Примерный вариант контрольной работы № 5. Контрольная работа дифференциальные уравнения

Примерный вариант контрольной работы № 5

по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

Решение задачи № 1

Важным теоретическим вопросом в теории дифференциальных уравнений является вопрос о том, насколько много решений имеет дифференциальное уравнение. Оказывается, что каждое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, и поэтому приходиться ставить вопрос не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решений данного дифференциального уравнения. Ответ на этот вопрос дает теорема существования и единственности (см. [2] и [4]).

Во всех вариантах контрольной работы дифференциальное уравнение первого порядка можно представить в виде разрешенном относительно первой производной:

где функция определена в некоторой областина плоскости

Множество точек на плоскости называетсяобластью, если оно открыто и связно. Открытость означает, что вместе с каждой своей точкой множествосодержит и некоторый круг с центром в этой точке. Связностьозначает, что любые две точкиможно соединить ломаной, целиком содержащейся в. В частности, плоскостьявляется областью.

Для уравнения (1) справедлива следующая теорема.

Теорема Коши о существовании и единственности решения.

Пусть функция удовлетворяет двум условиям:

1) непрерывна в области;

2) имеет в непрерывную частную производную

Тогда решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными существует и единственно в том смысле, что существует единственная интегральная кривая уравнения (1), проходящая через точку

Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию

или, что то же самое,

называется задачей Коши.

В нашем примере

и функция

определена и непрерывна на всей плоскости .

Вычислим частную производную Для этого положими будем рассматривать функцию

как функцию одной переменной Применяя правила дифференцирования функции одной переменной, получим

Здесь сначала постоянный множитель вынесли из под знака производной по переменнойа затем применили правило дифференцирования сложной функции.

Таким образом, частная производная тоже определена и непрерывна на всей плоскостии, следовательно, теорема существования и единственности решения справедлива для уравнения (3) на всей плоскости.

Анализ, проведенный выше, является основной частью решения задачи Коши, так как, используя программу типа Mathematiсa или зайдя на сайт www.wolframalpha.com (в режиме online и даже в пошаговой форме), Вы можете моментально получить решение.

Найдем общее решение дифференциального уравнения (3), не используя эти средства. Это уравнение с разделяющимися переменными (см. [2],[4] или[5]), так как оно имеет вид

где правая часть есть произведение функции зависящей только отна функциюзависящую только от

В нашем уравнении (3)

и

Эти функции определены и непрерывны при всех и, причем

Заменим нав уравнении (3):

и разделим переменные, умножая обе части уравнения на выражение:

В результате получим уравнение

которое называется уравнением с разделенными переменными.

Считая известной функцией от, равенство (4) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться на постоянное слагаемое.

Интегрируя левую часть равенства (4) по , а правую часть по, получим

Интеграл

Интеграл вычислим с помощью подстановки

Учитывая, что или

получаем

Подставляя полученные выражения в равенство (5), найдем общий интеграл уравнения (3)

В данном случае уравнение (6) можно разрешить относительно переменной и получить общее решение дифференциального уравнения (3):

и

Общее решение (7) дифференциального уравнения (3) – это однопараметрическое семейство решений, существование и единственность которых гарантирует теорема существования и единственности. Оно включает в себя все решения любой задачи Коши.

Для нахождения искомого частного решения подставим в общее решение начальные значения иПолучим,,и

При таком выборе из общего решения (7) выделяется частное

Ответ. Решением задачи Коши является функция определенная на интервале

studfiles.net

Контрольная работа №6. «Дифференциальные уравнения»

Задача 1. Указать тип дифференциального уравнения и найти его общее решение.

Задача 2. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Задача 3. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Список литературы

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. – М.: Айрис-пресс, 2004.

2. Бугров Я.С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление /

Я.С. Бугров. С.М. Никольский. – М.: Наука, 1984.

3. Бугров Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров. С.М. Никольский. – М.: Наука, 1984.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П. Данко. – 7изд., испр. – M.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Мир и Образование», 2008.

5. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов / под ред. А.В. Ефимова, В.П. Демидовича – М.: Наука, 1986.

6. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. /

Л.А. Кузнецов – СПб.: Издательство «Лань», 2007.

7. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: Учебное пособие. / Г.И Запорожец. - 5-е издание – СПб: Издательство «Лань», 2009.

8. Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. Функции одной переменной / И.А. Марон – М.: Наука, 1970.

9. Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учебное пособие в 3 Ч. Ч2 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть. – Мн.: Высшая школа, 1991.

10. Кольчик И.В. Высшая математика: комплекс учебно-методических материалов. Ч. 2 / И.В, Кольчик. НГТУ. Нижний Новгород, 2007.

46

studfiles.net

Контрольная работа №5 Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Контрольная работа №5 Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - страница №1/1

Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

1.1. Однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

2. Найти частное решение

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Отсюда:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Отсюда:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

5. Найти частное решение

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Отсюда:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Отсюда:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

7. Найти частное решение

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Отсюда:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Отсюда:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

1.2. Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

2. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

Находим производные:

И подставляем в левую часть уравнения:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Отсюда:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

Находим производные:

И подставляем в левую часть уравнения:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Отсюда:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

5. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

Находим производные:

И подставляем в левую часть уравнения:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Отсюда:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

Находим производные:

И подставляем в левую часть уравнения:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Отсюда:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

7. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

Находим производные:

И подставляем в левую часть уравнения:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Отсюда:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

Находим производные:

И подставляем в левую часть уравнения:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Отсюда:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Контрольная работа № 6

Ряды, их применение.

Раздел 1. Числовые ряды.

2. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:

Используем признак Даламбера:

Т.к. предел меньше единицы, то ряд сходится.

Применим интегральный признак Коши:

Т.к. интеграл существует, то ряд сходится.

5. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:

Используем признак Даламбера:

Т.к. предел меньше единицы, то ряд сходится.

Применим интегральный признак Коши:

Т.к. интеграл не существует, то ряд расходится.

7. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:

Используем признак Даламбера:

Т.к. предел меньше единицы, то ряд сходится.

Применим интегральный признак Коши:

Т.к. интеграл существует, то ряд сходится.

Раздел 2. Степенные ряды.

2. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:

Находим R:

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

Находим R:

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

5. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:

Находим R:

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

Находим R:

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

7. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:

Находим R:

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

Находим R:

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

Раздел 3. Приложение степенных рядов.

3.1. Приближенное вычисление определенных интегралов.

2. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001

5. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001

7. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001

3.2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.

2. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:

Решение ищем в виде:

Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.

Из начального условия следует

Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:

Продифференцируем решение в виде ряда:

И так как

Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:

С другой стороны,

Сравнивая значения

Таким образом, искомое решение в виде ряда имеет вид:

5. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:

Решение ищем в виде:

Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.

Из начального условия следует

Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:

Продифференцируем решение в виде ряда:

И так как

Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:

С другой стороны,

Сравнивая значения

7. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:

Решение ищем в виде:

Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.

Из начального условия следует

Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:

Продифференцируем решение в виде ряда:

И так как

Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:

С другой стороны,

Сравнивая значения

Таким образом, искомое решение в виде ряда имеет вид:

davaiknam.ru

Смотрите также

• 
  Дифференциальные уравнения контрольная работа
• Античная философия контрольная работа
• Контрольная работа античная философия
• 
  Контрольная работа по комбинаторике
• 
  Квадратные уравнения контрольная работа
• 
  Контрольная работа по дисциплине
• 
  Контрольная по химии входная
• 
  4 класс чтение контрольное
• 
  Контрольная 10 класс химия
• Контрольная история 6 класс
• 
  История контрольная 6 класс