорциональны сторонам треугольника ABC, т. е. А1В1=kAB, B1C1= kBC, A1C1=kAC. Складывая эти равенства почленно, получим:

продолжение --PAGE_BREAK--

A1B1+ B1C1+A1C1=k(AB+BC+AC).

Отсюда

т. е. периметры треугольников относятся как соответствующие стороны.

7. ПОДОБИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

С помощью этого признака подобия прямоугольных треугольников докажем некоторые соотношения в треугольниках.

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла (рис. 11).

Треугольники ABC и CBD имеют общий угол при вершине В. Следовательно, они подобны: ΔABC~ΔCBD. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Это соотношение обычно формулируют так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Прямоугольные треугольники ACD и CBD также подобны. У них равны острые углы при вершинах А и С. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон:

Это соотношение обычно формулируют так: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов I на гипотенузу.

Докажем следующее свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Пусть CD — биссектриса треугольника ABC (рис. 12). Если треугольник ABC равнобедренный с основанием АВ, то указанное свойство биссектрисы очевидно, так как в этом случае биссектриса CD является и медианой.

Рассмотрим общий случай, когда АС≠ВС. Опустим перпендикуляры AF и BE из вершин А и В на прямую CD.

Прямоугольные треугольники ACF и ВСЕ подобны, так как у них равны острые углы при вершине С. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

Прямоугольные треугольники ADF и BDE тоже подобны. У них углы при вершине D равны как вертикальные. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

продолжение --PAGE_BREAK--

Сравнивая это равенство с предыдущим, получим:

т. е. отрезки AD и BD пропорциональны сторонам АС и ВС, что и требовалось доказать.

8. УГЛЫ, ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 13 заштрихован один из плоских углов со сторонами а и Ь. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.

Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера принимается равной 360° — α, где α— градусная мера дополнительного плоского угла (рис. 14).

Рис. 13 Рис.14

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис. 15). Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Рис. 15 Рис. 16

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Угол ВАС на рисунке 16 вписан в окружность. Его вершина А лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках В и С. Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим данному вписанному углу.

Теорема 5. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис. 17, а). Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны OA и ОВ равны как радиусы. Поэтому углы A и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать.

Рис. 17

Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра BD (рис. 17, б, в). В случае, представленном на рисунке 17, б, АВС= />CBD+ />ABD=½ />COD + ½ />АОD= ½ />АОС.

В случае, представленном на рисунке 17, в,

продолжение --PAGE_BREAK--

ABC= />CBD — />ABD= ½ />COD -½ />AOD =½ />AOC.

Теорема доказана полностью.

Из теоремы 5 следует, что вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны (рис. 18). В частности, углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

9. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩИХ ОКРУЖНОСТИ

Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S

ТоAS·BS=CS·DS.

Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис. 19). Вписанные углы DCB и DAB равны по следствию из теоремы 5. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASZ и CSB подобны.

Из подобия треугольников следует пропорция

Отсюда

AS·BS= CS·DS, что и требовалось доказать

Рис.19 Рис.20

Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то

AP·BP=CP·DP.

Пусть точки А и С — ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью (рис. 20). Треугольники PAD и РСВ подобны. У них угол при вершине Р общий, а углы при вершинах В и D равны по свойству углов, вписанных в окружность. Из подобия треугольников следует пропорция

Отсюда PA·PB=PC·PD, что и требовалось доказать.

10. Задачи на тему «Подобие фигур»

www.ronl.ru

Контрольная работа - Подобие фигур

РЕФЕРАТ

На тему: «Подобие фигур»

Выполнила:

ученица

Проверила:

Содержание

1. Преобразование подобия

2. Свойства преобразования подобия

3. Подобие фигур

4. Признак подобия треугольников по двум углам

5. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

6. Признак подобия треугольников по трем сторонам

7. Подобие прямоугольных треугольников

8. Углы, вписанные в окружность

9. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

10. Задачи на тему «Подобие фигур»

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ

Преобразование фигуры Fв фигуру F'называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Yфигуры Fпри преобразовании подобия переходят в точки X', Y'фигуры F', то X'Y' = k-XY, причем число k— одно и то же для всех точек X, Y. Число kназывается коэффициентом подобия. При k = lпреобразование подобия, очевидно, является движением.

Рис.1

Теорема 1.Гомотетия есть преобразование подобия

Доказательство. Пусть О — центр гомотетии, k — коэффициент гомотетии, X и Y- две произвольные точки фигуры (рис.3)

Рис.3 Рис.4

При гомотетии точки X и Y переходят в точки X' и Y' на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX' = k·OX, OY' = k·OY. Отсюда следуют векторные равенства ОХ' = kOX, OY' = kOY.

Вычитая эти равенства почленно, получим: OY'-OX' = k (OY- OX).

Так как OY' — OX'= X'Y', OY -OX=XY, то Х'Y' = kХY. Значит, /X'Y'/=k /XY/, т.e. X'Y' = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Задача. На рисунке 4 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).

2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Рис. 5

Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А1 В1 С1 (рис. 5). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А2 и С2. Треугольники А2 ВС2 и А1 В1 С1 равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А2 ВС2 и А1 В1 С1. Значит, углы ABC и А1 В1 С1 равны, что и требовалось доказать.

3. ПОДОБИЕ ФИГУР

Докажем, что если фигура F1 подобна фигуре F2, а фигура F2 подобна фигуре F3, то фигуры F1 и F3 подобны.

Пусть Х1 и Y1 — две произвольные точки фигуры F1. Преобразование подобия, переводящее фигуру F1 в F2, переводит эти точки в точки Х2, Y2, для которых X2 Y2 = k1 X1 Y1 .

Преобразование подобия, переводящее фигуру F2 в F3, переводит точки Х2, Y2 в точки Х3, Y3, для которых X3 Y3 = — k2 X2 Y2 .

Из равенств

X2 Y2= kX1 Y1, X3 Y3 = k2 X2 Y2

следует, что X3 Y3 — k1 k2 X1 Y1. А это значит, что преобразование фигуры F1 в F3, получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры F1 и F3 подобны, что и требовалось доказать.

В записи подобия треугольников: ΔABC∞ΔA1 B1 C1 — предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в А1, В — в B1 и С — в С1 .

A=А1, В=В1, С=С1

4. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ УГЛАМ

Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A1 B1 C1 А=А1, B=B1. Докажем, что ΔАВС~ΔА1 В1 С1 .

Пусть . Подвергнем треугольник А1 В1 С1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 6). При этом получим некоторый треугольник А2 В2 С2, равный треугольнику ABC. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то A2=А1, B2 = B1. А значит, у треугольников ABC и А2 В2 С2A = A2, B=B2. Далее, A2 B2 = kA1 B1 =AB. Следовательно, треугольники ABC и А2 В2 С2 равны по второму признаку (по стороне и прилежащим к ней углам).

Так как треугольники А1 В1 С1 и А2 В2 С2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2 В2 С2 и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А1 В1 С1 и ABC подобны. Теорема доказана.

Рис. 7

Решение (рис. 7). У треугольников ABC и А1 В1 С угол при вершине С общий, а углы СА1 В1 и CAB равны как соответствующие углы параллельных АВ и А1 В1 с секущей АС. Следовательно, ΔАВС~ΔА1 В1 С по двум углам.

5. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ

Теорема 3.Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 2). Пусть у треугольников ABC и A1 B1 C1 C=C1 и АС=kА1 С1, ВС=kВ1 С1. Докажем, что ΔАВС~ΔА1 В1 С1 .

Подвергнем треугольник A1 B1 C1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 8).

При этом получим некоторый треугольник А2 В2 С2, равный треугольнику ABC. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то С2 = =С1. А значит, у треугольников ABC и А2 В2 С2C=C2. Далее, A2 C2 = kA1 C1 =AC, B2 C2 = kB1 C1 =BC. Следовательно, треугольники ABC и А2 В2 С2 равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники A1 B1 C1 и А2 В2 С2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2 В2 С2 и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А1 В1 С1 и ABC подобны. Теорема доказана.

Рис. 9

Задача. В треугольнике ABC с острым углом С проведены высоты АЕ и BD (рис. 9). Докажите, что ΔABC~ΔEDC.

Решение. У треугольников ABC и EDC угол при вершине С общий. Докажем пропорциональность сторон треугольников, прилежащих к этому углу. Имеем ЕС=AC cos γ, DC = ВС соsγ. То есть стороны, прилежащие к углу С, у треугольников пропорциональны. Значит, ΔАВС~ΔEDC по двум сторонам и углу между ними.

6. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ТРЕМ СТОРОНАМ

Теорема 4.Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 2). Пусть у треугольников ABC и А1 В1 С1 AB = kA1 B1, AC = kA1 C1, BC = kB1 C1. Докажем, что ΔАВС~ΔА1 В1 С1 .

Подвергнем треугольник А1 В1 С1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 10). При этом получим некоторый треугольник А2 В2 С2, равный треугольнику ABC. Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны:

A2 В2 = kA1 В1 = АВ, A2 C2 = kA1 C1 =AC, B2 C2 = kB1 C1 =BC.

Следовательно, треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Так как треугольники А1 В1 С1 и А2 В2 С2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники A2 В2 C2 и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А1 В1 С1 и ABC подобны. Теорема доказана.

Рис. 10

Задача. Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.

Решение. Пусть ABC и А1 В1 С1 — подобные треугольники. Тогда стороны треугольника А1 В1 С1 пропорциональны сторонам треугольника ABC, т. е. А1 В1 =kAB, B1 C1 = kBC, A1 C1 =kAC. Складывая эти равенства почленно, получим:

A1 B1 + B1 C1 +A1 C1 =k(AB+BC+AC).

Отсюда

т. е. периметры треугольников относятся как соответствующие стороны.

7. ПОДОБИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла (рис. 11).

Рассмотрим общий случай, когда АС≠ВС. Опустим перпендикуляры AF и BE из вершин А и В на прямую CD.

Сравнивая это равенство с предыдущим, получим:

т. е. отрезки AD и BD пропорциональны сторонам АС и ВС, что и требовалось доказать.

8. УГЛЫ, ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ

Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера принимается равной 360° — α, где α — градусная мера дополнительного плоского угла (рис. 14).

Рис. 13 Рис.14

Рис. 15 Рис. 16

Теорема 5. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Рис. 17

Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра BD (рис. 17, б, в). В случае, представленном на рисунке 17, б, АВС= CBD+ ABD= ½ COD + ½ АОD= ½ АОС.

В случае, представленном на рисунке 17, в,

ABC= CBD — ABD = ½ COD — ½ AOD = ½ AOC.

Теорема доказана полностью.

9. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩИХ ОКРУЖНОСТИ

Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S

ТоAS·BS=CS·DS.

Из подобия треугольников следует пропорция

Отсюда

AS·BS = CS·DS, что и требовалось доказать

Рис.19 Рис.20

AP·BP=CP·DP.

Отсюда PA·PB=PC·PD, что и требовалось доказать.

10. Задачи на тему «Подобие фигур»

www.ronl.ru

"Подобие фигур. Решение прямоугольных треугольников."

Контрольная работа по геометрии, 8 класс.

Тема: "Подобие фигур. Решение прямоугольных треугольников"

1 уровень.

ВАРИАНТ 1.

В прямоугольном треугольнике АВС (∠С = 900) АС = 5 см, ВС = см. Найдите угол В и гипотенузу АВ.

В треугольнике АВС , ВН - высота. Найдите АН.

ВАРИАНТ 2.

В прямоугольном треугольнике РКТ (∠Т = 900) КТ = 7 см, РТ = см. Найдите угол К и гипотенузу КР.

В треугольнике АВС , ВН - высота, ВН = 4 см. Найдите АС.

II уровень.

ВАРИАНТ 1.

В прямоугольном треугольнике АВС (∠С = 900) АС = 4 см, ВС = см. СМ - медиана. Найдите угол ВСМ.

В трапеции АВСД (ВС ǁ АД) АВ⏊ВД, ВД = , АД = , СЕ - высота треугольника ВСД, а tg ∠ЕСД = 3. Найдите ВЕ.

ВАРИАНТ 2.

В прямоугольном треугольнике MNK (∠K = 900) KM = 6 см, NK = см. KД - медиана. Найдите угол КДN.

В трапеции АВСД ∠А = 900, АС = , ВС = 6, ДЕ - высота треугольника АСД, а tg ∠АСД = 2. Найдите СЕ.

III уровень.

ВАРИАНТ 1.

В равнобедренном треугольнике АВС угол при основании ВС равен β. Найдите отношение высот ВК и АМ.

ВАРИАНТ 2.

В равнобедренном треугольнике MNK угол при основании MK равен . Найдите отношение высот ME и NH.

multiurok.ru

Контрольная работа по геометрии, 8 класс. Тема: "Подобие фигур. Решение прямоугольных треугольников.". Подобие фигур контрольная работа

Контрольная работа по геометрии на тему Подобие фигур 9 класс

Контрольная работа по геометрии на тему 'Подобие фигур' 9 класс

"Подобие фигур. Решение прямоугольных треугольников."

9 класс Контрольная работа по геометрии №2. Тема: «Подобие фигур»

Просмотр содержимого документа «9 класс Контрольная работа по геометрии №2. Тема: «Подобие фигур»»

Контрольная работа - Подобие фигур

Контрольная работа - Подобие фигур

"Подобие фигур. Решение прямоугольных треугольников."

Смотрите также