www.yaklass.ru
Правило записи треугольника легко запомнить. Каждое число в треугольнике паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ними в предыдущей строке. Давайте распишем несколько строк: 
Математически свойство подсчета числа сочетаний без повторений можно записать еще вот так: 
Как оказалось треугольника Паскаля находит свое применение и в другой математической задаче. Давайте вспомним несколько правил возведения в квадрат суммы. Самое первое правило, которое мы с вами выучили, это квадрат суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Довольно таки легко найти выражение и для следующей степени, используя правила перемножения многочленов: $(a+b)^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. Проделаем эту же операцию и для четвертой степени: $(a+b)^4=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)(a+b)=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.Выпишем для наглядности все наши формулы:$(a+b)^1=a+b$.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.$(a+b)^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.$(a+b)^4=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)(a+b)=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.
Давайте проведем небольшой анализ полученных формул.
Обратить внимание: показатель степени в левой части равен сумме показателей степеней в правой части для любого слагаемого.
Для четвертой степени, очевидно, что слева показатель равен 4. В правой части показатель степени при первом слагаемом равен для а четырем, для b нулю и в сумме равен 4.
Для второго слагаемого сумма показателей равна $3+1=4$, для следующего - $2+2=4$ и так до самого конца сумма показателей равна 4.
Ребята, посмотрите внимательно на коэффициенты в правой части. Что он вам напоминает? Правильно, коэффициенты образуют треугольник Паскаля.
Эти два замечательных свойства, замеченных выше, позволяют вычислять сумму двух одночленов в n-ой степени:$(a+b)^n=C_n^{0}a^n+C_n^{1}a^{n-1}b+C_n^{2}a^{n-2}b^2+C_n^{3}a^{n-3}b^3+...+C_n^{k}a^{n-k}b^k+...+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^{n}b^n$.
Давайте попробуем доказать нашу формулу:Рассмотрим слагаемое, стоящее на месте под номером $k+1$. По написанной выше формуле получаем, вот такое слагаемое: $C_n^{k}a^{n-k}b^k$.Нам нужно доказать, что коэффициент при данном одночлене как раз и равен $C_n^{k}$.Для того, чтобы двучлен возвести в n-ую степень нам нужно этот двучлен умножить на себя n раз, то есть: 
Чтобы получить требуемое слагаемое надо выбрать k штук множителей для b. Тогда получается $n-k$ множителей для а. В каком порядке будем выбирать данные множители не важно. Эта задача есть ни что иное как: число сочетаний из n элементов по k без повторений или $C_n^{k}$. Наша формула доказана.
Полученная нами формула называется "Бином Ньютона".
$(a+b)^n=C_n^{0}a^n+C_n^{1}a^{n-1}b+C_n^{2}a^{n-2}b^2+C_n^{3}a^{n-3}b^3+...+C_n^{k}a^{n-k}b^k+...+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^{n}b^n$.
Коэффициенты, стоящие перед слагаемыми, это биномиальные коэффициенты.
Пример. Раскрыть скобки: а) $(y+1)^7$; б) $(z^2-3t)^5$.Решение. Применим нашу формулу:$а(y+1)^7=C_7^{0}y^7+C_7^{1}*y^6*1+C_7^{2}*y^5*1^2+C_7^{3}*y^4*1^3+C_7^{4}*y^3*1^4+$$+C_7^{5}*y^2*1^5+C_7^{6}*y*1^6+C_7^{7}*1^7$.
Вычислим все коэффициенты:$C_7^{0}=1$; $C_7^{1}=7$; $C_7^2=\frac{7!}{2!5!}=21$; $C_7^3=35$; $C_7^4=35$; $C_7^5=21$; $C_7^6=7$; $C_7^7=1$.
В итоге получаем: $(y+1)^7=y^7+7*y^6+21*y^5+35*y^4+35*y^3+21*y^2+7*y+1$.
б) $(z^2-3t)^5=C_5^{0}*(z^2)^5+C_5^{1}*(z^2 )^4*(-3t)^1+C_5^{2}*(z^2)^3*(-3t)^2+$$C_5^{3}*(z^2 )^2*(-3t)^3+C_5^{4}*(z^2)^1*(-3t)^4+C_5^{5}*(z^2)^0*(-3t)^5=$$z^{10}+5*z^8*(-3t)+10*z^6*(9t^2)+10*z^4*(-27t^3)+5*z^2*(81t^4)-243t^5=$$z^{10}-15z^8 t+90z^6t^2-270z^4t^3+405z^2t^4-243t^5$.
В конце урока обратим вниманием на еще одно удивительное свойство.Рассмотрим двучлен: $(x+1)^n$.Используя Бином Ньютона получим: При $х=1$ получаем: $(x+1)^n=C_n^{0}x^n+C_n^{1}x^{n-1}+C_n^{2}x^{n-2}+C_n^{3}x^{n-3}+...+C_n^{n-2}x^{2}+C_n^{n-1}x+C_n^{n}$.При $х=1$ получаем: $2^n=C_n^{0}+C_n^{1}+C_n^{2}+C_n^{3}+...+C_n^{n-2}+C_n^{n-1}+C_n^{n}$.
mathematics-tests.com
id_016
Курьякова Татьяна Сергеевна
учитель математики МОУ «СОШ №36», г. Ангарск
Бином Ньютона – одна из тем, рассмотрение которых способствует глубинному пониманию учащимися на только комбинаторных понятий, но и формул сокращенного умножения. В данной статье представлен один из вариантов лекции для старшеклассников по теме «Бином Ньютона».
Тема: «Бином Ньютона»
План лекции 1. Понятие бинома Ньютона
2. Свойства бинома и биномиальных коэффициентов
3. Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»
4. Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)
Литература
1. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И.Сканави: Учеб. пособие. Санкт-Петербург, 1995. – с.84.
2. Супрун В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике. Мн.: Полымя, 1998. – 108с.
– 1 –
Понятие бинома Ньютона
Биномом Ньютона называют разложение вида:
Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n
Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий.
Компоненты формулы «бином Ньютона»:
правая часть формулы – разложение бинома;
– биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).
Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.
Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:
Альтернатива треугольнику Паскаля:
перемножить почленно четыре скобки:
;
вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:
где Т – член разложения; 
– порядковый номер члена разложения.
– 2 –
Свойства бинома и биномиальных коэффициентов
Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно 
Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n
Доказательство
Рассмотрим -й член разложения: 
Сумма показателей степеней a и b: 
Ч.т.д.
Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: 
(правило симметрии)
Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна 
Доказательство
Пусть 
, тогда:
Тогда: 
Ч.т.д.
Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна 
Правило Паскаля: 
Доказательство – самостоятельно
Любой биномиальный коэффициент, начиная со второго, равен произведению предшествующего биномиального коэффициента и дроби 
Доказательство – самостоятельно
– 3 –
Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»
К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых:
Найти член (номер члена) разложения бинома
Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме)
Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома
и другие.
Продемонстрируем на примерах (их решение несложное, поэтому большинство предлагаем решить самостоятельно).
Пример 1
Разложить по формуле бином 
Решение – самостоятельно
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знакочередование!
Пример 2
Найти шестой член разложения 
Решение – самостоятельно
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знак!
Лучше начинать рассуждения со следующего: 
Пример 3
Найдите два средних члена разложения 
Решение – самостоятельно
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на то, что эти члены равноотстоят от конца, поэтому их биномиальные коэффициенты будут равны.
НЕ ЗАБУДЬТЕ в процессе решения проводить преобразования степеней с одинаковыми основаниями (то есть упрощать).
Пример 4
В биномиальном разложении 
найти член разложения, не содержащий х
Решение
Так как в разложении мы ищем член не содержащий х, то 
Тогда 
Ответ: 
– 4 –
Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона
(нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)
К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным.
Пример 5
Доказать, что для любых 
и для любых 
верно неравенство Бернулли:
Доказательство
Пусть 
Так как , то 
Переформулируем требование: Доказать, что 
, где 
Так как 
, значит в разложении как минимум три члена разложения, тогда:
Это означает, что
Ч.т.д.
Пример 6
Доказать, что 
Доказательство – самостоятельно
(Подсказка: используйте неравенство Бернулли)
Пример 7
Доказать, что при любом натуральном n число 
делится на 9
Доказательство
1 способ:
Ч.т.д.
2 способ:
Начнем рассматривать бином в общем виде:
Тогда 
Ч.т.д.
Пример 8
Решить уравнение 
Решение
Осуществим замену: 
Тогда уравнение перепишем: 
Применим формулу бинома к левой части уравнения:
В итоге 
Ответ: 
Дополнительные задания для самостоятельного выполнения
Найти номер члена разложения бинома 
, не содержащего х.
Найти пятый член разложения бинома 
.
Найти сумму биномиальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома 
, если биномиальный коэффициент третьего члена на 9 больше биномиального коэффициента второго члена.
Найти седьмой член разложения бинома 
, если биномиальный коэффициент третьего члена равен 36.
Сколько членов разложения бинома 
являются целыми числами?
Вычислить сумму 
.
Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно х, получаемого в разложении бинома 
.
Сумма нечетных биномиальных коэффициентов разложения 
равна 512. Найти слагаемое, не содержащее х.
При каких значениях х четвертое слагаемое разложения 
больше двух соседних с ним слагаемых?
При каком значении х четвертое слагаемое разложения 
в двадцать раз больше m, если биномиальный коэффициент четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5 : 1?
В какую наибольшую степень следует возвести бином 
чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третьему было равно 
?
gigabaza.ru
Формула бинома Ньютона
Возведение выражения (a + b) в степень n может быть произведено по формуле называемой разложением бинома Ньютона:
(a + b)n = an + C1n an - 1 b + C2n an - 2 b2 +...+Ckn an - k bk +... + Cn - 1n abn - 1 + Cnnbn
Если k-й элемент разложения степени бинома обозначать через ТK , то
Тк = 
- биноминальные коэффициенты
Примеры:
Примеры
№1
Разложите на множители:
(a + b)5 = ?
(a + b)n = an + C1n an - 1 b + C2n an - 2 b2 +...+Ckn an - k bk +... + Cn - 1n abn - 1 + Cnnbn
№ 2
Раскрыть скобки:
(a + b)n = an + C1n an - 1 b + C2n an - 2 b2 +...+Ckn an - k bk +... + Cn - 1n abn - 1 + Cnnbn
………
Треугольник Паскаля
№ 3
Найдите коэффициент при 
:
Решение:
Р(х) = …….+ 10х3∙22 +…..-(4∙(2х)3∙11)…..= …+40х3 …-(4∙8х3)+…= …+ 40х3…..- 32х3
Ответ: 40; -32
Подсчет биноминальных коэффициентов. Самостоятельная работа
№ 1
Вычислить:
а) C52; б) C83; г) C76; д) C104; e) C65
№ 2
Раскройте скобки в выражении:
А) 
В) 
Б) 
Г) 
№ 3
Вычислить по формуле бинома Ньютона:
а) (√5 — √2 )4; б) (√6 + √2 )4; в) (√6 — √2)5; г) (√10 — √2)5.
№ 4
Найдите коэффициент при первой степени переменной x:
А) 
Б) 
№ 5
Найдите коэффициент при :
А) 
Б)
Внеаудиторная самостоятельная работа. Решение задачи по теме «Бином Ньютона».
№ 1
Возведите в четвертую степень выражение (х + 2у)
№ 2
infourok.ru
Задача. Найти количество
сочетаний с повторениями изnпредметов поr.
Рассмотрим вывод формулы на примере с фотографиями (см. 2.1.2). Имеется nтипов предметов (
негатива). Нужно составить набор изr предметов (
фотографий). Наборы различаются своим составом, а не порядком элементов. Например, разными будут наборы состава
и
– один содержит три фотографии с первого негатива и по одной со второго и с третьего, а другой – одну с первого и четыре с третьего. Разложим эти наборы на столе, разделяя фотографии разного типа карандашами. Карандашей нам понадобится
, а фотографий
. Мы будем получать различные сочетания с повторениями, переставляя между собой эти
предметов, т.е.
- число сочетаний с повторениями изnпредметов поrравно числу перестановок с повторениями длины
состава
. В нашем примере
Иначе формулу сочетаний с повторениями можно записать
При решении задач комбинаторики рекомендуем выбирать нужную формулу, пользуясь блок-диаграммой (рис. 2.1).
Задача 3. В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его заместителя и казначея. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Составим список в порядке: председатель, заместитель, казначей. Выбираем трех из 9 человек, т.е.
. Порядок важен? Да, выбираем правую часть блок-диаграммы (рис. 2.1). Следующий вопрос: выбираем всеnэлементов? Нет. Повторения есть? Нет. Следовательно, наша выборка – размещение без повторений и количество таких выборок
Задача 2. Сколькими способами 40 человек можно рассадить в три автобуса, если способы различаются только количеством человек в каждом автобусе?
Решение. Выстроим 40 человек в очередь и выдадим каждому билет с номером автобуса. Получим выборку, например, такую:
.В этой выборке 40 элементов (
), а значений – номеров автобусов – три (
). Порядок важен? Чтобы ответить на этот вопрос, поменяем местами двух человек в очереди и посмотрим, изменилась ли выборка. Выборка не изменилась, т.к. количество людей в каждом автобусе осталось прежним. Порядок не важен, поэтому выбираем левую часть блок-диаграммы (рис. 2.1). Повторения есть? Да, в нашей выборке номер автобуса может встречаться несколько раз. Следовательно, выборка является сочетанием с повторениями из
по
элементов:
В школе изучают формулы сокращенного умножения:
Бином Ньютона позволяет продолжить этот ряд формул. Раскроем скобки в следующем выражении:
Общий член суммы будет иметь вид 
Чему равен коэффициентC? Он равен количеству способов, которыми можно получить слагаемое
(т.е. количеству способов, которыми можно выбратьkскобок с множителемa, а из остальных
скобок взять множительb). Например, если
то слагаемое
можем получить, выбрав множительaиз первой и пятой скобки. Каков тип выборки? Порядок перечисления не важен (выбираем сначала первую, затем пятую скобки, или, наоборот, сначала пятую, затем первую – безразлично), повторяющихся элементов (одинаковых номеров скобок) в выборке нет. Это сочетание без повторений. Количество таких выборок равно
Таким образом, формула бинома для произвольного натурального nимеет вид:
или
.
Пример. При
получим формулу
т.к. 
Проверьте правильность формулы, перемножив 
на
.
Строгое доказательство формулы бинома Ньютона проводится методом математической индукции.
studfiles.net
Авторы работы: Луцков Никита, 7ж класс Sir Isaac Newton «Немало ещё людей, которые знают о Ньютоне лишь то, что связано с рассказом о яблоке.» С. И. Вавилов Без имени Ньютона нет физики, а для Ньютона
4.. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений. В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения многочлена на множители. Данный метод широко применяется для
Исаак Ньютон Qui genus humanum ingenio superavit Выполнила: ученица 9 класса «Б» Разумом он превосходил род человеческий гимназии 1517 Зюзюкова Мария Не знаю, как меня воспринимает мир, но сам себе я кажусь
Тема 29 «Геометрическая прогрессия» Последовательность чисел, каждый следующий член которой равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией. Это число называется
72 Глава2 Многочлены Примеры и комментарии Алгоритмы А-01 Запись многочлена в стандартном виде А-02 Действия над многочленами А-03 Устные преобразования А-04 Формулы сокращенного умножения А-05 Бином Ньютона
Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами
Презентация (по физике) Исаак Ньютон ( 04.01.1643 года - 31.03.1727 года ) Великобритания Выдающийся английский учѐный, заложивший основы современного естествознания, создатель классической физики, член
Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными
Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором
1 Пояснительная записка Рабочая программа элективного курса «МИР, МАТЕМАТИКА, МАТЕМАТИКИ» Для10-11 классов, составлена в соответствии с программой А.Н. Землякова «Элективные курсы в профильном обучении.
Лекция 2: перечслительная комбинаторика Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Задачи перечислительной кмбинаторики имеют типовой вид: «сколько способов сделать
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................ 3 Часть 1. Лекции......................................... 4 1. Определение и простейшие свойства чисел Фибоначчи.... 4 2. Биномиальные
«Последняя загадка Пьера Ферма-» Некоторое время назад я опубликовал работу «Последняя загадка Пьера Ферма» в которой записал доказательство Большой теоремы Ферма (http://wbabi.et/mitkovsky/mitkovsky6.pdf,
И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Делимость. Общие свойства 1 Всероссийская олимпиада школьников по математике................ 1 2 Московская математическая олимпиада........................
7.5. Новое геометрическое определение числа Что такое число? «Ливийский» период моей жизни, который продолжался с февраля 1995 по август 1997 г., был своеобразным и сознательным «заточением», кода я у
. Определители. Определитель второго порядка Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца 2 () 2 22 Элементы а, а 2 образуют первую строку, элементы а 2, а 22 образуют
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. Правило произведения. Если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них имеется m вариантов выбора второго элемента, то всего существует n m различных пар
УДК 511.11 Елизаров Е.Б. Россия, г. Владикавказ 1 Аннотация: Статья посвящена вечной теореме П.Ферма с простой постановкой задачи, но сложным решением, как это обычно бывает в теории чисел. Мне удалось
Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена
ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще
.3. Распределение молекул газа в сосуде..3.. Распределение молекул между двумя половинками сосуда. Применим элементы теории вероятности для описания поведения одноатомного газа в сосуде. Рассмотрим распределение
.3. Распределение молекул газа в сосуде..3.. Распределение молекул между двумя половинками сосуда. Применим элементы теории вероятности для описания одноатомного газа в сосуде. Рассмотрим распределение
Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например
Рабочая программа по алгебре 10-11 класс Рабочую программу составили Кулуева В.И. Год разработки программы: 2015 год ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Данная рабочая программа по математике для 10-11 классов (профильный
Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные
Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава первая Арифметика и алгебра..................................... 6 1.1. Числа и действия с ними.............................
Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)
Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где
Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало
1 Пояснительная записка Рабочая программа по курсу алгебры и начал математического анализа 10-11 классов составлена в соответствии с программой «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» автора
docplayer.ru
Рациональные выражения. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней. (п.2.1-2.2)
в) 
г) 
.
средний член.
б) 
Ответы:
; б) 
в) 
; г) 
К контрольной работе № 1 10 алгебра
Действительные числа. Рациональные выражения (п.1.1-2.5)
; б) 
; в) 
.
справедливо неравенство 
в) г)
. б) 
б) 
на многочлен 
, укажите неполное частное 
и остаток 
, если 
, а 
. ; б) в) ; г) 
; б) 
.
, 
К самостоятельной работе № 5 10 алгебра
Рациональные уравнения. Системы рациональных уравнений (п.2.6-2.7)
; б) 
Ответы:
б) 0.
К самостоятельной работе № 6 10 алгебра
Метод интервалов решения неравенств. Рациональные неравенства.
Нестрогие неравенства. (п.2.8-2.10)
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
;
и) 
к) 
л) 
.
Ответы:
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
е) 16; ж)
; з)
; и)
; к)
; л)
К контрольной работе № 2 10 алгебра
Рациональные уравнения и неравенства и их системы (п.2.6-2.11)
; б) 
.
б) 
в) 
б) 
Ответы:
; б) 
; в ) 
г) 
б) 
lib2.podelise.ru
